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2023-01-02T14:31:15Z

HC: Ergänze Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet

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{{Dieser Artikel|erläutert eine Konvergenzbedingung für Fourierreihen; für die Randbedingung bei Differenzialgleichungen; siehe [[Dirichlet-Randbedingung]].}}
Die '''Dirichlet-Bedingung''', auch '''Satz von Dirichlet''' genannt, ist nach [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] benannt und gibt an, wann die [[Fourierreihe]] [[punktweise Konvergenz|punktweise]] gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

== Aussage ==
Sei <math>f</math> eine im Intervall <math>[-T/2,T/2]</math> definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:
# Das Intervall <math>[-T/2,T/2]</math> lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen <math>f</math> stetig und monoton ist.
# Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von [[Unstetigkeitsstelle|1. Art]], das heißt, es existieren rechts- und linksseitiger [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]], <math>f(t_0+)</math> und <math>f({t_0}-)</math>.

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem <math>t \in [-T/2,T/2]</math> gegen
: <math>
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \cos(n \omega t) + b_n \cdot \sin(n\omega t))
= \begin{cases} f(t), & \mbox{wenn }f\mbox{ in t stetig} \\
(f(t+)+f(t-))/2, & \mbox{wenn }f\mbox{ in t unstetig}
\end{cases}
</math>.

== Quellen ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.

[[Kategorie:Harmonische Analyse]]
[[Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]

Dirichlet-Bedingung - Versionsgeschichte

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