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2025-06-26T14:09:55Z

Halbgeviertstrich, Links optimiert, Kleinkram

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{{QS-Mathematik}}
{{Belege fehlen |1=Einzelnachweise fehlen!}}
Die '''Randbedingung erster Art'''<ref>{{Literatur |Titel=Randbedingungen |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref> ist ein Begriff aus der [[Mathematik]] und gehört zum Teilbereich der Theorie der [[Differentialgleichung]]en. Sie ist eine spezielle [[Randbedingung]] eines [[Randwertproblem]]s, bei dem die Werte der gesuchten Funktion am [[Rand (Topologie)|Rand]] ihres [[Definitionsbereich]]s vorgegeben sind. Der Begriff findet sowohl bei [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen]] als auch bei [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] Anwendung. Insbesondere im Bereich der partiellen Differentialgleichungen und dort in der Theorie der [[Elliptische partielle Differentialgleichung|elliptischen Differentialgleichungen]] wird die Randbedingung erster Art auch '''Dirichlet-Randbedingung'''<ref name=":0">{{Literatur |Autor=John David Jackson |Titel=Klassische Elektrodynamik |Verlag=Walter de Gruyter |Datum=2006 |ISBN=978-3-11-018970-4 |Seiten=45 |Online=https://www.google.de/books/edition/Klassische_Elektrodynamik/9eMaKsWp9DMC?hl=de&gbpv=1&dq=Dirichlet-Randbedingung&pg=PA45&printsec=frontcover |Abruf=2025-02-26}}</ref> genannt. Der Name geht auf den Mathematiker [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] zurück. Genauso geht auch der Name des [[#Definition der Dirichlet-Randbedingung|Dirichlet-Problems]] – der Prototyp eines partiellen Randwertproblems mit Dirichlet-Randbedingung – auf ihn zurück.<ref name=":0" />

Im Unterschied dazu legt die Randbedingung zweiter Art – auch [[Neumann-Randbedingung]] genannt – fest, welchen Wert die Ableitung der gesuchten Funktion am Rand annimmt. Daneben gibt es weitere Randbedingungen wie die gemischte und die [[schiefe Randbedingung]], die beide Ansätze miteinander kombinieren.

== Gewöhnliche Differentialgleichung ==
=== Definition der Randbedingung erster Art ===
Im Falle einer [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichung]] wird der Definitionsbereich der Lösung in der Regel als ein [[abgeschlossenes Intervall]] festgelegt. Damit besteht der Rand aus den beiden Intervall-Endpunkten. Aufgrund der Struktur gewöhnlicher Differentialgleichungen sind Randbedingungen erster Art nur für Gleichungen zweiter oder höherer Ordnung sinnvoll. Ein Randwertproblem für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form:

:<math>\begin{cases} f(x,y(x),y'(x),y''(x))=0, \quad x\in (a,b) \\y(a) = \alpha,\quad y(b) = \beta\end{cases}</math>

Hierbei ist <math>f</math> eine vorgeschriebene Funktion, <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind vorgegebene Zahlen für die Funktionswerte der Lösung an den Intervall-Endpunkten.<ref>{{Literatur |Autor=Andrei D. Polyanin, Valentin F. Zaitsev |Titel=Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems |Verlag=CRC Press |Datum=2017-11-15 |ISBN=978-1-4665-6940-9 |Seiten=103 |Online=https://www.google.de/books/edition/Handbook_of_Ordinary_Differential_Equati/L3JQDwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=boundary+condition+first+kind&pg=PA1450&printsec=frontcover |Abruf=2025-02-26}}</ref>

=== Beispiel ===

Gegeben sei das Randwertproblem
:<math>\begin{cases} y'' = -y \\y(0) = 0,\quad y(\pi) = 0\end{cases}</math>
auf dem Intervall <math>[0,\pi]</math>.

