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Der '''Dirac-Operator''' ist ein Objekt aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Globale Analysis|globalen Analysis]]. Es handelt sich um einen [[Differentialoperator]], der eine [[Quadratwurzel]] aus dem [[Laplace-Operator]] ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich [[Paul Dirac]] beschäftigte, war die formale [[Faktorisierung]] eines Operators für den [[Minkowski-Raum]], der die [[Quantenphysik|Quantentheorie]] mit der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] verträglich macht.

== Definition ==
Es sei <math>D \in \operatorname{Diff}^1(V,V)</math> ein [[geometrischer Differentialoperator]] erster Ordnung, der auf ein [[Vektorbündel]] <math>V \to M</math> über einer [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> wirkt. Wenn dann
:<math>D^2=\Delta\,</math>
gilt, wobei <math>\Delta</math> ein [[verallgemeinerter Laplace-Operator]] auf <math>V</math> ist, so heißt <math>D</math> Dirac-Operator.<ref>Liviu I. Nicolaescu: ''Lectures on the geometry of manifolds.'' 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 498</ref>

== Geschichte ==
Ursprünglich hatte [[Paul Dirac]] die Wurzel aus dem [[D’Alembertoperator]] <math>\square</math> betrachtet und damit die relativistische [[Quantenfeldtheorie]] eines [[Elektron]]s begründen wollen.

Dirac betrachtete für <math>n=3</math> den Differentialoperator
:<math>\sum_{i=0}^n \gamma_i \frac{\partial}{\partial x_i}\,,</math>
wobei <math>\gamma_i</math> die [[Dirac-Matrizen]] sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.<ref>{{Literatur |Autor=Herbert Schröder |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=2. korr. |Verlag=Harri Deutsch |Datum=2000 |ISBN=3-8171-1623-3 |Seiten=364}}</ref>

In den 1960ern griffen [[Michael Francis Atiyah]] und [[Isadore M. Singer]] diesen von Dirac definierten Differentialoperator auf und entwickelten daraus den hier im Artikel hauptsächlich beschriebenen (verallgemeinerten) Dirac-Operator. Der Name Dirac-Operator wurde von Atiyah und Singer geprägt. Der Operator beeinflusste die Mathematik und die [[mathematische Physik]] des 20. Jahrhunderts stark.<ref>{{Literatur |Autor=Yanlin Yu |Titel=The index theorem & the heat equation method |Auflage=1. |Verlag=World Scientify |Ort=Singapur |Datum=2001 |ISBN=981-02-4610-2 |Seiten=195}}</ref>

== Dirac-Operator eines Dirac-Bündels ==
Es sei <math>(M,g)</math> eine riemannsche Mannigfaltigkeit und <math>(\mathcal{E},h,\nabla^{\mathcal{E}})</math> ein [[Dirac-Bündel]], bestehend aus einem [[Clifford-Modul-Bündel]] <math>\mathcal{E} \to M</math> einer [[Hermitesche Metrik|hermiteschen Metrik]] <math>h</math> auf <math>\mathcal{E}</math> und einem [[Clifford-Zusammenhang]] <math>\nabla^\mathcal{E}</math> auf <math>\mathcal{E}.</math> Dann ist der Operator

:<math>D \colon \Gamma(M, \mathcal{E}) \xrightarrow{\nabla^\mathcal{E}} \Gamma(M,T^*M \otimes \mathcal{E}) \xrightarrow{c} \Gamma(M,\mathcal{E})</math>

der zum Dirac-Bündel <math>(E,h,\nabla^{\mathcal{E}})</math> assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung

:<math>D = \sum_{i=1}^n c(\mathrm{d} x^i) \nabla_{\partial_i}^\mathcal{E}\,.</math>

== Beispiele ==
=== Elementares Beispiel ===
Der Operator <math>-i\partial_x</math> ist ein Dirac-Operator über dem [[Tangentialbündel]] von <math>\R.</math>

=== Spin-Dirac-Operator ===
Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit [[Spin]] 1/2, das auf die Ebene <math>\mathbb R^2</math> beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψG mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils <math>\mathbb R^2\to \mathbb C \,</math> gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:
:<math>\psi_G=
\begin{bmatrix}
\chi_\uparrow (x,y) \\
\eta_\downarrow (x,y)
\end{bmatrix}\,.
</math>
Dabei sind <math>x</math> und <math>y</math> die üblichen kartesischen Koordinaten auf <math>\mathbb R^2:</math> <math>\chi_\uparrow</math> definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog <math>\eta_\downarrow</math> für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als
:<math>
D=-i\sigma_x\partial_x-i\sigma_y\partial_y,
</math>
wobei σ''x'' und σ''y'' die [[Pauli-Matrizen]] sind. Man beachte, dass die [[Antikommutativität|antikommutativen]] Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der [[Clifford-Algebra#Beispiele]] am Beispiel der [[Quaternion|Quaternionen-Algebra]]. Lösungen der [[Dirac-Gleichung]] für [[Spinor]]-Felder werden oft ''harmonische Spinoren'' genannt<ref>D. V. Alekseevskii (originator): ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Spinor_structure Spinor structure].'' Encyclopedia of Mathematics</ref>.

