imported>Sokrates 399: Typografie (Apostroph ≠ Accent aigu ≠ Prime)

2026-04-30T07:33:25Z

Typografie (Apostroph ≠ Accent aigu ≠ Prime)

Neue Seite

Das '''Dirichlet-Prinzip''' in der [[Potentialtheorie]] besagt, dass Funktionen <math>u</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subset \mathbb{R}^n</math> (mit vorgegebenen stetigen Werten <math>u = g</math> auf dem Rand von <math>G</math>) existieren, die das „Energiefunktional“ (Dirichlet-Integral)

:<math>D(u)= \int_G \left({\left( \frac {\partial u}{\partial x_1}\right)}^2 + {\left( \frac {\partial u}{\partial x_2}\right)}^2 + \dots + {\left( \frac {\partial u}{\partial x_n}\right)}^2\right)\, \mathrm d\lambda^n = \int_G |\nabla u|^2 \mathrm d\lambda^n \geq 0 </math>

minimieren, und die [[Laplace-Gleichung]]<ref>Das beinhaltet auch die Aussage, dass <math>u</math> in <math>G</math> zweimal stetig differenzierbar ist</ref>

:<math>\Delta u = 0</math>

in <math>G</math> erfüllen, also [[harmonische Funktion]]en sind.<ref>Courant, Dirichlet's principle, Conformal Mapping and Minimal Surfaces, 1950, S. 6</ref><ref>[https://mathworld.wolfram.com/DirichletsPrinciple.html Dirichlet's Principle], Mathworld</ref><ref>Hildebrandt, Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip, in: Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, Springer 1997, S. 197</ref> Dabei wird vorausgesetzt, dass die Funktionen <math>u</math> in <math>G</math> und auf dem Rand von <math>G</math> stetig sind und in <math>G</math> stetig differenzierbar sind (<math>u \in C^0 (\bar G) \cap C^1 (G)</math>, siehe für <math>C^0</math> und <math>C^1</math> [[Differentiationsklasse]]). Manchmal wird auch noch eine Eindeutigkeitsaussage für die Funktion (und das Minimum des Dirichletintegrals) hinzugefügt.<ref>Hildebrandt, loc. cit., S. 197</ref>

== Geschichte ==

Es wurde von [[Georg Friedrich Bernhard Riemann]] zur Begründung seiner Theorie [[Riemannsche Fläche|riemannscher Flächen]] verwendet (insbesondere für den Beweis der Existenz [[Analytische Funktion|analytischer Funktionen]] auf diesen Flächen), der es nach seinem Lehrer [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] benannte. Es taucht zwar nicht explizit in den Schriften von Dirichlet auf, wurde von ihm aber in seinen Vorlesungen verwendet, aus denen Riemann es kannte. Bei analytischen Funktionen erfüllen der Real- und Imaginärteil separat die Laplacegleichung. Durch die Kritik von [[Karl Weierstraß]], der ein Beispiel eines ähnlichen Variationsproblems gab, bei dem keine Funktion existierte, die das Minimum annahm, war das Dirichlet-Prinzip im 19. Jahrhundert in Misskredit geraten. Erst insbesondere durch die Arbeiten von [[David Hilbert]] (1904), der sogenannte „direkte Methoden“ der Variationsrechnung verwendete, wurde es rehabilitiert und dann häufig z. B. von [[Richard Courant]] in der Theorie der konformen Abbildungen und in der Theorie der Minimalflächen verwendet.

Das Dirichlet-Prinzip liefert eine Methode für die Lösung des für die mathematische Physik fundamentalen „[[Dirichlet-Randbedingung|Dirichlet-Problems]]“, nämlich die Laplace-Gleichung in einem vorgegebenen Gebiet <math>G</math> zu vorgegebenen Werten der Funktion auf dem Rand ([[Dirichlet-Randbedingung]]) zu lösen. Dieses Problem wird nämlich nun dadurch charakterisiert, einen Minimierer für ein geeignetes Funktional aufzufinden. Letztere Fragestellung gehört zum mathematischen Gebiet der [[Variationsrechnung]].

