imported>Phzh: Form, typo

2025-09-18T09:07:02Z

Form, typo

Neue Seite

Die mathematische Disziplin der '''diophantischen Approximation,''' benannt nach [[Diophantos von Alexandria]], beschäftigt sich ursprünglich mit der Annäherung [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] durch [[rationale Zahl]]en. Bekannte Sätze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der [[Dirichletscher Approximationssatz|dirichletsche Approximationssatz]] und der [[Satz von Thue-Siegel-Roth]]. Allgemeiner lässt sich das Gebiet definieren als Approximation der Null durch reelle Funktionen mit endlich vielen ganzzahligen Argumenten.<ref>[[Wladimir Gennadjewitsch Sprindschuk]]: ''Diophantine Approximations.'' In: ''Encyclopedia of Mathematics.'' Springer, siehe Weblinks.</ref>

Die Theorie spielt auch eine bedeutende Rolle bei der Frage der Lösbarkeit [[Diophantische Gleichung|diophantischer Gleichungen]] und in der Theorie [[Transzendente Zahl|transzendenter Zahlen]]. Häufig werden diophantische Ungleichungen betrachtet.

Euler bewies im 18. Jahrhundert, dass die besten rationalen Approximationen reeller Zahlen durch die Näherungsbrüche ihrer regulären [[Kettenbruch]]entwicklung gegeben sind (bricht man den Kettenbruch an einer Stelle ab, hat man eine rationale Zahl als Näherung an die reelle Zahl). Dass <math>\tfrac {p}{q}</math> eine beste Approximation von <math>x</math> ist, bedeutet dabei, dass

:<math>\left|x - \frac{p}{q}\right| \leq \left|x - \frac{p'}{q'}\right|</math>

für jede rationale Zahl <math>\tfrac{p'}{q'}</math> mit <math>0 < q' \leq q</math> gilt – dass also jede bessere Näherung einen größeren Nenner hat.

Manchmal wird auch folgende [[Ungleichung]] für die Definition der besten Näherung verwendet:

:<math>\left|q x - p\right| < \left|q^\prime x - p^\prime\right|</math>

Beste Näherungen im Sinn dieser zweiten Definition sind auch beste Näherungen im Sinn der ersten Definition, aber nicht umgekehrt. Bei regulären Kettenbrüchen sind die <math>n</math>-ten Näherungsbrüche beste Näherungen im Sinn der zweiten Definition (siehe [[Kettenbruch]] und weitere dort angegebene Resultate).

[[Joseph Liouville]] bewies 1844, dass es bei [[Algebraische Zahl|algebraischen Zahlen]] (Lösungen einer algebraischen Gleichung vom Grad <math>n</math> mit ganzzahligen Koeffizienten) eine untere Schranke für die Näherung durch rationale Zahlen gibt, die vom Nenner der rationalen Zahl abhängt und vom Grad der Gleichung:

:<math>\left|x - \frac{p}{q}\right| > \frac{c}{q^n}</math>

mit einer nur von der zu approximierenden Zahl abhängigen Konstanten <math>c</math>. Der Satz lässt sich so interpretieren, dass irrationale algebraische Zahlen nicht „sehr gut“ durch rationale Zahlen approximierbar sind.<ref>[[Naum Iljitsch Feldman]]: ''[https://static.nsta.org/pdfs/QuantumV10N6.pdf Algebraic and transcendental numbers.]'' (PDF; 68,4 MB). In: ''Quantum.'' Juli/August 2000, S. 23. Dabei wird der Satz benutzt, dass wenn eine algebraische Zahl vom Grad <math>n > 1</math> Nullstelle eines Polynoms ''<math>n</math>-ten Grades'' mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dieses Polynom ''keine rationale'' Nullstelle hat.</ref> Liouville gelang damit auch der erste Beweis der Existenz einer transzendenten Zahl, denn findet man eine [[irrationale Zahl]], die sich durch rationale Zahlen „sehr gut“ approximieren lässt (das heißt ''besser'' als durch die Beschränkungen des Satzes von Liouville möglich ist), kann sie nicht algebraisch sein ([[Liouvillesche Zahl]]en). Der Satz von Liouville wurde im Lauf der Zeit verschärft bis zum [[Satz von Thue-Siegel-Roth]] im 20. Jahrhundert mit einem Exponenten <math>2 + \varepsilon</math> im Nenner bei der unteren Schranke und einer Konstanten, die zusätzlich von der beliebig kleinen reellen Zahl <math>\varepsilon</math> abhing.

Eine obere Schranke für die Näherung durch rationale Zahlen gibt der [[Dirichletscher Approximationssatz|dirichletsche Approximationssatz]]: Für jede reelle Zahl <math>x</math> gibt es unendlich viele rationale Näherungen <math>\tfrac {p}{q}</math> mit

:<math>\left|x - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}.</math>

Auf der rechten Seite kann der Nenner noch zu <math>\sqrt 5 q^2</math> verbessert werden ([[Émile Borel]]), eine weitere Verschärfung ist nach dem [[Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)|Satz von Hurwitz]] nicht möglich, da es für die Näherung der [[Goldener Schnitt|goldenen Zahl]] für <math>c q^2</math> im Nenner mit <math>c > \sqrt 5</math> nur endlich viele Lösungen gibt.

== Literatur ==
* [[Jurjen Koksma|J. F. Koksma]]: ''Diophantische Approximationen.'' Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer, Berlin 1936.
* [[John Cassels|J. W. S. Cassels]]: ''An introduction to diophantine approximation.'' Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45, Cambridge University Press, 1957.
* {{Literatur
|Autor=Vladimir G. Sprindžuk
|Titel=Metric theory of Diophantine approximations
|Verlag=John Wiley & Sons, New York NY u. a.
|Datum=1979
|ISBN=0-470-26706-2
|Sprache=en}}
* [[Wolfgang Schmidt (Mathematiker)|Wolfgang M. Schmidt]]: ''Diophantine approximation.'' Lecture Notes in Mathematics 785, Springer, 1980.
* {{Literatur
|Autor=Serge Lang
|Titel=Introduction to Diophantine Approximations
|Auflage=New Expanded Edition
|Verlag=Springer-Verlag, New York NY u. a.
|Datum=1995
|ISBN=0-387-94456-7
|Sprache=en}}

== Weblinks ==
* [[Vladimir Sprindzuk]]: [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Diophantine_approximations ''Diophantine Approximations''.] Encyclopedia of Mathematics, Springer.

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4135760-7|LCCN=sh85006189|NDL=00561502}}

[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Diophantische Approximation - Versionsgeschichte

imported>Phzh: Form, typo