=== Hodge-De-Rham-Operator ===
Sei <math>(M,g)</math> eine [[Orientierung (Mathematik)|orientierbare]] [[riemannsche Mannigfaltigkeit]] und sei <math>\mathrm{d} \colon \mathcal{A}(M)^{\bullet -1} \to \mathcal{A}^\bullet(M)</math> die [[äußere Ableitung]] und <math>\mathrm{d}^t \colon \mathcal{A}^\bullet(M) \to \mathcal{A}^{\bullet -1}(M)</math> der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik [[Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]. Dann ist
:<math>\mathrm{d} + \mathrm{d}^t \colon \mathcal{A}^\bullet(M) \to \mathcal{A}^\bullet(M)</math>
ein Dirac-Operator.<ref>Liviu I. Nicolaescu: ''Lectures on the geometry of manifolds.'' 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 499</ref>

=== Atiyah-Singer-Dirac-Operator ===
Es gibt auch einen Dirac-Operator in der [[Clifford-Analysis]]. Im n-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], d. h. für <math>\mathbb R^n \to \mathbb R^n\,,</math> ist das
:<math>D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}},</math>
wobei
:<math>\{e_{j}:j=1,\ldots, n\}</math>
eine [[Orthonormalbasis]] des euklidischen Raumes ist und <math>\mathbb{R}^{n}</math> in eine [[Clifford-Algebra]] eingebettet ist. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines [[Spinor#Verallgemeinerung in der Mathematik|Spinor-Bündels]] wirkt.

Für eine [[Spin-Mannigfaltigkeit]] <math>M,</math> ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert: Für <math>x\in M</math> und <math>e_{1}(x),\ldots,e_{j}(x),</math> eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von <math>M</math> in <math>x,</math> ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator
:<math>\sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)},</math>
wobei <math>\tilde{\Gamma}</math> ein [[Paralleltransport]] des [[Levi-Civita-Zusammenhang]]s auf <math>M</math> für das Spinor-Bündel über <math>M</math> ist.

== Eigenschaften ==
Das [[Hauptsymbol]] eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist <math>\xi \mapsto \|\xi\|^2.</math> Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators <math>\xi \mapsto \|\xi\|</math> und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren [[Elliptischer Differentialoperator|elliptisch]].

== Verallgemeinerungen ==
Der Operator
<math>D \colon C^\infty(\R^k\otimes \R^n,S)\to C^\infty(\R^k\otimes\R^n,\Complex^k\otimes S),</math> der
auf die spinorwertigen Funktionen
:<math>f(x_1,\ldots,x_k)\mapsto
\begin{pmatrix}
\partial_{\underline{x_1}}f\\
\partial_{\underline{x_2}}f\\
\ldots\\
\partial_{\underline{x_k}}f\\
\end{pmatrix}</math>
wirkt, wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in <math>k</math> Clifford-Variablen bezeichnet. In dieser Notation ist <math>S</math> der Raum von Spinoren, <math>x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in})</math> sind n-dimensionale Variablen und <math>\textstyle \partial_{\underline{x_i}}=\sum_j e_j\cdot \partial_{x_{ij}}</math> ist der Dirac-Operator in der i-ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (<math>k=1</math>) und der [[Dolbeault-Kohomologie]] (<math>n=2,</math> <math>k</math> beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe <math>\operatorname{SL}(k)\times \operatorname{Spin}(n)</math> ist. Die [[injektive Auflösung]] von <math>D</math> ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

== Siehe auch ==
* [[Atiyah-Singer-Indexsatz]]

== Literatur ==
* [[Thomas Friedrich (Mathematiker)|Thomas Friedrich]]: ''Dirac Operators in Riemannian Geometry'' (Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, 1997). [[American Mathematical Society]], Providence, R.I. 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.
* Fabrizio Colombo, Irene Sabadini: ''Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra'' (Progress in mathematical physics; Bd. 39). Birkhäuser, Boston, Mass. 2004, ISBN 978-0-8176-4255-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]
[[Kategorie:Spektralgeometrie]]
[[Kategorie:Paul Dirac als Namensgeber]]

Dirac-Operator - Versionsgeschichte

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