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2024-03-18T18:21:14Z

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Ein '''Dirac-Spinor''' ist ein Begriff aus der [[Mathematik]], der nach [[Paul Dirac]] benannt ist. Dirac-Spinoren sind Elemente der [[Darstellungstheorie|fundamentalen Darstellung]] <math>\Delta</math> der [[Komplexifizierung|komplexifizierten]] [[Clifford-Algebra]] <math>\mathrm{Cliff}(p,q)</math> und somit eine bestimmte Gattung von [[Spinor]]en ([[Vektor]]en). Sie sind ein nützliches Konzept der [[Quantenphysik]].

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der [[Dirac-Gleichung]]. Diese sind '''Dirac-Spinor[[Feld (Physik)|felder]]''', d. h. jedem Punkt der [[Raumzeit]] wird ein [[vierdimensional]]er Dirac-Spinor zugeordnet.

== Mathematische Konstruktion ==
Sei <math>n = p + q</math>.

Die komplexifizierte [[Clifford-Algebra]] <Math>\mathrm{Cliff}(p,q)</Math> ist
* [[isomorph]] zur [[Matrizenalgebra]] <Math>Mat_{2^k}(\Complex)</Math>, falls <math>n = 2k</Math> [[gerade Zahl|gerade]] ist, oder
* isomorph zur Matrizenalgebra <Math>Mat_{2^{k-1}}(\Complex) \oplus Mat_{2^{k-1}}(\Complex)</Math>, falls <Math>n = 2k - 1</Math> ungerade ist.
In jedem Fall hat sie eine [[Kanonische Darstellung|kanonische]] <math>2^k</math>-dimensionale [[Darstellung (Algebra)|Darstellung]], die also für alle Signaturen <Math>(p,q)</Math> mit <Math>n = p + q</Math> existiert und auch eine Darstellung der [[Spin-Gruppe]] <Math>\mathrm{Spin}(p,q)</Math> ist. Diese Darstellung heißt [[Spinor-Darstellung]], die [[Vektor]]en dieses Darstellungsraumes werden als ''Dirac-Spinoren'' bezeichnet.

In geraden Dimensionen <math>n = 2k</math> ist die Spinor-Darstellung, als Darstellung von <math>\mathrm{Spin}(p,q)</math> betrachtet, [[reduzible Darstellung|reduzibel]]. Sie kann zerlegt in zwei [[Weyl-Spinor]]en der Dimension <math>2^{k - 1}</math> werden, es gibt also zwei Darstellungsräume, so dass <math>\Delta_{2k} = \Delta^+_{2k} \oplus \Delta^-_{2k}</math>. Die Darstellungen mit den Darstellungsräumen <math>\Delta^+_{2k}, \Delta^-_{2k}</math> und auch für ungerade Dimensionen <math>n = 2k+1</math> mit dem Raum <math>\Delta_{2k+1}</math> sind [[Irreduzible Darstellung|irreduzibel]].<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Friedrich |Titel=Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie: mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig Wiesbaden |Datum=1997 |Reihe=Advanced lectures in mathematics |ISBN=978-3-528-06926-1 |Seiten=22ff}}</ref>

== Anwendung in der Elementarteilchenphysik ==
Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu <math>\mathrm{Cliff}(3,1)</math>, dienen in der [[Quantenelektrodynamik]] zur mathematischen Beschreibung von [[Fermionen]] mit [[Spin]] 1/2. Zu diesen '''Dirac-Fermionen''' gehören im [[Standardmodell]] der [[Teilchenphysik]] sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der [[Lorentzgruppe]] und sind Lösungen der [[Dirac-Gleichung]]. In [[Stringtheorie|String-]] und [[Brane]]n<nowiki/>theorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Dagegen wurden [[Majorana-Fermion]]en bisher nicht gefunden, aber von manchen [[vereinheitlichte Feldtheorie|vereinheitlichten Feldtheorien]] vorhergesagt. Sie entsprechen [[Reelle Darstellung|reellen Darstellungen]] der Cliffordalgebren.

== Literatur ==
* [[Thomas Friedrich (Mathematiker)|Thomas Friedrich]]: ''Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie.'' Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
* {{Literatur | Autor=[[Michael Peskin|Michael E. Peskin]], Daniel V. Schroeder | Titel=An Introduction to Quantum Field Theory | Verlag=Addison-Wesley | Jahr=1995 | ISBN=978-0-201-50397-5 | Sprache=en}}
* {{Literatur | Autor=[[Pierre Ramond]] | Titel=Field Theory | TitelErg=A Modern Primer | Verlag=Addison-Wesley | Jahr=1990 | ISBN=978-0-201-54611-8 | Sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Paul Dirac als Namensgeber]]

Dirac-Spinor - Versionsgeschichte

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