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2025-08-22T16:20:46Z

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Ein '''Digitalfilter,''' auch '''digitaler/digitales Filter''' (laut Duden Maskulinum oder Neutrum), ist ein [[Filter (Mathematik)|Filter in der Mathematik]] zur Manipulation eines Signals wie beispielsweise das Sperren oder Durchlassen eines bestimmten Frequenzbereiches. Der Unterschied zum [[Analogfilter]] liegt in der Realisierung: Analoge Filter werden mit passiven elektronischen Bauelementen wie [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensatoren]], [[Spule (Elektrotechnik)|Spulen]], [[Elektrischer Widerstand|Widerständen]] oder aktiv mit [[Operationsverstärker]]n aufgebaut. [[Quantisierung (Signalverarbeitung)|Digitale]] Filter werden mit [[Logikbaustein]]en wie [[Anwendungsspezifische integrierte Schaltung|ASICs]], [[FPGA]]s oder in Form eines sequentiellen [[Algorithmus|Programmes]] mit einem [[Digitaler Signalprozessor|Signalprozessor]] realisiert.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Biquad filter DF-I.svg|mini|Blockstruktur eines digitalen [[IIR-Filter]]s]]
Während analoge Filter auf physikalischen Eigenschaften beruhen, um eine Filterwirkung zu erzielen, nutzen digitale Filter Algorithmen zur Filterung von Signalen. Als weiteres wesentliches Merkmal verarbeiten digitale Filter keine kontinuierlichen Signale, sondern ausschließlich zeit- und wertdiskrete Signale. Ein [[Abtastung (Signalverarbeitung)|zeitdiskretes]] Signal besteht in der zeitlich periodischen Abfolge nur aus einzelnen Impulsen, welche den Signalverlauf über die Zeit darstellen, den jeweiligen [[Abtastwert]]en. Der Abtastwert ist [[Quantisierung (Signalverarbeitung)|wertdiskret]], da die digitale Zahlendarstellung nur eine endliche Auflösung bietet.

Das Filterverhalten von digitalen Filtern ist leichter zu reproduzieren. Auch lassen sich bestimmte Filtertypen, wie die sogenannten [[FIR-Filter]] nur als digitales Filter und nicht als eine analoge Filterschaltung realisieren. Digitale Filter in Kombination mit [[Analog-Digital-Umsetzer]]n und [[Digital-Analog-Umsetzer]]n ersetzen auch zunehmend bisher rein analog realisierte Filterstrukturen. Digitale Filter stellen die Grundlage der digitalen Signalverarbeitung dar und finden beispielsweise Anwendung in der [[Kommunikationstechnologie]].

Kontinuierliche Filterübertragungsfunktionen und daraus gebildete analoge Filter wie [[Butterworth-Filter]], [[Bessel-Filter]], [[Tschebyscheff-Filter]] oder [[elliptische Filter]] lassen sich nach Anpassung der Filterübertragungsfunktion an das endliche, diskrete Spektrum in Form von digitalen [[IIR-Filter]]n mit geeignet gewählten Filterkoeffizienten nachbilden.

== Mathematische Definition ==
Ein abstraktes digitales Filter ist ein Operator, der zeitdiskreten [[Digitalsignal|digitalen Signalen]] wieder ebensolche zuordnet. Oft wird zur Vereinfachung der Beschreibung angenommen, dass das Signal reelle Zahlen als Werte hat, d. h., die Quantisierung der Abtastwerte (d. h. das Runden auf einen der endlich vielen Werte der Bitdarstellung) des digitalen Signals wird nicht berücksichtigt. Ein zeitdiskretes Signal ''x'' ist eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]], die jedem Punkt der diskreten, äquidistanten Menge
: <math>\Gamma = \{t_n:=t_0+n \Delta t, n\in \Z \}</math>
eine Zahl zuordnet. Es kann auch durch die Folge seiner Funktionswerte
: <math>x[n]=x_n:=x(t_n)</math>
angegeben werden. Die Notation mit eckigen Klammern wird in der Informatik der mit Index in der Mathematik vorgezogen.

Die grundlegende Funktionsweise einer (endlichen, nichtrekursiven) Filteroperation ist die folgende: Zu jedem Zeitpunkt, bzw. Punkt aus dem Gitter, wird eine Umgebung aus naheliegenden Zeitpunkten fixiert, z. B. je zwei Punkte vorher und nachher. Die Form dieser Umgebung ist dabei über die Zeit konstant. Enthält die Umgebung nur zeitlich vorhergehende Punkte, so wird das Filter ''kausal'' genannt.

Jetzt liegt zu jedem Zeitpunkt das [[Tupel]] der Werte in seiner Umgebung vor. Auf diesem Tupel wird immer eine gleiche Funktion angewendet, z. B. Maximumsbildung, Mittelwertbildung, gewichtete Mittelwerte, … Ist diese Funktion linear, so wird das Filter ''linear'' genannt, sonst ''nichtlinear.''

