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Ein '''Diracmaß''', benannt nach dem Physiker [[Paul Dirac]], ist ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] in der [[Maßtheorie]] mit einelementigem [[Träger (Maßtheorie)|Träger]]. Das Diracmaß ist die Verteilung einer [[fast sicher]] konstanten [[Zufallsvariable]] und spielt eine Rolle als Formalisierung des Begriffes der [[Delta-Distribution]].

== Definition ==
Es sei ein [[messbarer Raum]] <math>(\Omega,\mathcal{A})</math> gegeben, also eine Grundmenge <math>\Omega</math> zusammen mit einer darauf definierten [[σ-Algebra]] <math>\mathcal{A}</math>. Zu jedem Punkt <math>z\in\Omega</math> wird eine zugehörige Abbildung <math>\delta_z</math> definiert, die jeder Menge <math>A\in\mathcal{A}</math> den Wert <math>1</math> zuordnet, wenn sie <math>z</math> enthält, und den Wert <math>0</math>, wenn sie <math>z</math> nicht enthält:
:<math> \delta_z(A) :=
\begin{cases}
1, & \text{falls } z \in A, \\
0 & \text{sonst.}
\end{cases}
</math>

Die Abbildung <math>\delta_z \colon \mathcal{A} \to [0,1]</math> ist dann ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] und wird ''Diracmaß'' oder ''Punktmaß'' im Punkt <math>z</math> genannt. Wegen <math>\delta_z(\Omega) = 1</math> ist <math>\delta_z</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und <math>(\Omega,\mathcal{A},\delta_z)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]]. Damit lässt sich die [[Dirac-Verteilung]] definieren. Beim Diracmaß <math>\delta_z</math> ist die Einheitsmasse im Punkt <math>z</math> konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum [[σ-endlich]].

Mit Hilfe der [[Indikatorfunktion|charakteristischen Funktion]] <math>\chi</math> kann man die definierende Gleichung auch durch
:<math>\delta_z(A) = \chi_A(z)</math>
für alle <math>z\in\Omega</math> und <math>A\in\mathcal{A}</math> ausdrücken.

== Eigenschaften des Dirac-Maßes ==
<math>\delta_{x}</math> sei das Dirac-Maß, das auf einem festen Punkt <math>x </math> in einem messbaren Raum <math>(X, \Sigma)</math> zentriert ist.
* <math>\delta_{x}</math> ist ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und damit ein endliches Maß.
Angenommen, dass <math>(X, T)</math> ein [[topologischer Raum]] ist und dass <math> \Sigma</math> mindestens so fein wie die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra <math>\sigma(T)</math> auf <math>X</math> ist, dann gilt:
* <math>\delta_{x}</math> ist ein streng positives Maß dann und nur dann, wenn die [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] <math>T</math> so ist, dass <math>x</math> innerhalb jeder nichtleeren offenen Menge liegt, z. B. im Fall der trivialen Topologie <math>\{\varnothing, X\}</math>.
* Da <math>\delta_{x}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist es auch ein lokal endliches Maß.
* Wenn <math>X</math> ein topologischer [[Hausdorff-Raum]] mit seiner borelschen <math> \sigma </math>-Algebra ist, dann erfüllt <math>\delta_{x}</math> die Eigenschaft, ein inneres [[reguläres Maß]] zu sein, da Einermengen wie <math>\{x\}</math> immer kompakt sind. Folglich ist <math>\delta_{x}</math> auch ein [[Radon-Maß]].
* Unter der Annahme, dass die Topologie <math>T</math> fein genug ist, dass <math>\{x\}</math> abgeschlossen ist (was in den meisten Anwendungen der Fall ist), ist der [[Träger (Maßtheorie)|Träger]] von <math>\delta_{x}</math> gleich <math>\{x\}</math>. (Andernfalls ist <math>\operatorname{supp}\left(\delta_{x}\right)</math> der Abschluss von <math>\{x\}</math> in <math>(X, T)</math>.) Außerdem ist <math>\delta_{x}</math> das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Träger <math>\{x\}</math> ist.
* Wenn <math>X</math> der <math>n</math>-dimensionale [[euklidischer Raum|euklidische Raum]] <math> \mathbb{R}^{n}</math> mit seiner üblichen <math>\sigma</math>-Algebra und <math>n</math>-dimensionalem [[Lebesgue-Maß]] <math>\lambda^{n}</math> ist, dann ist <math> \delta_{x}</math> ein [[singuläres Maß]] in Bezug auf <math>\lambda^{n}</math>: Man zerlege einfach <math>\mathbb{R}^{n}</math> in <math>A=\mathbb{R}^{n} \setminus \{x\}</math> und <math>B=\{x\}</math> und stelle fest, dass <math>\delta_{x}(A)=\lambda^{n}(B)=0</math>.
* Das Dirac-Maß ist ein [[Σ-Endlichkeit|<math>\sigma</math>-endliches Maß.]]

