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[[Datei:Mplwp dirichlet beta.svg|mini|Dirichletsche Betafunktion β(s)]]
Die '''dirichletsche Betafunktion''', geschrieben mit dem [[Beta|griechischen Buchstaben <math> \beta </math>]], ist eine [[Spezielle Funktion|spezielle]] [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]], die in der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]], einem Teilgebiet der Mathematik, eine Rolle spielt. Sie bildet z. B. die Grundlage für die analytische Theorie der Verteilung der Primzahlen in den arithmetischen Folgen <math>4m+1</math> und <math>4m+3</math><ref>{{Literatur | Autor=[[Godfrey Harold Hardy]], E. M. Wright| Titel=Einführung in die Zahlentheorie | Verlag=R. Oldenbourg | Ort=München | Jahr=1958| Seiten=292}}</ref><ref>arxiv: [https://arxiv.org/abs/math/0408319 Prime Number Races] </ref> und ist verwandt mit der [[Riemannsche Zeta-Funktion|riemannschen Zeta-Funktion]].

Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] (1805–1859).

== Definition ==
Für eine [[komplexe Zahl]] <math> s </math>, deren [[Realteil]] größer als 0 ist, ist die Beta-Funktion definiert über die [[Dirichletreihe]]:

:<math>\beta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}=1-\frac1{3^s}+\frac1{5^s}-\frac1{7^s}+\frac1{9^s}-+\ldots</math>

Obwohl dieser Ausdruck nur auf der rechten Halbebene <math> \mathbb{H} = \{s \in \mathbb{C} | \mathrm{Re}\, s > 0 \} </math> konvergiert, stellt er die Basis für alle weiteren Darstellungen der Beta-Funktion dar. Zur Berechnung der Beta-Funktion für alle Zahlen der komplexen Ebene bedient man sich ihrer [[Analytische Fortsetzung|analytischen Fortsetzung]].

== Produktdarstellung ==
Für die Betafunktion existiert eine Produktdarstellung, die für alle komplexen <math> s </math>, deren Realteil größer als 1 ist, konvergiert.

:<math> \beta(s) = \prod_{p \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4} \frac{1}{1 - p^{-s}} \prod_{p \equiv 3 \ \mathrm{mod} \ 4} \frac{1}{1 + p^{-s}} </math>

Hierbei impliziert <math> p \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4 </math>, dass über alle Primzahlen der Form <math> p = 4m + 1 </math> (also <math> p = 5, 13, 17, ... </math>) multipliziert wird. Analog bedeutet <math> p \equiv 3 \ \mathrm{mod} \ 4 </math>, dass über alle Primzahlen, welche die Form <math> p = 4m + 3 </math> besitzen (also <math> p = 3, 7, 11, ... </math>), multipliziert wird.

== Funktionalgleichung ==
Für alle <math> z \in \mathbb{C} </math> gilt die [[Funktionalgleichung]]:

:<math>\beta(1-z)=\left(\frac2\pi\right)^z \sin\left(\tfrac12\pi z\right)\Gamma(z)\beta(z).</math>

Hierbei ist <math> \Gamma(z) </math> die [[Gammafunktion]].

Sie dehnt den [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] der Beta-Funktion auf die gesamte [[komplexe Zahlenebene]] aus.

== Weitere Darstellungen ==

Über die ''[[Mellin-Transformation]]'' der Funktion <math> f(x) = \tfrac{1}{e^x + e^{-x}} </math> erhält man die Integraldarstellung:

:<math>\beta(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int\limits_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x + e^{-x}}\,\mathrm dx,</math>

wobei <math>\Gamma(s)</math> wieder die [[Gammafunktion]] bezeichnet.

