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2026-02-08T06:38:40Z

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In der [[Mathematik]] werden verschiedene [[Spezielle Funktion|spezielle Funktionen]] als '''Dilogarithmus''' bezeichnet. Der klassische Dilogarithmus wird '''Spencesche Funktion''' genannt und er stellt einen Spezialfall des [[Polylogarithmus]] dar. Akkurat handelt es sich bei der ''Spenceschen Funktion'' um den Polylogarithmus mit dem Index Zwei. Wenn der Index jedoch Drei lautet, so wird dann bei der betroffenen Funktion der sogenannte [[Trilogarithmus]] repräsentiert. Wenn der klassische Dilogarithmus, also die Spencesche Funktion mit dem negativen Abbild der betroffenen Funktion aus der negativ geschalteten inneren Variable arithmetisch gemittelt wird, dann entsteht die sogenannte [[Legendresche Chi-Funktion|Legendresche Chifunktion]] mit dem Index Zwei. Und das imaginäre Abbild dieser Funktion wird als [[Arkustangensintegral]] bezeichnet. Speziell für den Spenceschen Dilogarithmus gilt außerdem die Tatsache, dass über die Substitution der inneren Variable durch die Differenz Eins minus Exponentialkehrwert die [[Debyesche Funktionen|Debyesche Funktion]] mit dem Index Zwei entsteht, welche in der [[Thermodynamik]] bei der Beschreibung der Strahlungsenergien in [[Schwarzer Körper|Schwarzen Körpern]] verwendet wird.

== Klassischer Dilogarithmus ==
[[Datei:Mplwp dilogarithm.svg|mini|300px|Werte des klassischen Dilogarithmus auf der reellen Achse. (Der Imaginärteil ist dort identisch Null.)]]
{{Hauptartikel|Polylogarithmus}}
Der klassische Dilogarithmus ist für [[komplexe Zahl]]en <math>z</math> mit <math>|z| < 1</math> definiert durch die [[Potenzreihe]]
:<math>\operatorname{Li}_2(z)=\sum_{k=1}^\infty\frac{z^k}{k^2}</math>.
Er lässt sich durch [[analytische Fortsetzung]] auf <math>\Complex\setminus\left[1,\infty\right]</math> fortsetzen:
:<math>
\operatorname{Li}_2 (z) = -\int_0^z{\frac{\ln(1-t)}{t}} \,\mathrm{d}t
</math>.
(Hierbei muss entlang eines Weges in <math>\Complex\setminus\left[1,\infty\right]</math> integriert werden.)

Darauf basierend kann weiter die [[Legendresche Chi-Funktion|Legendresche Chifunktion]] mit dem Index Zwei definiert werden:
:<math>
\chi_{2}(z) =\frac{1}{2}\operatorname{Li}_{2} (z) - \frac{1}{2}\operatorname{Li}_{2} (-z) = \operatorname{Li}_{2} (z) - \frac{1}{4}\operatorname{Li}_{2} (z^2) = \frac{1}{4}\operatorname{Li}_{2} (z^2) - \operatorname{Li}_{2} (-z)
</math>
Und das [[Arkustangensintegral]] ist das imaginäre Gegenstück von der genannten Legendreschen Chifunktion:
:<math>
\operatorname{Ti}_{2}(z) = -i\chi_{2}(iz) = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \arctan(xz) \,\mathrm{d}x
</math>
Außerdem kann basierend auf dem Dilogarithmus der [[Trilogarithmus]] direkt definiert werden:
:<math>
\operatorname{Li}_{3}(z) = \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\operatorname{Li}_{2}(xz) \,\mathrm{d}x
</math>
== Bloch-Wigner-Dilogarithmus ==

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist für <math>z\in\Complex</math> definiert durch
:<math>\operatorname{D}_2 (z) = \operatorname{Im} (\operatorname{Li}_2 (z) )+\arg(1-z)\ln(|z|)</math>.
Er ist wohl-definiert und stetig, auch in <math>\left[1,\infty\right]</math>.

