2A02:8071:5010:800:4896:E3E6:A01B:961C: /* Die Beziehung zur harmonischen Reihe */

2024-10-24T09:13:30Z

Die Beziehung zur harmonischen Reihe

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[[Datei:Complex Polygamma 0.jpg|thumb|300px|Die Digamma-Funktion <math> \psi(x) </math> in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]].]]
Die '''Digamma-Funktion''' oder '''Psi-Funktion''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die definiert wird als:
:<math>\psi(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\ln\big(\Gamma(x)\big) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
Sie ist also die [[logarithmische Ableitung]] der [[Gammafunktion]]. Die Digamma-Funktion ist die erste der [[Polygammafunktion]]en. Bis auf ihre Pole erster Ordnung für nicht positive ganze Argumente ist sie (genau wie die Gammafunktion) in ganz <math>\Complex</math> [[Holomorphe Funktion|holomorph]].

== Berechnung ==
=== Die Beziehung zur harmonischen Reihe ===

Die Digammafunktion, welche meist als ψ0(''x''), ψ0(''x'') oder <math>\digamma</math> (nach der Form des vorklassischen griechischen Buchstaben Ϝ [[digamma]]) dargestellt wird, steht für ganzzahlige Werte mit der [[Harmonische Reihe|harmonischen Reihe]] in folgender Beziehung:

:<math>\psi(n) = H_{n-1}-\gamma</math>

wobei ''H''''n'' das ''n''-te Element der harmonischen Reihe und <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] ist. Für halbzahlige Werte kann sie geschrieben werden als:
:<math>\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}.</math>

=== Integral-Darstellung ===
Die Digammafunktion kann wie folgt als [[Integralrechnung|Integral]] dargestellt werden:

:<math>\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\, \mathrm dt</math>
Für alle positiven x-Werte gilt diese Formel:
:<math>\psi(x)= \ln(x) - \frac{1}{2x} - \int_{0}^{\infty} \frac{2y}{(y^2 + 1)[\exp(2\pi x y) - 1]} \mathrm{d}y</math>
Diese Formel resultiert aus der [[Abel-Plana-Summenformel]] und geht durch die [[Mellin-Transformation]] hervor.

Dies kann auch geschrieben werden als:

:<math>\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} \, \mathrm dx</math>

Dies folgt aus der Formel für das Euler-Integral für die harmonische Reihe.

=== Taylor-Reihe ===
Durch Reihenentwicklung der [[Taylor-Reihe]] um den Punkt ''z''=1 kann die Digammafunktion wie folgt dargestellt werden:

:<math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k.</math>

Sie konvergiert für |''z''|<1. Dabei ist <math>\zeta(n)</math> die [[Riemannsche ζ-Funktion]]. Die Reihe kann leicht von der zugehörigen Taylor-Reihe für die [[Hurwitzsche ζ-Funktion]] hergeleitet werden.

=== Binomische Reihe ===
Die [[binomische Reihe]] für die Digammafunktion folgt aus dem Euler-Integral

:<math>\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k},</math>

wobei <math>\tbinom sk</math> der [[Binomialkoeffizient#Binomialkoeffizienten in der Analysis|verallgemeinerte Binomialkoeffizient]] ist.

=== Funktionalgleichung ===
Die Digammafunktion genügt folgender [[Funktionalgleichung]], welche direkt aus der logarithmischen Ableitung der Gammafunktion hergeleitet werden kann:

:<math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi \cot{ \left ( \pi x \right ) }.</math>

Hiermit kann allerdings nicht ψ(1/2) berechnet werden; dieser Wert ist unten angegeben.

=== Rekursionsformel und Summenausdrücke ===
Die Digamma-Funktion genügt der Rekursionsformel
: <math>\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}.</math>

oder

:<math>\Delta [\psi] (x) = \frac{1}{x},</math>

wobei Δ der rechtsseitige [[Differenz-Operator|Differenzoperator]] ist. Dies erfüllt die Rekursionsbeziehung der [[Harmonische Reihe|harmonischen Reihe]]. Daraus folgt

:<math> \psi(n)\ =\ H_{n-1} - \gamma.</math>

Allgemeiner gilt:

:<math>\psi(x) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty
\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k-1} \right).</math>

Aus der Gaußschen Produktdarstellung der Gammafunktion lässt sich äquivalent dazu

:<math>\psi(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\ln n-\sum\limits_{k=0}^n\frac1{x+k}\right)</math>.

schlussfolgern.

=== Quotientenbeziehung zur Gammafunktion ===

Für den Quotienten aus Digammafunktion und Gammafunktion liefert die Produktdarstellung den Ausdruck

:<math>\frac{\psi(x)}{\Gamma(x)}=
\lim\limits_{n\to\infty}
\frac{\ln n\prod\limits_{k=0}^n(x+k)-\sum\limits_{j=0}^n\prod\limits_{k=0\atop k\ne j}^n(x+k)}{n!\,n^x}</math>.

Bei positiven ganzen Zahlen <math>m\ge 0</math>, bei deren negativen Werten sowohl Digamma- als auch Gammafunktion divergieren, folgt dann

:<math>\frac{\psi(-m)}{\Gamma(-m)}=
-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\prod\limits_{k=0\atop k\ne m}^n(k-m)}{n!\,n^{-m}}=
(-1)^{m-1} m! \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^m}{\prod\limits_{k=n-m+1}^n k}=(-1)^{m-1} m!
</math>.

Mit Hilfe der Funktionalgleichung für die Gammafunktion findet man sogar heraus, dass der Wert des Quotienten ausschließlich vom
Argument der Gammafunktion abhängt, also gilt für ganzzahlige <math>m,n\ge 0</math> schließlich

:<math>\frac{\psi(-m)}{\Gamma(-n)}=(-1)^{n-1} n!</math>.