== Dirac-Integral ==
{{Siehe auch|Delta-Distribution}}
Das Dirac-Integral der Funktion <math>f\colon A\to \mathbb{R}</math> ist definiert als das [[Lebesgue-Integral]] bezüglich des Dirac-Maßes. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion <math>f</math>:

:<math>\int_A f \mathrm d\delta_z = \begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\notin A\end{cases}</math>

=== Begründung ===

Die Abbildung <math>f\colon A\to \mathbb{R}</math> sei eine nicht-negative [[messbare Funktion]]. Das Lebesgue-Integral der Funktion bezüglich des Dirac-Maßes ist durch

:<math>\int_A f \mathrm d\delta_z=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_A f_n \mathrm d\delta_z</math>

definiert, wobei <math>f_n</math> eine beliebige Folge nichtnegativer [[Einfache Funktion|einfacher Funktionen]] ist, die punktweise und monoton wachsend gegen <math>f</math> konvergiert. Eine einfache Funktion ist eine messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte <math>\alpha_i</math> annimmt. <math>m</math> sei die Anzahl der Funktionswerte <math>\alpha_i</math>; <math>A_i</math> seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion <math>f_n</math> jeweils den Wert <math>\alpha_i</math> annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

:<math>\int_A f_n \mathrm{d}\delta_z=\sum_{i=1}^m\alpha_i(n)\delta_z(A_i(n))</math>

Ist <math>z\notin A</math>, dann ist <math>z</math> erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen <math>A_i</math>. Dann ist auch das Dirac-Maß von allen <math>A_i</math> gleich null. Folglich ist das Integral über <math>A</math> insgesamt gleich null.

Ist <math>z\in A_j(n)</math> für irgendein <math>j</math>, so ist das Dirac-Maß von <math>A_j(n)</math> gleich <math>1</math>; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen <math>A_i(n)</math> ist dann gleich null. Für das Integral der einfachen Funktionen <math>f_n</math> ergibt sich somit:

:<math>\int_A f_n \mathrm{d}\delta_z=\alpha_j(n)=f_n(z)</math>
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_A f_n \mathrm d\delta_z=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(z)=f(z)</math>

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle <math>z</math>, wenn <math>z\in A</math> ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle <math>z\in\Omega</math> und <math>A\in\mathcal{A}</math> gilt

:<math>\begin{align}
\int_A f\,\mathrm d\delta_z
&= \int_{A\cap f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z
+ \int_{A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z\\
&= \int_{\{x\in A \vert f(x) = f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z
+ \int_{\{x\in A \mid f(x) \neq f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z\\
&= f(z)\delta_z(A) + 0\\
&= f(z)\delta_z(A)\\
&= \begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not\in A\end{cases}\end{align}</math>

Als einelementige Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> ist <math>\{f(z)\}\in\mathcal{B}</math>. Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist <math>f^{-1}(\{f(z)\})\in\mathcal{A}</math> und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls <math>\{z\}\in\mathcal{A}</math>, so ist auch eine Integration über <math>A\cap\{z\}</math> und <math>A\setminus\{z\}</math> möglich.

== Siehe auch ==
* [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]]
* [[Lebesgue-Maß]]
* [[Delta-Distribution]]

== Literatur ==
* [[Elliott H. Lieb]], [[Michael Loss]]: ''Analysis'' (= ''Graduate Studies in Mathematics.'' Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
* Jean Dieudonnè 1976: Treatise on analysis, Part 2 (Seite 100), ISBN 0-12-215502-5
* Benedetto, John (1997): [https://books.google.at/books?id=_SCeYgvPgoYC&pg=PA72&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false "§2.1.3 Definition, δ"] Harmonic analysis and applications. CRC Press (Seite 72), ISBN 0-8493-7879-6

{{SORTIERUNG:Diracmass}}
[[Kategorie:Paul Dirac als Namensgeber]]
[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Diracmaß - Versionsgeschichte

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