Er ist analytisch in <math>\Complex\setminus\left\{0,1\right\}</math>, in 0 und 1 hat er Singularitäten vom Typ <math> r\ln(r)</math>.

== Rogers-Dilogarithmus ==

Der Rogers-Dilogarithmus ist definiert durch
:<math> L(x)=\frac{6}{\pi^2}\left(\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\ln(x)\ln(1-x)\right)</math>
für <math>0<x<1</math>.

Eine andere gebräuchliche Definition ist
:<math>R(x)=\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\ln(x)\ln(1-x)-\frac{\pi^2}{6}</math>.
Diese hängt mit der erstgenannten via
:<math>R(x)=\frac{\pi^2}{6}(L(x)-1)</math>
zusammen.

Man kann <math>R</math> (unstetig) auf ganz <math>\R</math> fortsetzen durch <math>R(1)=0,R(0)=-\frac{\pi^2}{6}</math> und
:<math>R(x)=\left\{\begin{array}{ll}-R(1/x)\ & \mbox{für}\ x>1\\
-R(x/(x-1))\ & \mbox{für}\ x<0\end{array}\right\}</math>.

== Elliptischer Dilogarithmus ==

Sei <math>E</math> eine über <math>\Q</math> definierte [[elliptische Kurve]]. Mittels der [[Weierstraßsche elliptische Funktion|Weierstraßschen ℘-Funktion]] lässt sie sich mittels eines Gitters <math>\Lambda=\left\{1,\tau\right\}</math> parametrisieren durch
:<math>\Complex/\Lambda\rightarrow E(\Complex)</math>
:<math>u</math> mod <math>\Lambda \mapsto (p(u),p^\prime(u))</math>.
Der elliptische Dilogarithmus <math>D^E\colon E(\Complex)\rightarrow \Complex</math> ist dann definiert durch
:<math>D^E(p(u),p^\prime(u))=\sum_{n=-\infty}^\infty D_2(e^{2\pi i(n\tau+u)})</math>,
wobei <math>D_2</math> den Bloch-Wigner-Dilogarithmus bezeichnet.

Der elliptische Dilogarithmus stimmt bis auf rationale Vielfache von <Math>\pi</math> mit dem Wert <Math>L(E,2)</math> der [[L-Funktion]] überein.<ref>[http://www.math.columbia.edu/~chaoli/docs/BeilinsonBloch.html K<sub>2</sub> and L-functions of elliptic curves]</ref>

== Spezielle Werte ==

=== Klassischer Dilogarithmus ===
Für die folgenden Zahlen lassen sich <math>z</math> und <math>\operatorname{Li}_2(z)</math> in geschlossener Form darstellen:
:<math>\begin{align}&\operatorname{Li}_2(-1)=-\frac{{\pi}^2}{12}, && \operatorname{Li}_2(0)=0, \\
&\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{1}{2}\biggr)=\frac{{\pi}^2}{12}-\frac{1}{2}\ln^2 (2), && \operatorname{Li}_2(1)=\frac{{\pi}^2}{6} \\
&\operatorname{Li}_2(-\Phi^{-1})= -\frac{{\pi}^2}{15}+\frac{1}{2}\ln^2 (\Phi), && \operatorname{Li}_2(-\Phi)=-\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 (\Phi), \\
&\operatorname{Li}_2 (\Phi^{-2}) = \frac{{\pi}^2}{15}-\ln^2 (\Phi), && \operatorname{Li}_2 (\Phi^{-1}) = \frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 (\Phi).\end{align}</math>
Mit dem Kürzel Φ wird hierbei die Zahl des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnittes]] ausgedrückt: <math>\Phi = (\sqrt{5} + 1)/2</math>.

