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2025-03-12T10:33:20Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''direktes Produkt''' eine [[mathematische Struktur]], die mit Hilfe des [[kartesisches Produkt|kartesischen Produkts]] aus vorhandenen mathematischen Strukturen gebildet wird. Wichtige Beispiele sind das direkte Produkt von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Ringtheorie|Ringen]] und anderen [[algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]], sowie direkte Produkte von nichtalgebraischen Strukturen wie [[topologischer Raum|topologischen Räumen]].

Allen direkten Produkten algebraischer Strukturen <math>X_i</math> ist gemeinsam, dass sie aus einem kartesischen Produkt der <math>X_i</math> bestehen und die Verknüpfungen komponentenweise definiert sind.

== Direktes Produkt von Gruppen ==
Im Prinzip gilt das Folgende für beliebige Gruppen. Wird die Verknüpfung aber als Addition bezeichnet, was bei vielen [[Abelsche Gruppe|kommutativen]] Gruppen üblich ist, so heißt das hier besprochene Konstrukt meist direkte Summe.

=== Äußeres und inneres direktes Produkt ===
Man unterscheidet das sogenannte äußere direkte Produkt von Gruppen einerseits und das innere direkte Produkt von [[Untergruppe]]n einer gegebenen Gruppe andererseits. Die folgenden Ausführungen beschreiben das äußere direkte Produkt. Dabei wird aus zwei oder mehr Gruppen eine neue Gruppe konstruiert, die man das ''direkte Produkt'' der gegebenen Gruppen nennt. Das innere direkte Produkt von Untergruppen wird im Artikel [[Normalteiler]] behandelt.

=== Direktes Produkt von zwei Gruppen ===

Sind <math>(G_1,*)</math> und <math>(G_2,\star)</math> [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], so lässt sich auf dem [[kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] <math>G_1 \times G_2</math> eine Verknüpfung definieren:
:<math>(x_1, x_2) \odot (y_1, y_2) := (x_1 * y_1, x_2 \star y_2)</math>
Hier werden also jeweils die beiden ersten Komponenten und die beiden zweiten Komponenten miteinander verknüpft. Es ergibt sich wieder eine Gruppe, die man als <math>(G_1,*) \odot (G_2,\star)</math> schreibt.

;Beispiel: Sind <math>G=Z_{2} = \{0,1 \}</math> und <math>H=Z_{3} = \{0,1,2 \}</math> Gruppen mit der Addition als Operation, dann besteht das kartesische Produkt <math>Z_{2} \times Z_{3} = \{(x,y) \mid x \in Z_{2} , y \in Z_{3} \}</math> aus den Elementen <math>(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2)</math>. Dies führt auf die [[Verknüpfungstabelle]]

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Wenn wie häufig eine Gruppe <math>(G,*)</math> in der Bezeichnung nicht von ihrer Grundmenge <math>G</math> unterschieden wird, wird meist anstelle von <math>(G_1,*) \odot (G_2,\star)</math> die vereinfachte Bezeichnung <math>G_1 \times G_2</math>
verwendet.

Bezeichnen <math>e_1</math> und <math>e_2</math> die neutralen Elemente von <math>G_1</math> und <math>G_2</math>, so sind
die Teilmengen <math>G_1' = G_1\times \{e_2\}</math> und <math>G_2' = \{e_1\}\times G_2</math> zwei zu <math>G_1</math> bzw. <math>G_2</math> [[Isomorphismus|isomorphe]] Untergruppen von <math>G_1\times G_2</math>. Unabhängig davon, ob die Gruppen <math>G_1</math> und <math>G_2</math> [[abelsche Gruppe|abelsch]] (kommutativ) sind, kommutieren die Elemente von <math>G_1'</math> und <math>G_2'</math>, also Paare der Form <math>(x_1, e_2)</math> bzw. <math>(e_1, x_2)</math> miteinander. Daraus folgt, dass sich jedes Element <math>x=(x_1,x_2)\in G_1 \times G_2</math> eindeutig schreiben lässt als Produkt <math>x = g_1' \odot g'_2</math> mit <math>g_1'=(x_1,e_2)\in G_1'</math> und <math>g_2'=(e_1,x_2)\in G_2'</math>. Insbesondere sind <math>G_1'</math> und <math>G_2'</math> Normalteiler von <math>G_1 \times G_2</math>.

