imported>Mathze: Rechtschreibung: Null wird hier nicht substantivistisch verwendet, daher Kleinschreibung

2025-11-14T13:22:17Z

Rechtschreibung: Null wird hier nicht substantivistisch verwendet, daher Kleinschreibung

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Die '''Dimensionsformel''' entstammt dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Sie gibt an, wie sich die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] der Summe zweier endlichdimensionaler [[Untervektorraum|Untervektorräume]] <math>V_1</math>, <math>V_2</math> eines größeren Vektorraumes berechnen lässt:
:<math>\dim\left(V_1+V_2\right)=\dim V_1 + \dim V_2 - \dim\left(V_1\cap V_2\right)</math>
Sie folgt unmittelbar aus dem [[Rangsatz]].
Einen Spezialfall stellt die Situation <math>V_1 \oplus V_2=V_1+V_2 </math> dar (siehe [[Direkte Summe]]). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf
:<math>\dim\left(V_1+V_2\right)=\dim V_1 + \dim V_2,</math>
da für eine direkte Summe gilt
:<math>V_1 \cap V_2 = \{0 \}.</math>
Der Untervektorraum, den der Schnitt von <math>V_1</math> und <math>V_2</math> darstellt, ist somit der [[Nullvektorraum]], dessen Dimension gleich null ist.

Ist <math>V_1</math> oder <math>V_2</math> unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die [[Subtraktion]] auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall
:<math>\dim \left(V_1 + V_2\right) \ge \max \{\dim V_1, \dim V_2\}</math>
und
:<math>\dim \left(V_1 + V_2\right) \le \dim \left(V_1 \oplus V_2\right) = \dim V_1 + \dim V_2</math>.
Da für zwei [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]]en, von denen zumindest eine [[unendlich]] ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist, <math>\dim \left(V_1+V_2\right) = \max \{\dim V_1, \dim V_2\}</math>.

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra.'' Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 46–47.

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Dimensionsformel - Versionsgeschichte

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