Betrachtet man eine Familie von Signalen, die sich durch eine Zeitverschiebung voneinander ergeben, und erzeugt die Familie der durch das Filter transformierten Signale, so unterscheiden sich die gefilterten Signale durch exakt dieselbe Zeitverschiebung untereinander. Das Filter ist ''zeitinvariant.'' Signaltransformationen mit diesen Eigenschaften werden auch als ''LTI-Systeme'' bezeichnet, englisch für '''L'''inear '''T'''ime '''I'''nvariant. Betrachtet man das diskrete Signal als Koeffizientenfolge einer [[Fourierreihe|Fourier-Reihenentwicklung]], d. h. die Signalwerte als Fourier-Integrale <math>\textstyle x_n=\int_{-1/2}^{1/2}\;f(s)\cdot e^{i2\pi sn}\,ds</math>, so vermag ein LTI-System die Amplituden '''|f(s)|''' der einzelnen Frequenzen zu verändern und gegenüber dem Eingangssignal in der Phase '''arg(f(s))''' zu drehen.

=== Faltungsoperatoren als LTI-Systeme ===
Ein Faltungsoperator ist über eine Folge '''f''' von Koeffizienten gegeben, welche per [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] auf das diskrete Signal '''x''' wirkt:
: <math>x\mapsto y:=f*x \; , \; y_n = \sum_{k=-\infty}^\infty f_k\cdot x_{n-k}</math>

Diese Summe ist in folgenden Fällen wohldefiniert:
# ''x'' ist beliebig und ''f'' ist als Folge endlich, so dass die Summe endlich ist,
# ''x'' ist beschränkt, und ''f'' ist absolut summierbar ⇒ ''y'' ist beschränkt,
# ''x'' ist „quadratsummierbar“ und ''f'' hat eine beschränkte [[Übertragungsfunktion|Frequenzantwort]] ⇒ ''y'' ist „quadratsummierbar“,
# ''x'' ist absolut summierbar und ''f'' ist absolut summierbar ⇒ ''y'' ist absolut summierbar.

Dabei heißt
* ''x'' ''beschränkt'', falls '''−K < x<sub>n</sub> < K''' für ein '''K''' und alle '''n ∈ ℤ''',
* ''x'' „quadratsummierbar“, wenn die Reihe der Betragsquadrate konvergiert
*: <math>E(x):=\|x\|_2^2:=\sum_{n=-\infty}^\infty |x_n|^2<\infty</math>,
* ''f'' ''endlich'', wenn es eine endliche Teilmenge '''I''' aus ℤ gibt, so dass '''f<sub>n</sub> ≠ 0''' nur für '''n ∈ I''' gilt,
* ''f'' ''absolut summierbar'', falls die Reihe der Beträge konvergiert
*: <math>\|f\|_1:=\sum_{n=-\infty}^\infty |f_n|<\infty</math>,
* ''f'' von ''beschränkter Frequenzantwort'', wenn die [[Fourier-Reihe]] zu ''f''
*: <math>\hat f(\xi):=\sum_{k=-\infty}^\infty f_ke^{-ik\xi}</math>
*: [[fast überall]] konvergiert und (essentiell) beschränkt ist.

Wie man sich überlegt, ist die [[Impulsantwort]] des Faltungsoperators in allen diesen Fällen die Folge ''f''.

Für ein ''endliches Filter'' nennt man die Menge ''I'' auch Träger, die Differenz zwischen Anfangs- und Endpunkt des Trägers wird ''Länge des Filters'' genannt. Die Elemente des Trägers werden häufig als ''Taps'' bezeichnet, ihre Anzahl ist um Eins höher als die Länge des Signals. Nur dieser erste, endliche Fall entspricht dem in der Einleitung geschilderten. Die Menge ''I'' definiert die Umgebung, welche zur Bestimmung der gefilterten Werte herangezogen wird, die Glieder von ''f'' definieren eine lineare Funktion der Werte dieser Umgebung.

Die ''absolut summierbaren'' Filterfolgen ''f'' des zweiten Falls haben nicht nur eine beschränkte, sondern sogar eine stetige Frequenzantwort. Diese gibt die Amplitudenänderung für die Elementarschwingungen <math>e(\omega)=(e_n(\omega): n \in \Z)</math> mit <math>e_n(\omega):=\exp(in\omega)=\cos(n\omega)+i \sin(n\omega)</math> an. Diese sind beschränkt, deshalb ist <math>f * e(\omega)</math> definiert und
: <math>[f*e(\omega)]_n=\sum f_k e_{n-k}(\omega)=e_n(\omega)\sum f_ke^{-ik\omega}=\hat f(\omega) e_n(\omega)</math>.
Ideale ''frequenzselektive'' Filter nehmen in ihrer Frequenzantwort nur die Werte 0 und 1 an. Die auftretenden Sprünge lassen sich nur schwer mit den stetigen Frequenzantworten absolut summierbarer und noch schlechter mit den polynomialen Frequenzantworten endlicher Filter approximieren.