Die Auffassung des Dirichlet-Integrals als potentielle Energie und dass die Funktionen, die das Dirichlet-Integral minimieren, den Gleichgewichtslagen eines Systems entsprechen, war Dirichlet bewusst.<ref>Hildebrandt, loc. cit., S. 199</ref> Da das Dirichlet-Integral größer oder gleich Null ist, wurde die Existenz einer Minimallösung als evident betrachtet. Dirichlet hatte bei seinem Prinzip auch Vorläufer bei [[William Thomson, 1. Baron Kelvin|William Thomson]] und [[Carl Friedrich Gauß]].<ref>Courant, Dirichlet's principle, conformal mappings and minimal surfaces, 1905, S. 2</ref>

== Beweisskizze ==

Sei <math>v</math> eine beliebige stetig differenzierbare Funktion mit <math>v=0</math> auf dem Rand von <math>G</math>. Dann gilt für alle <math>\varepsilon \in \mathbb{R}</math>

:<math>D (u + \varepsilon v) = D (u) + 2 \varepsilon \int_G (\nabla u)(\nabla v) \mathrm d\lambda^n + {\varepsilon}^2 D(v)\ .</math>

Insbesondere existiert der Limes

:<math>\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac { D (u + \varepsilon v) - D (u )} {\varepsilon} = 2 \int_G (\nabla u)(\nabla v) \mathrm d\lambda^n\ .</math>

Da das Funktional <math>D</math> in <math>u</math> ein Minimum annimmt, ist <math>\frac { D (u + \varepsilon v) - D (u )} {\varepsilon} \geq 0</math> für <math>\varepsilon > 0</math> und <math>\frac { D (u + \varepsilon v) - D (u )} {\varepsilon} \leq 0</math> für <math>\varepsilon < 0</math>. Also muss der Grenzwert 0 sein, d. h.

:<math>0 = 2 \int_G (\nabla u)(\nabla v) \mathrm d\lambda^n\ .</math>

Die [[Greensche Formeln|erste greensche Formel]] liefert

:<math> 0 = \int_G (\nabla u) (\nabla v) \mathrm d\lambda^n = -\int_G (v \triangle u) \mathrm d\lambda^n + \int_{\partial G}v\frac{\partial u}{\partial \nu}\, \mathrm d\sigma = -\int_G (v \triangle u) \mathrm d\lambda^n\ ,</math>

wobei <math>v= 0</math> auf dem Rand <math>\partial G</math> benutzt wurde.

Da <math>v</math> bis auf die oben angegebenen Einschränkungen beliebig war, folgt aus dem [[Fundamentallemma der Variationsrechnung]], dass <math>u</math> die Laplace-Gleichung in <math>G</math> erfüllen muss. <div align="right"><math>\Box</math></div>

'''Vorsicht''': Vorausgesetzt wurden hierbei, dass man ''a priori'' wusste, dass <math>u</math> zweimal stetig differenzierbar ist und dass auf dem Gebiet <math>G</math> der [[Gaußscher Integralsatz|gaußsche Integralsatz]] gilt. Letzteres ist keine große Restriktion, hingegen ist die erste implizite Voraussetzung delikaterer Natur.

== Literatur ==

* [[Lars Gårding]]: ''The Dirichlet problem.'' In: ''Mathematical Intelligencer.'' 2, Nr. 1, 1979, {{ISSN|0343-6993}}, S. 42–52.
* [[Stefan Hildebrandt]]: ''Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip.'' In: [[Hermann Weyl]]: ''Die Idee der Riemannschen Fläche.'' Teubner, Leipzig u. a. 1913, S. 197 (''Mathematische Vorlesungen an der Universität Göttingen'' 5, {{ZDB|978485-8}}), (Nachdruck erweitert um einen Anhang. Herausgegeben von [[Reinhold Remmert]]. Teubner, Stuttgart u. a. 1997, ISBN 3-8154-2096-2 (''Teubner-Archiv zur Mathematik.'' Supplement 5)).
* [[A. F. Monna]]: ''Dirichlet’s Principle. A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis.'' Oosthoek, Scheltema & Holkema, Utrecht 1975, ISBN 90-313-0175-2.
* [[Richard Courant]]: ''Dirichlet's Principle, Conformal Mapping and Minimal Surfaces'', Interscience 1950
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]

Dirichlet-Prinzip - Versionsgeschichte

imported>Sokrates 399: Typografie (Apostroph ≠ Accent aigu ≠ Prime)