Zusammen mit der [[Hurwitzsche Zeta-Funktion|hurwitzschen Zetafunktion]] erhält man für alle komplexen <math> s </math> die Relation:

:<math>\beta(s)=4^{-s}\left( \zeta\left(s,\tfrac14 \right)-\zeta\left(s,\tfrac34\right) \right).</math>

Eine andere gleichwertige Darstellung für alle komplexen <math>s</math> schließt die transzendente [[lerchsche Zeta-Funktion]] <math>\Phi</math> ein und lautet:

:<math>\beta(s)=2^{-s} \Phi\left(-1,s,{\tfrac12}\right).</math>
Ebenso kann die Dirichletsche Betafunktion mit Hilfe der [[Abel-Plana-Summenformel|Abel-Plana-Formel]] für alle komplexen Zahlen <math>s \in \C</math> beschrieben werden:
:<math>\beta(s) = \frac{1}{2} + \int_{0}^{\infty} \frac{\sin[s\arctan(x)]}{2(x^2+1)^{s/2}\sinh(\pi \,x/2)} \,\mathrm{d}x</math>
Diese Formel geht aus folgendem Grundmuster hervor:
:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n f(n)= \frac 1 2 \, f(0)+i \int\limits_0^\infty \frac{f(i x/2)-f(-i x/2)}{4\,\sinh(\pi \,x/2)} \, \mathrm{d}x</math>
:<math>f(n) = \frac{1}{(2n + 1)^{s}}</math>
Nach der [[Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] gilt dieser Zusammenhang:
:<math>i \biggl[\frac{1}{(ix + 1)^{s}} - \frac{1}{(-ix + 1)^{s}}\biggr] = \frac{2 \sin[s\arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{s/2}}</math>

Über die [[Perronsche Formel]] und den Zusammenhang der Dirichletschen Betafunktion mit der Dirichletschen [[L-Funktion]] erhält man die folgende Integraldarstellung:

:<math>\beta(s)=-s\int\limits_1^\infty\Bigl\lfloor \cos\Bigl(\frac{\pi}{2}x\Bigr)\Bigr\rfloor x^{-s-1}\,\mathrm dx,</math>

wobei <math>\lfloor x\rfloor</math> die [[Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion|Abrundungsfunktion]] bezeichnet.

== Spezielle Werte ==
Einige spezielle Werte der <math>\beta</math>-Funktion sind

:<math>\beta(0) = \tfrac12</math>
:<math>\beta(1) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}</math>
:<math>\beta(2) = G\ </math>
:<math>\beta(3) = \frac{\pi^3}{32}</math>
:<math>\beta(4) = \frac1{768}\left(\psi_3(\tfrac14)-8\pi^4\right)</math>
:<math>\beta(5) = \frac{5\pi^5}{1536}</math>
:<math>\beta(7) = \frac{61\pi^7}{184320}</math>

Hierbei bezeichnet <math>G</math> die [[catalansche Konstante]] und <math>\psi_3(z)</math> ist die dritte [[Polygammafunktion]].

Allgemein gilt für positive ganze Zahlen <math>k \geq 0</math> die Darstellung:

:<math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}},</math>

wobei <math>E_n</math> die <math>n</math>-te [[Eulersche Zahlen|Euler-Zahl]] ist. Im Fall <math>k\leq 0</math> gilt

:<math>\beta(k)={{E_{-k}} \over {2}}.</math>

Insbesondere gilt für [[Natürliche Zahl|natürliche]] <math>k</math>:

:<math>\!\ \beta(-2k-1)=0.</math>

== Erzeugungsalgorithmus ==
Zur Ermittlung der Dirichletschen Betafunktionswerte von ungeraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:

: <math>\beta(2n + 1)= \frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n} \beta(2m-1)\lambda(2n+2-2m)</math>
: <math>\lambda(v) = \frac{2^{v} - 1}{2^{v}} \,\zeta(v)</math>
Die [[Dirichletsche Lambdafunktion]] ist das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] aus Riemannscher Zetafunktion und Dirichletscher Etafunktion.

Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Betafunktionswerte hervorgebracht werden:

: <math>\beta(3) = \beta(1)\lambda(2) = \frac{\pi}{4}\,\frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^3}{32}</math>
: <math>\beta(5) = \frac{1}{2}\left[\beta(1)\lambda(4) + \beta(3)\lambda(2)\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}\,\frac{\pi^4}{96} + \frac{\pi^3}{32}\frac{\pi^2}{8}\right) = \frac{5\pi^5}{1536}</math>
: <math>\beta(7) = \frac{1}{3}\bigl[\beta(1)\lambda(6) + \beta(3)\lambda(4) + \beta(5)\lambda(2)\bigr] = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{4}\,\frac{\pi^6}{960} + \frac{\pi^3}{32}\frac{\pi^4}{96} + \frac{5\pi^5}{1536}\frac{\pi^2}{8}\right) = \frac{61\pi^7}{184320}</math>

== Ableitung ==
Ein Ableitungsausdruck für alle <math> \mathrm{Re}\, s > 0 </math> ist gegeben durch:

:<math> \beta^\prime(s) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{\ln(2n+1)}{(2n+1)^s}. </math>

Spezielle Werte der Ableitungsfunktion sind:

:<math>\beta^\prime(-1)= \frac{2G}\pi = 0{,}583121\ldots</math>
:<math>\beta^\prime(0) = \ln\frac{\Gamma^2(1/4)}{2\pi\sqrt2} = 0{,}391594\ldots</math>
:<math>\beta^\prime(1) = \frac{\pi}4\left(\gamma+2\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma(\tfrac14)\right) = 0{,}192901\ldots</math>
Mit den gezeigten Werten werden die Resultate der [[Gammafunktion#Weitere Darstellungsformen|Kummerschen Reihe]] behandelt.

(vgl. {{OEIS|A113847}} und {{OEIS|A078127}} mit der [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math> \gamma </math>).

Außerdem gilt für positive ganze Zahlen <math>n</math>:

:<math>\sum_{k=1}^\infty \ln\frac{(4k+1)^{1/(4k+1)^n}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^n}} = -\beta^\prime(n).</math>

== Weiteres ==
Rivoal and Zudilin bewiesen 2003,<ref>Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: ''Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant.'' In: ''[[Mathematische Annalen]]'', Bd. 326 (2003), Nummer 4, Seiten 705–721, {{ISSN|0025-5831}}; vgl. {{Webarchiv|url=http://www.mi.uni-koeln.de/~wzudilin/beta.pdf |wayback=20110113021213 |text=PDF des mathematischen Instituts der Universität Köln }}</ref> dass mindestens einer der Werte [[Catalansche Konstante|<math>\beta(2)</math>]], <math>\beta(4)</math>, <math>\beta(6)</math>, <math>\beta(8)</math>, <math>\beta(10)</math> und <math>\beta(12)</math> [[irrationale Zahl|irrational]] ist.

Außerdem bewiesen Guillera und Sondow 2005<ref>Jesús Guillera, Jonathan Sondow: ''Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent''. In: ''Ramanujan Journal. An international Journal devoted to the areas of mathematics'', Bd. 16 (2008), Nummer 3, Seiten 247–270, {{ISSN|1382-4090}}; vgl. in [https://arxiv.org/abs/math/0506319 arxiv]</ref> folgende Formel:

:<math>\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{[-\ln(xy)]^s}{1+x^2y^2}\mathrm dx\mathrm dy =\Gamma(s+2)\beta(s+2)</math>

== Literatur ==

* [[Niels Henrik Abel]]: ''Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies''. Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823
* Olver, Frank W. J.: ''Asymptotics and special functions''. Reprint of the 1974 original. AKP Classics. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997. ISBN 978-1-56881-069-0

== Weblinks ==
*{{MathWorld|DirichletBetaFunction|Dirichlet Beta Function}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]

Dirichletsche Betafunktion - Versionsgeschichte

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