Eine Verallgemeinerung des direkten Produktes von zwei Gruppen ist das [[Semidirektes Produkt|semidirekte Produkt]].

=== Direktes Produkt von endlich vielen Gruppen ===

Für beliebige endliche Anzahl von Gruppen <math>G_1,\ldots,G_n</math> erfolgt die Definition ihres direkten Produkts analog: Das direkte Produkt ist die Menge <math>G_1 \times \ldots \times G_n</math> mit der Verknüpfung
:<math>(x_1,\ldots,x_n) \odot (y_1,\ldots,y_n) := (x_1 *_1 y_1, \ldots, x_n *_n y_n)</math>, wo <math>*_i</math> jeweils die Verknüpfung auf <math>G_i</math> bezeichnet.
Es ergibt sich auch hier wieder eine Gruppe.

Auch hier enthält das direkte Produkt zu jeder Gruppe <math>G_i</math> einen Normalteiler <math>G_i'</math>, der zu <math>G_i</math> isomorph ist. Er besteht aus den Elementen der Form
:<math>(e_1, \ldots, e_{i-1}, x_i, e_{i+1}, \ldots, e_n)</math>, <math>x_i\in G_i</math> .
Die Elemente verschiedener <math>G_i'</math> kommutieren und jedes Element <math>x</math> des direkten Produkts hat eine eindeutig bestimmte Darstellung als Produkt solcher Elemente: <math>x= \prod g_i' </math>   mit <math>g_i'\in G_i'</math> .

==== Beispiel ====

Jede endliche abelsche Gruppe ist entweder zyklisch oder isomorph zum direkten Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt (Hauptsatz über [[endlich erzeugte abelsche Gruppe]]n).

=== Direktes Produkt und direkte Summe von unendlich vielen Gruppen ===

Analog zum Fall endlich vieler Gruppen definiert man das direkte Produkt unendlich vieler Gruppen <math>\{G_i \mid i\in I\}</math> als ihr kartesisches Produkt <math>\prod_{i\in I} {G_i}</math> mit komponentenweiser Verknüpfung <math>(x_i)_{i\in I} \odot (y_i)_{i\in I} := (x_i *_i y_i)_{i \in I}</math>.

Die Menge der Elemente des direkten Produkts, die sich als Verknüpfung von Tupeln schreiben lassen, welche in nur endlich vielen Komponenten vom neutralen Element verschieden sind, ist im Allgemeinen eine echte Untergruppe des gesamten direkten Produkts. Diese Teilmenge nennt man die [[direkte Summe]] der Gruppen.

Gleichwertige Charakterisierungen der direkten Summe als Untergruppe des direkten Produkts:

* Sie besteht aus jenen Elementen <math>(x_i)_{i\in I}</math>, für die die Indexmenge <math>J = \{i \in I \mid x_i \neq e_i\}</math> endlich ist. (<math>J</math> ist die Menge der „Positionen“ von <math>(x_i)</math>, an denen nicht das neutrale Element der jeweiligen [[Faktorgruppe]] „steht“.)
* Jedes Element der direkten Summe liegt im Kern von allen bis auf endlich vielen [[Projektion (Mengenlehre)|kanonischen Projektionen]] <math>(\pi_i)_{i\in I}</math>.

Aus diesen Charakterisierungen wird deutlich, dass bei Produkten mit endlich vielen nichttrivialen Faktoren die Summen- und die Produktgruppe identisch sind.

== Direktes Produkt von Ringen, Vektorräumen und Moduln ==

Analog zum direkten Produkt von Gruppen kann man auch das direkte Produkt von [[Ringtheorie|Ringen]] definieren, indem man Addition und Multiplikation komponentenweise definiert. Man erhält dabei wieder einen Ring, der aber kein [[Integritätsring]] mehr ist, da er [[Nullteiler]] enthält.