Mit der Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erhält man als klassische Lösung der Differentialgleichung:

:<math> y (x) = C\cos x + D\sin x</math>

mit zwei frei wählbaren reellen Konstanten <math>C</math> und <math>D</math>. Mit den Randbedingungen können diese Konstanten fixiert werden. Dabei erhält man ein [[lineares Gleichungssystem]] in den Unbekannten <math>C</math> und <math>D</math>:

:<math>C = 0</math>,
:<math>-C = 0</math>.

Bemerkenswerterweise ist dieses System nicht eindeutig lösbar, aber es ist für beliebiges reelles <math>D</math> eine Lösung gegeben durch

:<math>y(x) = D\sin x</math>.

=== Existenz und Eindeutigkeit ===

Der folgende Satz wird für homogene (<math>\alpha=\beta=0</math>) Daten formuliert. Dies ist jedoch keine Einschränkung, denn durch eine Transformation <math>\tilde{u}(x)=u(x)-r(x)</math> mit
:<math>r(x)=\frac{(b-x)\alpha+(x-a)\beta}{b-a}</math>
kann ein inhomogenes Problem stets in ein homogenes Problem überführt werden.

Gegeben sei das Randwertproblem

:<math>\begin{cases}-u''(x)=f(x,u(x),u'(x)),\quad x\in (a,b) \\u(a)=u(b)=0\end{cases}</math>

Dabei sei <math>f\colon [a,b]\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb R</math> eine stetige Funktion. Außerdem erfülle sie eine [[Lipschitz-Bedingung]], das heißt, es gebe Zahlen <math>L,K> 0 </math>, so dass für alle <math>x\in[a,b]</math> und für alle <math>s,t,s',t'\in \mathbb{R}</math> die Ungleichung
:<math>|f(x,s,s')-f(x,t,t')|\leq L|s-t|+K|s'-t'|</math>
erfüllt sei. Weiterhin gelte
:<math>L\frac{(b-a)^2}{8}+K\frac{b-a}{2}<1.</math>
Sei <math>w</math> eine Lösung von
:<math> w''(x)+Lw'(x)+Kw(x)=0,\quad x\in(a,b).</math>
Die Lösung <math>w</math> verschwinde für <math>x=a</math> und <math>\alpha(L,K)</math> sei die erste eindeutige Zahl, so dass <math>w'(x)=0</math> für <math>x=a+\alpha(L,K)</math>. Dann hat das zugrunde liegende Problem genau eine Lösung, falls
:<math>b-a<2\alpha(L,K).</math><ref>{{Literatur |Titel=Nonlinear Two Point Boundary Value Problems (Mathematics in science and engineering, v. 44) |Verlag=Elsevier |Datum=1968 |ISBN=978-0-12-073350-7 |Seiten=96}}</ref>
Gilt hingegen <math>b-a \geq 2\alpha(L,K)</math>, so muss keine Lösung existieren oder sie muss nicht eindeutig sein. Weiterhin gilt
:<math>\alpha(L,K)=\begin{cases}
\frac{2}{\sqrt{4K-L^2}}\arccos \frac{L}{2\sqrt{K}},& 4K-L^2>0 \\
\frac{2}{L^2-4K}\operatorname{arcosh} \frac{L}{2\sqrt{K}}, & 4K-L^2 <0;L,K>0 \\
\frac{2}{L}, & 4K-L^2=0,L>0 \\
+\infty, & \text{sonst}
\end{cases}</math>

Ist die rechte Seite <math>f</math> der Differentialgleichung jedoch nur stetig und beschränkt, dann garantiert der [[Satz von Scorza Dragoni]] die Existenz einer Lösung.