== Gaußsche Summe ==
Die Digammafunktion hat eine [[Gaußsche Summe]] der Form

:<math>-\frac1{\pi k} \sum_{n=1}^k
\sin\frac{2\pi nm}{k}\, \psi\left(\frac{n}{k}\right) =
\zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -\mathrm{B}_1 \left(\frac{m}{k}\right) =
\frac{1}{2} - \frac{m}{k}</math>

für natürliche Zahlen <math>0<m<k</math>. Dabei ist ζ(''s'',''q'') die [[Hurwitzsche ζ-Funktion]] und <math>\mathrm{B}_n(x)</math> das [[Bernoulli-Zahlen|Bernoulli-Polynom]]. Ein Spezialfall des [[Multiplikationstheorem]] ist

:<math>\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right)
=-k(\gamma+\ln k).</math>

== Gaußsches Digamma-Theorem ==
Für ganze Zahlen <math>m</math> und <math>k</math> (mit <math>m < k</math>) kann die Digammafunktion mit [[Elementare Funktion|elementaren Funktionen]] ausgedrückt werden

:<math>\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k)
-\frac{\pi}{2}\cot\frac{m\pi}{k}
+2\sum_{n=1}^{\left[\frac{k-1}2\right]}
\cos\frac{2\pi nm}{k}\,
\ln\sin\frac{n\pi}{k}.
</math>

== Besondere Werte ==

=== Liste der Werte ===
Die Digamma-Funktion hat unter anderem folgende besondere Werte:

: <math> \psi\,(1) = -\gamma</math>

: <math> \psi\left(\frac12\right) = -2\ln2 - \gamma</math>

: <math> \psi\left(\frac13\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac32\ln3 - \gamma</math>

: <math> \psi\left(\frac14\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln2 - \gamma</math>

: <math> \psi\left(\frac16\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln2 -\frac32\ln3 - \gamma</math>

=== Beweis für den Wert ψ(1) ===
Nach der oben abgebildeten Formel gilt:
:<math>\psi(1) = -\int_0^{\infty} \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} \mathrm{d}x</math>
Dieses Integral lässt sich so umformen:
:<math>\int_0^{\infty} \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} \mathrm{d}x = \int_0^{\infty} \frac{\exp(-x)+x-1}{x[\exp(x)-1]} \mathrm{d}x = \int_0^{\infty} \frac{1}{x[\exp(x)-1]} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!} \mathrm{d}x =</math>
:<math>= \int_0^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}x^m}{(m+1)![\exp(x)-1]} \mathrm{d}x = \sum_{m = 1}^{\infty} \int_0^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}x^m}{(m+1)![\exp(x)-1]} \mathrm{d}x =</math>
:<math>= \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{(m+1)!} \int_0^{\infty} \frac{x^m}{\exp(x)-1} \mathrm{d}x = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{(m+1)!} m!\zeta(m+1) = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{m+1}\zeta(m+1) =</math>
:<math>= \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{m+1} \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{m+1}} = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{m+1}\frac{1}{n^{m+1}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{m+1}\frac{1}{n^{m+1}} =</math>
:<math>= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} + \operatorname{Li}_{1}\left(-\frac{1}{n}\right) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = \gamma</math>
Deswegen nimmt ψ(1) den Wert -γ an.

In der dritten Zeile der Gleichungskette wird der [[Debyesche Funktionen|Debyesche Funktionswert]] von Plus Unendlich genannt, welcher aus der [[Geometrische Reihe|Geometrischen Reihe]] hervorgeht.

Am Ende der vierten Zeile taucht die [[Maclaurinsche Reihe]] des [[Polylogarithmus|Monologarithmus]] auf, welche als [[Stammfunktion]] der Geometrischen Reihe hervorgeht.

=== Beweise für die Digammafunktionswerte der Kehrwerte natürlicher Zahlen ===
Aus der Beziehung zur harmonischen Reihe resultiert diese für alle z ∈ ℕ gültige Formel:
:<math>\psi\left(\frac{1}{z+1}\right)= -\gamma - (z+1) \int_{0}^{1} \frac {1-x^{z}}{1-x^{z+1}} \mathrm dx</math>
Also gilt:
:<math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -\gamma - 2 \int_{0}^{1} \frac {1-x}{1-x^2} \mathrm{d}x = -\gamma - 2 \int_{0}^{1} \frac {1}{1+x} \mathrm{d}x = -\gamma - 2 \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln(x+1) \mathrm{d}x = -\gamma - 2\ln(2)</math>
:<math>\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\gamma - 3 \int_{0}^{1} \frac {1-x^2}{1-x^3} \mathrm{d}x = -\gamma - 3 \int_{0}^{1} \frac {1+x}{1+x+x^2} \mathrm{d}x =</math>
:<math>= -\gamma - 3 \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{3}\sqrt{3}\arctan\left[\frac{1}{3}\sqrt{3}(1+2x)\right] + \frac{1}{2}\ln(1+x+x^2)\mathrm{d}x = -\gamma - \frac{1}{6}\sqrt{3}\pi - \frac{3}{2}\ln(3)</math>

== Ableitung ==

Die Ableitung der Digammafunktion ist nach deren Definition die [[Trigamma-Funktion]]
:<math>\psi_1(x)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\ln\Gamma(x),</math>
die zweite [[Polygammafunktion]].

== Literatur ==
* [[Milton Abramowitz]] und [[Irene Stegun|Irene A. Stegun]], ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]'', (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm Siehe §6.3]

== Weblinks ==
* {{MathWorld|DigammaFunction|Digamma Function}}

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

[[km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា]]

Digamma-Funktion - Versionsgeschichte

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