Wie bei Gruppen unterscheidet sich auch das direkte Produkt unendlich vieler Ringe von der direkten Summe der Ringe.

Das direkte Produkt von [[Vektorraum|Vektorräumen]] über demselben [[Körper (Algebra)|Körper]] K (bzw. von [[Modul (Mathematik)|R-Moduln]] über demselben kommutativen [[Ringtheorie|Ring]] R mit Eins) definiert man ebenfalls als kartesisches Produkt mit komponentenweiser Addition und [[Skalarmultiplikation]] (bzw. Multiplikation mit den Ringelementen). Der resultierende Vektorraum wird dann ''Produktraum'' genannt.

Für endlich viele Vektorräume <math>V_1,\ldots,V_n</math> (oder R-Moduln) stimmt das direkte Produkt
:<math>\prod_{i=1}^n V_i</math>
mit der [[direkte Summe|direkten Summe]]
:<math>\bigoplus_{i=1}^n V_i</math>
überein. Für unendlich viele Vektorräume (bzw. R-Moduln) unterscheiden sie sich dadurch, dass das direkte Produkt aus dem gesamten kartesischen Produkt besteht, während die direkte Summe nur aus den Tupeln besteht, die an nur endlich vielen Stellen ''i'' vom [[Nullvektor]] in <math>V_i</math> verschieden sind.

Das direkte Produkt
:<math>\prod_{i=1}^\infty \mathbb{Q}</math>
ist der Vektorraum aller [[rationale Zahlen|rationalen]] [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolgen]], er ist [[überabzählbar]].

Die direkte Summe
:<math>\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{Q}</math>
ist der Vektorraum aller rationalen Zahlenfolgen, die nur endlich viele Nicht-Nullen enthalten, d. h. der Raum aller abbrechenden rationalen Zahlenfolgen. Er ist [[Abzählbare Menge|abzählbar]].

== Direktes Produkt von topologischen Räumen ==

Für das direkte Produkt von topologischen Räumen <math>\{X_i | i \in I\}</math> bilden wir wieder ein kartesisches Produkt
:<math>\prod_{i \in I} X_i</math>,
doch die Definition der neuen Topologie ist schwieriger.

Für endlich viele Räume <math>X_1,\ldots,X_n</math> definiert man die Topologie des Produkts als die kleinste Topologie (d. h. die mit den wenigsten offenen Mengen), die die Menge
:<math>\mathcal{B} = \{U_1 \times \ldots \times U_n \mid U_i\ \text{offen in}\ X_i \}</math>
aller "offenen Quader" enthält. Diese Menge <math>\mathcal{B}</math> bildet damit eine [[Basis (Topologie)|Basis der Topologie]] des Produkts. Die so erhaltene Topologie nennt man die ''Produkttopologie''.

Die Produkttopologie, die auf dem kartesischen Produkt <math>\mathbb{R}^n</math> erzeugt wird, wenn man auf <math>\mathbb{R}</math> die gewöhnliche Topologie wählt (in der die offenen Mengen von den offenen Intervallen erzeugt werden), ist gerade die gewöhnliche Topologie des [[euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] <math>\mathbb{R}^n</math>.

Für die Definition der Produkttopologie für unendlich viele Räume und weitere Eigenschaften siehe den Artikel [[Produkttopologie]].

== Weblinks ==
* Eric W. Weisstein et al.: [https://mathworld.wolfram.com/DirectProduct.html Direct Product] (from MathWorld--A Wolfram Web Resource)

== Literatur ==
* K. Meyberg: ''Algebra, Teil 1.'' 2. Aufl., Hanser Verlag, München 1980, ISBN 3-446-13079-9

[[Kategorie:Algebra]]

[[ru:Прямое произведение#Прямое произведение групп]]

Direktes Produkt - Versionsgeschichte

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