Für die [[Fourier-Reihe]]n, welche nur im dritten Fall alle existieren (als L²-Funktionen), gilt die Beziehung:
: <math>\hat y(\xi)=\hat f(\xi)\cdot \hat x(\xi)</math>.
Die Quadratsumme ''E''(''x'') wird auch als „Energie“ des Signals bezeichnet. Aufgrund der [[Parsevalsche Gleichung|Parseval-Identität]]
: <math>\|x\|_2^2=\frac1{2\pi}\|\hat x\|_2^2:=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|\hat x(\xi)|^2\,d\xi</math>
kann mittels frequenzselektiver Filter eine orthogonale Zerlegung des Signals erreicht werden.

=== Endliche Spezialfälle ===
Hat der Träger des Filters ''f'' endliche Länge, so wird das Filter als FIR-System bezeichnet, [[FIR-Filter|FIR]] für [[Filter mit endlicher Impulsantwort|endliche Impulsantwort]] (englisch {{lang|en|''Finite Impulse Response''}}). Diese Filter werden auch als ''nichtrekursiv bzw. rückkopplungsfrei implementierbar'' bezeichnet.

Hat der Träger des Filters ''f'' keine endliche Länge, so wird das Filter als IIR-System bezeichnet, [[IIR-Filter|IIR]] für [[Filter mit unendlicher Impulsantwort|unendliche Impulsantwort]] (englisch ''Infinite Impulse Response''). Unter diesen gibt es eine Klasse von Filtern ''f'', die als ''rekursiv bzw. mit Rückkopplung implementierbar'' bezeichnet werden, die sich als Quotient endlicher Filter darstellen lassen, d. h. es gibt zwei endliche Folgen a und b, so dass im Faltungsprodukt <math>a * f = b</math> gilt. Nur solche unendlichen Filter lassen sich überhaupt implementieren.

== Vergleich von Digitalfiltern und Analogfiltern ==
Digitale Filter spielen eine große Rolle in der [[Kommunikationstechnologie|Kommunikationstechnik]]. Sie haben gegenüber analogen Filtern verschiedene Vorzüge:

=== Vorteile digitaler Filter ===
* keine Schwankungen durch [[Toleranz (Technik)|Toleranz]] der frequenzbestimmenden Bauteile.
* keine [[Materialermüdung|Alterung]] der frequenzbestimmenden Bauteile.
* kein aufwändiger manueller [[Datenabgleich|Abgleich]] in der Fertigung notwendig, daher raschere und günstigere Endprüfung von Geräten.
* spezielle Filterfunktionen möglich, die mit Analogfiltern nur schwer oder gar nicht realisierbar sind, beispielsweise Filter mit linearer Phase.
* Es liegt eine höhere Störsicherheit vor, da die mathematische Signalbearbeitung nicht durch elektromagnetische Felder gestört werden kann.

=== Nachteile digitaler Filter ===
Die Nachteile digitaler Filter haben sich seit Anfang des 21. Jahrhunderts durch technologische Fortschritte im Bereich der [[Halbleitertechnik]] deutlich gewandelt. Waren beim Aufkommen der ersten digitale Filter ca. Mitte bis Ende des 20. Jahrhunderts teilweise noch ein Abgleich der analogen Schaltungsteile notwendig, entfällt dies mittlerweile durch technische Anpassungen. Der Frequenzbereich war aufgrund der damals technologisch bedingt niedrigen Abtastraten stärker limitiert, die Rechenleistung und Taktraten der digitalen Schaltungsteile unterlag stärkeren Begrenzungen. Auch lag im Vergleich zu späteren Technologien ein deutlich stärker begrenzter Wertebereich vor, der sich unter anderem in größeren [[Quantisierungsrauschen]] äußerte.

Seit Anfang der 2000er Jahre wurden die Komponenten digitaler Filter und auch AD- und DA-Wandler deutlich preiswerter, kleiner, schneller und rauschärmer. Zum anderen sind viele Signalketten im Rahmen der Verarbeitung weitgehend durchgehend digitalisiert und benötigen in den Zwischenstufen gar keine AD- und DA-Wandler mehr, womit sich digitale Filter in diesen Anwendungen auf die zeitdiskrete Signalverarbeitung ohne Wandlung beschränken.