== Partielle Differentialgleichungen ==

=== Definition der Dirichlet-Randbedingung ===

Bei einer [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichung]] ist die alleinige Angabe von Dirichlet-Randbedingungen nur für [[Elliptische partielle Differentialgleichung|elliptische Gleichungen]] auf einem [[Beschränktheit|beschränkten]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>\Omega\subset\R^n</math> sinnvoll, da die anderen Typen auch Vorgaben der [[Anfangswertproblem|Anfangswerte]] benötigen.<ref>{{Literatur |Autor=Viktor Pavlovich Pikulin, S. I. Pokhozhaev |Titel=Equations in Mathematical Physics: A Practical Course |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=2001 |ISBN=978-3-7643-6501-1 |Seiten=4 |Online=https://www.google.de/books/edition/Equations_in_Mathematical_Physics/QGw2EkI3WNIC?hl=de&gbpv=1&dq=Dirichlet+boundary+condition&pg=PA4&printsec=frontcover |Abruf=2025-02-26}}</ref> Dabei werden Dirichlet-Randbedingungen auf dem Rand des Gebietes <math>\partial\Omega</math> vorgeschrieben. Wir definieren hier das Dirichletproblem für quasilineare partielle Differentialgleichungen

:<math>u\in C^2(\Omega)\cap C^0(\overline\Omega)</math>
:<math>\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x,u,\nabla u)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j} u = f(x,u,\nabla u)</math>
:<math>u(x) = g(x),\qquad x\in\partial\Omega\, .</math>

Hierbei stellt die Funktion <math>g \colon \partial\Omega\rightarrow\R</math> die vorgeschriebenen Funktionswerte der Lösung auf dem Rand dar. Allein die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen Problems ist komplex und ist teilweise noch ungelöst.

=== Beispiel ===

Wir betrachten in diesem Beispiel auf dem Gebiet <math>\Omega = (0,\pi)^n = \{x=(x_1, \dots, x_n)\in\R^n\,:\, 0< x_i< \pi, \quad i=1,\dots,n\},</math> das folgende Randwertproblem:

:<math>u\in C^2(\Omega)\cap C^0(\overline \Omega)</math>
:<math>\Delta u(x) = -nu(x),\qquad x\in \Omega</math>
:<math>u(x) = 0,\qquad \qquad \quad \; x\in\partial \Omega.</math>

Hierbei bezeichnet <math>\Delta</math> den [[Laplace-Operator]]. Zunächst stellen wir fest, dass <math>u\equiv 0</math> eine Lösung des Problems ist. Wir wollen noch weitere Lösungen finden. Wir nehmen nun <math>u(x)\neq 0</math> für <math>x\in\Omega</math> an und machen den folgenden Produktansatz

:<math> u(x) = v_1(x_1)\cdot \dots \cdot v_n(x_n) = \prod_{k=1}^n v_k(x_k).</math>

Für die Funktionen <math>v_k</math> leiten wir gewöhnliche Differentialgleichungen mit entsprechenden Dirichlet-Randbedingungen her. Es folgt

:<math>\begin{align}
\Delta u &= \left (\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+ \dots +\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\right )u(x) \\
&= v_1''(x_1)v_2(x_2)\cdot \dots \cdot v_n(x_n) + \dots + v_1(x_1)\cdot \dots \cdot v_{n-1}(x_{n-1})v_n''(x_n) \\
&= u(x) \sum_{k=1}^n \frac{v_k''(x_k)}{v_k(x_k)}.
\end{align}</math>

Wenn nun die <math>v_k</math> dem Randwertproblem

:<math>v_k \in C^2(0,\pi)\cap C^0[0,\pi]</math>
:<math>v_k'' \,=\, -v_k</math>
:<math>v_k(0) = 0,\quad v_k(\pi) = 0</math>

genügen, dann ist die oben definierte Funktion <math>u</math> eine Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für die partielle Differentialgleichung. Mit dem Beispiel für gewöhnliche Differentialgleichungen erhalten wir

:<math>v_k(x) \,=\, D_k \sin(x_k)</math>

und somit

:<math>u(x) = D\prod_{k=1}^n\sin(x_k)</math>

als Lösung unseres Problems partieller Differentialgleichungen zu Dirichlet-Randbedingungen. Offen bleibt die Frage, ob es noch weitere Lösungen gibt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]

Dirichlet-Randbedingung - Versionsgeschichte

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