Mit der sechsten [[Einheitswurzel]] <math>\omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> und der [[Gieseking-Konstante]] <math>V_0=1{,}0149\ldots</math> hat man außerdem
:<math>\begin{align}
&\operatorname{Li}_2(\omega)=\frac{\pi^2}{36}+V_0i, && \operatorname{Li}_2(\omega^2)=-\frac{\pi^2}{18}+\frac{2}{3}V_0i, \\
&\operatorname{Li}_2(1+\omega)=\frac{\pi^2}{9}+\left(\frac{2}{3}V_0+\frac{1}{3}\ln(3)\pi\right)i, && \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{1+\omega}\right)=\frac{5\pi^2}{72}-\frac{1}{8}\ln(3)+\left(-\frac{2}{3}V_0+\frac{1}{12}\ln(3)\pi\right)i .
\end{align}</math>

=== Bloch-Wigner-Dilogarithmus ===

Werte des Bloch-Wigner-Dilogarithmus können bisher nur numerisch berechnet werden und man kennt nur wenige algebraische Relationen zwischen Werten des Bloch-Wigner-Dilogarithmus. Eine Vermutung von [[John Milnor]] besagt für <math>N\ge 3</math>:
: die Zahlen <math>D_2(e^{2\pi i\frac{j}{N}})</math> für <math>0<j<\frac{N}{2}</math> und <math>\operatorname{ggT}(j,N)=1</math> sind linear unabhängig über <math>\Q</math>.

=== Rogers-Dilogarithmus ===

Es gibt zahlreiche algebraische Identitäten zwischen Werten von <math>L</math> in rationalen oder algebraischen Argumenten. Beispiele spezieller Werte sind
:<math>L(0)=0,\quad L\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2},\quad L(1)=1,\quad L\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{2}{5},\quad L\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)=\frac{3}{5}</math>.
Mit der sechsten [[Einheitswurzel]] <math>\omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> und der [[Gieseking-Konstante]] <math>V_0=1,0149...</math> hat man
:<math>R(\omega)=-\frac{\pi^2}{12}+V_0i,\qquad R(\omega^2)=-\frac{\pi^2}{6}+\left(\frac{2}{3}V_0+\frac{1}{6}\ln(3)\pi\right)i,</math>
:<math>R(1+\omega)=\left(\frac{2}{3}V_0+\frac{1}{6}\ln(3)\pi\right)i,\qquad R\left(\frac{1}{1+\omega}\right)=-\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{8}\ln(3)+\frac{1}{8}\ln^2(3)+\left(-\frac{2}{3}V_0+\frac{1}{12}\ln(3)\pi\right)i</math>

=== Basler Problem ===
Der Beweis des Wertes vom Dilogarithmus von Eins wird im sogenannten [[Basler Problem]] behandelt. Dieser Beweis kann auf folgende Weise absolviert werden:

Folgende Funktion hat folgende Ableitung:
:<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl[2\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr) - \frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr) \biggr] = \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x\sqrt{x^2+1}} </math>
Deswegen gilt folgendes Integral:
:<math> \int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x\sqrt{x^2+1}} \,\mathrm{d}x = \biggl[2\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr) - \frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr) \biggr]_{x = 0}^{x = \infty} = \frac{3}{2}\,\text{Li}_{2}(1) </math>
Der [[Satz von Fubini]] liefert diesen Zusammenhang:
:<math>\int_0^\infty\frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x = \int_0^\infty\int_0^1\frac{1}{-x^2y^2+x^2+1}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int_0^1\int_0^\infty\frac{1}{-x^2y^2+x^2+1}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^1\frac{\pi}{2\sqrt{1-y^2}}\,\mathrm{d}y = \frac{\pi^2}{4} </math>
Durch Gleichsetzung der beiden zuletzt genannten Formeln erhält man jenes Resultat:
:<math> \frac{3}{2}\,\text{Li}_{2}(1) = \frac{\pi^2}{4} </math>
Aufgelöst entsteht der genannte Wert:
:<math> \text{Li}_{2}(1) = \frac{\pi^2}{6}, </math>
welcher auch dem Wert <math>\zeta(2)</math>, d. h. der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] an der Stelle 2, entspricht. Exakt dieser Wert ist somit auch die unendliche Summe der Kehrwerte der Quadratzahlen:
:<math> \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.</math>
Diese Tatsache geht direkt aus der [[Maclaurinsche Reihe|Maclaurinschen Reihe]] vom Dilogarithmus hervor.