== Klassifikation von digitalen Filtern ==

=== Frequenzlineare Filter ===
Anhand des Aufbaus lassen sich zwei Klassen von digitalen Filtern unterscheiden:
;[[Nichtrekursiver Filter|Nichtrekursive Filter]]: Filter ''ohne'' [[Rückkopplung]]
;[[Rekursiver Filter|Rekursive Filter]]: Filter ''mit'' Rückkopplung

Eine zweite Unterscheidung lässt sich anhand der Impulsantwort treffen:
;[[Filter mit endlicher Impulsantwort|FIR-Filter]] (Finite Impulse Response): Filter mit ''endlich'' langer [[Impulsantwort]]. FIR-Filter beinhalten meistens keine Rückkopplung. Es gibt aber auch spezielle FIR-Filterstrukturen mit Rückkopplungen, ein Beispiel dafür sind [[CIC-Filter]].
;[[Filter mit unendlicher Impulsantwort|IIR-Filter]] (Infinite Impulse Response): Filter mit ''unendlich'' langer Impulsantwort, diese weisen immer Rückkopplungszweige auf.

FIR-Filter sind grundsätzlich stabil, auch jene mit rekursiven Elementen. Dies liegt darin begründet, dass die nichtrekursiven Formen nur [[Nullstelle]]n und triviale [[Polstelle]]n im Ursprung in der [[Übertragungsfunktion]] aufweisen und die nichttrivialen Polstellen bei rekursiven Formen der FIR-Filter immer am Einheitskreis liegen. Nullstellen unterliegen bezüglich des Stabilitätskriteriums keiner Beschränkung in ihrer Lage im [[Pol-Nullstellen-Diagramm]]. Liegen sie alle innerhalb des [[Einheitskreis]]es, so spricht man von einem [[minimalphasig]]en System, liegt mindestens eine außerhalb, so handelt es sich um ein nichtminimalphasiges System. Beim Entwurf eines FIR-Filters wird in den meisten Fällen eine [[Fensterfunktion|Fensterung]] vorgenommen, um den [[Leck-Effekt]] zu verringern.

IIR-Filter sind nur dann stabil, wenn alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen. Liegen einfache Polstellen auf dem Einheitskreis, so ist das System bedingt stabil, d. h. in Abhängigkeit vom Eingangssignal. Sobald zwei oder mehr Polstellen auf demselben Punkt des Einheitskreises oder auch nur eine Polstelle außerhalb des Einheitskreises liegt, liegt ein instabiles Filter vor.

Der Vorteil von IIR Filtern liegt darin, dass sie in der Übertragungsfunktion neben den Nullstellen auch Polstellen aufweisen und damit höhere [[Filtergüte]]n ermöglichen. Die Berechnung eines IIR-Filters ist gegenüber der eines FIR-Filters aufwändiger und sollte auch eine Stabilitätsuntersuchung der quantisierten Koeffizienten umfassen. Eine zuverlässige Methode zur Koeffizientenbestimmung eines IIR-Filters bietet die Methode nach [[Prony]].

Praktisch durchgeführt wird die Koeffizientenbestimmung mit Programmen wie [[MATLAB]].

=== Frequenzverzerrte Filter ===
(basieren auf der [[Filter-Transformation|Tiefpass-Tiefpass-Transformation]])

Eine Unterscheidung dieser Filter ist anhand der Impulsantwort nicht mehr möglich.
* '''WFIR-Filter''' [[warped FIR]] – sind stabil. Diese Filter basieren auf einem FIR-Filter, welches aber frequenzverzerrt ist. Sie besitzen immer eine ''unendliche'' Impulsantwort.
* '''WIIR-Filter''' [[warped IIR]] – sind ebenfalls nur dann stabil, wenn alle [[Polstelle]]n innerhalb des Einheitskreises liegen. Auch sie gehören zu den frequenzverzerrten Filtern. Sie lassen sich nicht direkt realisieren, da ein Koeffizientenmapping erforderlich ist, um verzögerungsfreie Schleifen zu entfernen.

=== Multiratenfilter ===
Sie dienen der Konvertierung zwischen verschiedenen [[Abtastrate]]n und vermeiden das Auftreten von Spiegelspektren bzw. [[Alias-Effekt|Aliasing]]. Beispiele von [[Multiratenfilter]] sind [[CIC-Filter]].

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Karl-Dirk Kammeyer]], Kristian Kroschel
|Titel=Digitale Signalverarbeitung
|Auflage=6.
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=2006
|ISBN=3-8351-0072-6}}

== Weblinks ==
* [http://www.winfilter.20m.com/ WinFilter – Kostenlose Filterentwurfs-Software]
* [http://www.falstad.com/dfilter/ Java-Demonstration digitaler Filter]
* [http://www.icsi.berkeley.edu/~storn/fiwiz.html FIWIZ – Filter design wizard (FIR, IIR). Demo-Programm und kommerzielle SW]

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]

Digitalfilter - Versionsgeschichte

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