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2026-03-10T19:43:05Z

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms: Die Fourier-Tranfo war so schon richtig

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[[Datei:Dirac-comb.png|miniatur|Dirac-Kamm]]
Der '''Dirac-Kamm''' (auch '''Dirac-Stoß-Folge''' oder '''Schah-Funktion''') bezeichnet eine [[periodische Folge]] von [[Delta-Distribution|Dirac-Stößen]]. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem [[Kyrillisches Alphabet|kyrillischen Buchstaben]] Ш (Schah) symbolisiert.

Anwendung findet der Dirac-Kamm in der [[Mathematik]] und der [[Signalverarbeitung]] mittels [[Fourier-Analysis]].

== Definition ==
Der Dirac-Kamm stellt eine periodische [[temperierte Distribution]] dar, die von der [[Paul A. M. Dirac|diracschen]] [[Delta-Distribution]] Gebrauch macht.

: <math>\Delta_T(t) = \sum_{n\in\mathbb Z} \delta(t - n T)</math>

für eine Periode <math>T > 0</math>. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand <math>T</math> zueinander stehen.

Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine [[Testfunktion]] <math>\phi\in C_c^\infty(\mathbb R)=\mathcal D(\mathbb R)</math> gilt
: <math>\Delta_T \phi:=\sum_{n\in\mathbb Z}\phi(nT)</math>.

== Fourier-Transformation des Dirac-Kamms ==
Die [[Poissonsche Summenformel]] besagt, dass der Dirac-Kamm (der Periode 1) ein [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] der [[Temperierte Distribution#Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]] ist. Allgemeiner gilt

: <math>
\mathcal{F} \{ \Delta_{T} \} =
\frac{1}{T} \, \Delta_{\frac{1}{T}},
</math>

wobei für die [[kontinuierliche Fourier-Transformation]] die in der Literatur zur Signalverarbeitung übliche Konvention

:<math>\mathcal{F} \{f\}(t) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-2\pi \mathrm{i} t x} \,\mathrm{d} x </math>

verwendet wird.

Damit ergibt sich die wichtige Darstellung für Fourierreihen, die als Distributionsgrenzwert zu interpretieren ist:
:<math> \sum_{k \in \mathbb{Z}} \exp(i t k) = 2 \pi \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta(t + 2\pi n)</math>
Für die Einheitsperiode <math> T = 1</math> ergibt sich unmittelbar nach reskalieren der Frequenz aufgrund der Skalierungseigenschaft der Delta-Distribution
:<math> \sum_{k \in \mathbb{Z}} \exp(i 2 \pi k t) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta(t + n)\,.</math>

== Abtastung und Alias-Effekte ==
Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtasten]] einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:

[[Datei:Dirac-comb - Sampling.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|Abtasten durch Multiplikation mit einem Dirac-Kamm]]

Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen [[Signal]]s mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastrate]] ''T''.

In der Theorie der [[Signalverarbeitung]] stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]] zu beweisen und störende [[Alias-Effekt]]e zu verstehen.

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor = [[Hans Dieter Lüke]]
| Titel = Signalübertragung
| Auflage = 11. | Verlag = Springer | Jahr = 2010 | ISBN = 978-3-642-10199-1}}

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Distributionentheorie]]
[[Kategorie:Paul Dirac als Namensgeber]]

Dirac-Kamm - Versionsgeschichte

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