== Funktionalgleichungen ==

=== Klassischer Dilogarithmus ===
Der klassische Dilogarithmus genügt zahlreichen Funktionalgleichungen, zum Beispiel
:<math>\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(-z)=\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(z^2),</math>
:<math>\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=-\frac{\ln^2(z)}{2},</math>
:<math>\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z)=\frac{{\pi}^2}{6}-\ln (z) \cdot\ln(1-z),</math>
:<math>\operatorname{Li}_2(-z)-\operatorname{Li}_2(1-z)+\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(1-z^2)=-\frac {{\pi}^2}{12}-\ln (z) \cdot \ln(z+1),</math>
:<math>\operatorname{Li}_2(z) +\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{z}\right) = - \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{2}\ln^2(-z),</math>
:<math> \operatorname{Li}_2(z) - \frac{1}{4}\operatorname{Li}_2(z^2)= \int_0^1\frac{\operatorname{arcsin}(xz)}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}x</math>. Daraus folgt ebenso: <math>\operatorname{Li}_2(1)=\frac{{\pi}^2}{6}</math>.

=== Bloch-Wigner-Dilogarithmus ===
Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus genügt den Identitäten
:<math>\operatorname{D}_2 (z) = \operatorname{D}_2 \left(1-\frac{1}{z}\right) = \operatorname{D}_2 \left(\frac{1}{1-z}\right) = - \operatorname{D}_2 \left(\frac{1}{z}\right) = -\operatorname{D}_2 (1-z) = -\operatorname{D}_2 \left(\frac{-z}{1-z}\right)</math>
und der 5-Term-Relation
:<math>\operatorname{D}_2 (x) + \operatorname{D}_2 (y) + \operatorname{D}_2 \left(\frac{1-x}{1-xy}\right) + \operatorname{D}_2 (1-xy) + \operatorname{D}_2 \left(\frac{1-y}{1-xy}\right) = 0</math>.

=== Rogers-Dilogarithmus ===

Der Rogers-Dilogarithmus erfüllt die Beziehung
:<math>L(x)+L(1-x)=1</math>
und Abels Funktionalgleichung
:<math>L(x)+L(y)=L(xy)+L\left(\frac{x(1-y)}{1-xy}\right)+L\left(\frac{y(1-x)}{1-xy}\right)</math>.
Für <math>R</math> hat man
:<math>R(x)+R(1-x)=-\frac{\pi^2}{6}</math>
und die 5-Term-Relation
:<math>R(x)-R(y)+R\left(\frac{y}{x}\right)-R\left(\frac{1-x^{-1}}{1-y^{-1}}\right)+R\left(\frac{1-x}{1-y}\right)=0</math>,
insbesondere ist <math>R</math> eine wohldefinierte Funktion auf der [[Bloch-Gruppe]].

== Ableitung ==
Die Ableitung des Dilogarithmus ergibt sich aus der Ableitung der Potenzreihe zu

: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{Li}_2(x) = \frac1x \operatorname{Li}_1(x) = -\frac {\ln(1-x)}x</math>

== Integration von Funktionen ==

=== Produkte von Logarithmusfunktionen und Kehrwertfunktionen ===
Folgende Gleichung gilt für den Fall <math>t > 0 \,\cap\, v > 0 \,\cap\, tw - uv < 0</math>:

:<math> \frac{\ln(tx+u)}{vx+w} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \biggl[\frac{1}{v} \ln\biggl(\frac{uv-tw}{v}\biggr)\ln(vx + w) - \frac{1}{v}\operatorname{Li}_2 \biggl(-t\frac{vx+w}{uv-tw}\biggr) \biggr] </math>

Beispiel:

