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2026-03-01T21:47:24Z

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[[Datei:Dirichlet-function.svg|miniatur|Graphische Darstellung der Dirichlet-Funktion, zwei parallele, scheinbar durchgezogene Linien. Die blaue (bzw. rote) Linie stellt die in den reellen Zahlen [[Dichte Teilmenge|dicht liegenden]] rationalen (bzw. irrationalen) Zahlen dar. Der [[Funktionsgraph|Graph]] enthält entlang der blauen (bzw. roten) Linie [[überabzählbar]] (bzw. [[Abzählbare Menge|abzählbar]]) viele Löcher ohne Ausdehnung, weshalb sie in der Darstellung nicht sichtbar sind.]]
Die '''Dirichlet-Funktion''' (nach dem deutschen Mathematiker [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], manchmal auch als ''Dirichletsche Sprungfunktion''<ref>{{Internetquelle |url=https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=hm1_3_4_Z3 |titel=Grundzüge der Höheren Mathematik {{!}} Integrierbare Funktionen – Oliver Deiser {{!}} aleph1 |abruf=2026-03-01}}</ref> bezeichnet) ist eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]]. Eine ihrer Eigenschaften ist es, Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar zu sein.

== Definition ==
Die Dirichlet-Funktion wird üblicherweise mit <math>D</math> bezeichnet. Sie ist die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] der rationalen Zahlen als Teilmenge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Somit ist sie definiert als:

:<math>D\colon \R\to\R,\quad x\mapsto D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational,} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational.} \end{cases}</math>

== Eigenschaften ==
Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für
*eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches [[Stetige Funktion|unstetige Funktion]],
*eine Funktion der zweiten Klasse in der [[Bairesche Klasse|Klassifikation von Baire]]:
:: <math>D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)</math>,
*eine [[Lebesgue-Integral|Lebesgue-integrierbare]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die aber nicht [[Riemann-Integral|Riemann-integrierbar]] ist.
*eine [[beschränkte Funktion]], deren [[Supremum#Suprema (und Infima) von Abbildungen|Supremum]] ''nicht'' mit ihrem [[Wesentliches Supremum|wesentlichen Supremum]] (bzgl. des [[Lebesgue-Maß]]es) übereinstimmt.

== Riemann-Integrierbarkeit ==
Die Dirichlet-Funktion ist in keinem [[Intervall (Mathematik)|echten Intervall]] Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung <math>Z</math> im Teilintervall <math>\left [ x_{k-1}, x_k \right ]</math> stets sowohl [[Rationale Zahl|rationale]] als auch [[irrationale Zahl]]en liegen und somit
: die [[Riemann-Integral#Ober-_und_Untersummen|Untersumme]] <math>U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)</math>
stets 0 ist (weil das [[Infimum]] stets 0 ist) und
: die [[Riemann-Integral#Ober-_und_Untersummen|Obersumme]] <math>O(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)</math>
stets die Länge des Intervalls, über das integriert wird, ist (weil das [[Supremum]] immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

:<math>\begin{matrix}\text{Oberintegral} & = & \text{kl. Obersumme} & = & \text{gr. Untersumme} & = & \text{Unterintegral} \\ \overline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx & = & \inf_ZO(Z) & = & \sup_ZU(Z) & = & \underline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx\end{matrix}</math>

Da aber für jede beliebige Zerlegung die [[Riemann-Integral#Ober-_und_Untersummen|Unter- und Obersummen]] nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist <math>D</math> auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.math.uni-konstanz.de/~huynh/Rep2018Ana2/RepA2_A9_Lsg.pdf |titel=Übungsaufgabe mit Lösung |hrsg=Uni Konstanz |abruf=2026-03-01}}</ref>

== Lebesgue-Integrierbarkeit ==
Da die Dirichlet-Funktion eine [[einfache Funktion]] ist, also eine [[messbare Funktion]], die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall <math>I</math> wie folgt schreiben:
:<math>\int_{I} D\, {\mathrm d}\lambda = 0 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{Q})</math>,
wobei <math>\lambda</math> für das [[Lebesgue-Maß]] steht.

Bei jedem beliebigen Wert von <math>\lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})</math> ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der [[Maßtheorie]] auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist <math>\lambda(I \cap \mathbb{Q})</math> stets 0, da die Punktmenge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen [[Abzählbarkeit|abzählbar]] und somit eine <math>\lambda</math>-Nullmenge ist.

Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:
:<math>\int_{I} D\,{\mathrm d}\lambda = 0</math>.

== Verwandte Funktion ==
Eine verwandte Funktion ist auf <math>[0;1]</math> wie folgt definiert:

:<math>f(x) := \begin{cases} 1,& \mbox{wenn } x=0, \\ 0, & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational,} \\ \frac 1q, & \mbox{wenn } x=\frac pq \mbox{ mit } p, q \in \N \mbox{ und } \operatorname{ggT}(p,q)=1. \end{cases}</math>

Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereichs unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion auch Riemann-integrierbar:

:<math>\int\limits_0^1 f(x) {\mathrm d}x = 0</math>.

Sie wird unter anderem etwa [[Thomaesche Funktion]] genannt.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|DirichletFunction|Dirichlet-Funktion}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Dirichletfunktion}}
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]

Dirichlet-Funktion - Versionsgeschichte

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