https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?action=history&feed=atom&title=Dimension_%28kommutative_Algebra%29Dimension (kommutative Algebra) - Versionsgeschichte2026-06-21T16:30:27ZVersionsgeschichte dieser Seite in Wikipedia (Deutsch) – Lokale KopieMediaWiki 1.43.8https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Dimension_(kommutative_Algebra)&diff=293602&oldid=previmported>Mathling: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */2025-03-21T16:38:50Z<p><span class="autocomment">growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0</span></p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>Die '''Dimension''' oder genauer [[Krulldimension]] (nach [[Wolfgang Krull]]) eines kommutativen [[Ring (Algebra)|Ringes]] mit Einselement ist die anschauliche [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] der ihm in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] zugeordneten [[Algebraische Varietät|Varietät]] oder allgemeiner des zugehörigen [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemas]].<br />
<br />
''Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe [[Kommutative Algebra]].''<br />
<br />
== Definition ==<br />
Die '''Höhe eines Primideals''' <math>P</math> ist die maximale Länge einer aufsteigenden Kette von [[Primideal]]en<br />
:<math>P_0\subsetneq P_1\subsetneq\ldots\subsetneq P_n=P;</math><br />
die Höhe ist dann <math>n</math>. Gibt es keine maximale Länge, hat das Primideal unendliche Höhe.<br />
<br />
Die Dimension eines Ringes <math>A</math> ist das [[Supremum]] der Höhen seiner Primideale.<br />
<br />
== Eigenschaften ==<br />
* In einem [[Noetherscher Ring|noetherschen Ring]] hat jedes Primideal eine endliche Höhe. Es gibt aber noethersche Ringe unendlicher Dimension.<br />
* In noetherschen [[Lokaler Ring|lokalen Ringen]] ist die Dimension gleich der kleinstmöglichen Mächtigkeit eines [[Definitionsideal]]s, insbesondere endlich.<br />
* Die Höhe eines Primideals ist gleich der [[Kodimension]] der entsprechenden abgeschlossenen [[Teilmenge]] des [[Spektrum eines Ringes|Spektrums des Ringes]].<br />
* [[Krullscher Hauptidealsatz|Krulls Hauptidealsatz]] besagt, dass die Höhe von Primidealen eines noetherschen Ringes, die minimal über einem [[Hauptideal]] liegen (d.&nbsp;h., es enthalten und bezüglich dieser Eigenschaft minimal sind), höchstens 1 sein kann. Allgemeiner ist die Höhe von Primidealen von noetherschen Ringen, die minimal über einem Ideal liegen, das von <math>r</math> Elementen erzeugt werden kann, höchstens <math>r</math>.<br />
<br />
== Beispiele ==<br />
* <math>\dim(\Z)= 1</math>. Maximale aufsteigende Ketten von Primidealen haben die Form<br />
::<math>(0) \subsetneq (p)</math><br />
:für Primzahlen <math>p</math>.<br />
* Ein [[Integritätsring|Integritätsbereich]] ist genau dann eindimensional, wenn jedes von Null verschiedene Primideal maximal ist. Jeder [[Dedekindring]] ist ein eindimensionaler Integritätsbereich.<br />
* [[Körper (Algebra)|Körper]] und alle anderen [[Artinscher Ring|artinschen Ringe]] sind nulldimensional.<br />
* Die Formel<br />
::<math>\dim (A[X]) = \dim(A) + 1</math><br />
:gilt für noethersche Ringe <math>A</math>. Insbesondere hat der [[Algebraische Varietät|affine Koordinatenring]] des <math>n</math>-dimensionalen [[Affiner Raum|affinen Raums]] über einem Körper die Dimension <math>n</math>.<br />
* Der [[Sätze von Cohen-Seidenberg|''Going up''-Satz]] besagt, dass<br />
::<math>\dim R = \dim S</math><br />
:falls <math>S\supset R</math> eine [[Ganzheit (kommutative Algebra)|ganze]] Ringerweiterung ist.<br />
<br />
== Topologische Version ==<br />
Die hier besprochene Dimension kann man zur [[Krulldimension]] [[topologischer Raum|topologischer Räume]] verallgemeinern, indem man die Primidealketten durch Ketten abgeschlossener, [[Irreduzibler topologischer Raum|irreduzibler]] Teilmengen ersetzt. Dann ist die Dimension eines Ringes nichts anderes als die Krulldimension seines [[Spektrum eines Ringes|Spektrums]].<br />
<br />
== Siehe auch ==<br />
* [[Dimension eines Moduls]]<br />
<br />
== Literatur ==<br />
* [[Ernst Kunz (Mathematiker)|Ernst Kunz]]: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6<br />
* [[Michael Francis Atiyah|Atiyah]], [[Ian Macdonald|Macdonald]]: ''Introduction to Commutative Algebra'', Addison-Wesley (1969), ISBN 0-201-00361-9<br />
* Brüske, Ischebeck, Vogel: ''Kommutative Algebra'', Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3-411-14041-1<br />
* H. Matsumura, ''Commutative algebra'' 1980, ISBN 0-8053-7026-9.<br />
<br />
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]<br />
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]</div>imported>Mathling