:<math> \begin{align}\int_0^5\frac{\ln(x + 2)}{3x + 4} \mathrm{d}x &= \biggl[ \frac{1}{3}\ln\biggl(\frac{2}{3}\biggr) \ln(3x + 4) - \frac{1}{3}\operatorname{Li}_2 \biggl(-\frac{3}{2}x-2\biggr)\biggr]_{x = 0}^{x = 5} = \\
&= -\frac{1}{3}\ln\biggl(\frac{3}{2}\biggr)\ln\biggl(\frac{19}{4}\biggr) - \frac{1}{3}\operatorname{Li}_2 \biggl(-\frac{19}{2}\biggr) + \frac{1}{3}\operatorname{Li}_2(-2) \\
\end{align} </math>
Folgende Gleichung gilt für den Fall <math>t > 0 \,\cap\, v > 0 \,\cap\, tw - uv > 0</math>:
:<math> \frac{\ln(tx+u)}{vx+w} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \biggl[\frac{1}{v} \ln\biggl(t\,\frac{vx+w}{tw-uv}\biggr)\ln(tx + u) + \frac{1}{v}\operatorname{Li}_2 \biggl(-v\,\frac{tx+u}{tw-uv}\biggr) \biggr] </math>

Beispiel:

:<math> \begin{align}\int_0^1\frac{\ln(5x + 6)}{3x + 4} \mathrm{d}x &= \biggl[ \frac{1}{3} \ln\biggl(\frac{15}{2}x + 10\biggr)\ln(5x + 6) + \frac{1}{3}\operatorname{Li}_2 \biggl(-\frac{15}{2}x - 9\biggr) \biggr]_{x = 0}^{x = 1} = \\
&= \frac{1}{3}\ln\biggl(\frac{35}{2}\biggr)\ln(11) - \frac{1}{3}\ln(10)\ln(6) + \frac{1}{3}\operatorname{Li}_2 \biggl(-\frac{33}{2}\biggr) - \frac{1}{3}\operatorname{Li}_2(-9) \\
\end{align} </math>

=== Produkte aus Areafunktionen und algebraischen Funktionen ===
Weitere Funktionen lassen sich mit dem Dilogarithmus integrieren:

Areatangens-Hyperbolicus-Funktionen:

:<math> \frac{\operatorname{artanh}(x)}{x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl[\operatorname{Li}_2(x) - \frac{1}{4}\operatorname{Li}_2(x^2) \biggr] </math>

:<math> \frac{\operatorname{artanh}(x)}{x\sqrt{1-x^2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl[2\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\biggr) - \frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}\biggr) \biggr] </math>

:<math> \frac{\operatorname{artanh}(x)}{x(1-x^2)} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl[\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{2x}{x+1}\biggr) + \frac{1}{2}\operatorname{artanh}(x)^2 \biggr] </math>

Areasinus-Hyperbolicus-Funktionen:

:<math> \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl\{\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\bigl[1 - \bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr)^2\bigr] + \frac{1}{2}\operatorname{arsinh}(x)^2 \biggr\} </math>

: Deswegen gilt: <math> \int_0^{1/2} \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\biggr) + \frac{1}{2}\operatorname{arsinh}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi^2}{20} </math>

: Daraus folgt: <math> \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!}{16^k(2k+1)^2(k!)^2} = \frac{\pi^2}{10} </math>

:<math> \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x\sqrt{x^2+1}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl[2\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr) - \frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr) \biggr] </math>

:<math> \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x(x^2+1)} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl[\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\biggr) - \frac{1}{4}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x^2}{x^2+1}\biggr) \biggr]= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl\{\operatorname{Li}_2\bigl[1 - \bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr)^2\bigr]-\frac{1}{4}\operatorname{Li}_2\bigl[1 - \bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr)^4\bigr] \biggr\} </math>

== Siehe auch ==
* [[Quantendilogarithmus]]
* [[Trilogarithmus]]
* [[Arkustangensintegral]]
* [[Debyesche Funktionen]]

== Weblinks ==

* {{MathWorld| id =Dilogarithm | title = Dilogarithm | author = }}
* [http://maths.dur.ac.uk/~dma0hg/dilog.pdf Don Zagier: The dilogarithm function] (PDF; 1,5 MB)
* [http://www.dms.umontreal.ca/~mlalin/dilogarithm.pdf Matilde Lalin: The dilogarithm]
* [http://arxiv.org/pdf/0903.0284v1.pdf Dupont, Zickert: A dilogarithmic formula for the Cheeger-Chern-Simons class]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Dilogarithmus - Versionsgeschichte

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