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2024-09-27T08:41:10Z

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Ein '''Differenzkern''', auch '''Egalisator''' oder nach der englischsprachigen Bezeichnung '''Equalizer''' genannt, ist eine Verallgemeinerung des [[Mathematik|mathematischen]] Begriffes [[Kern (Algebra)|Kern]] auf beliebige [[Kategorientheorie|Kategorien]].

== Definition ==
In einer [[Kategorientheorie#Kategorie|Kategorie]] seien zwei [[Morphismus|Morphismen]] <math>f,g\colon X\rightarrow Y</math> gegeben. Ein '''Differenzkern''' von <math>f</math> und <math>g</math> ist ein Morphismus <math>i\colon Z\rightarrow X</math> mit folgenden Eigenschaften:
* <math> f \circ i = g \circ i </math> und
* zu jedem Morphismus <math>i' \colon Z' \to X</math>, für den <math>f \circ i' = g \circ i'</math> gilt, gibt es genau einen Morphismus <math> c \colon Z' \to Z</math>, so dass <math>i' = i \circ c</math>.<ref>B. Pareigis: ''Kategorien und Funktoren'', B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: ''Differenzkerne und -kokerne''</ref><ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2</ref>
<div class="center">
<math>
\begin{array}{ccccc}
Z' & & & & \\
\downarrow^{c} & \searrow^{i'} & & & \\
Z & \xrightarrow[i]{} & X & \underset{f}{\overset{g}{\rightrightarrows}} & Y \\
\end{array}
</math>
</div>

== Beispiele ==
* In den Kategorien '''Set''' der Mengen, '''Top''' der [[Topologischer Raum|topologischen Räume]], <math>R</math>-'''Mod''' der [[Modul (Mathematik)|Linksmoduln]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> ist in der Situation obiger Definition die [[Inklusionsabbildung]]
:<math>i\colon \{x\in X \mid f(x) = g(x)\} \hookrightarrow X</math>
:ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist
:<math>\{x\in X \mid f(x) = g(x)\} = \{x\in X \mid (f-g)(x)=0\}</math>
:automatisch ein [[Untermodul]], der mit dem [[Kern (Algebra)|Kern]] der Differenz <math>f-g</math> zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.
* In den Kategorien der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]], [[Vektorraum|Vektorräume]] oder [[Ring (Algebra)|Ringe]] ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
* Hat die betrachtete Kategorie [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekte]] und ist in der Situation obiger Definition <math>g=0_{XY}</math> der [[Nullmorphismus]] <math>X\rightarrow Y</math>, so ist ein Differenzkern von <math>f</math> und <math>0_{XY}</math> nichts anderes als ein Kern von <math>f</math>. Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

== Bemerkungen ==
* Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition <math>i\colon Z\rightarrow X</math> und <math>\tilde{i}\colon\tilde{Z}\rightarrow X</math> zwei Differenzkerne von <math>f</math> und <math>g</math>, so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten [[Isomorphismus]] <math>c\colon\tilde{Z}\rightarrow Z</math> mit <math>\tilde{i} = i\circ c</math> gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von ''dem'' Differenzkern spricht und ihn mit <math>\mathrm{ker}(f,g)</math> bezeichnet.
* In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt <math>Z</math> den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
* Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen <math>f,g\colon X\rightarrow Y</math> einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien '''Set''', '''Top''' und <math>R</math>-'''Mod''' haben offenbar Differenzkerne. Die [[Unterkategorie]] '''Set<sub>2</sub>''' der mindestens zweielementigen Mengen von '''Set''' hat keine Differenzkerne.<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 16.9</ref>
* Differenzkerne sind [[Monomorphismus|Monomorphismen]].<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 16.4</ref> Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man [[Regulärer Monomorphismus und Epimorphismus|regulär]].
* Differenzkerne sind spezielle [[Limes (Kategorientheorie)|Limites]], nämlich die von Funktoren <math>\mathcal{I}\rightarrow\mathcal{C}</math> (auch <math>\mathcal{I}</math>-förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie <math>\mathcal{I}</math> aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

== Äquivalente Beschreibung ==

Ein Differenzkern zweier Morphismen <math>f, g \colon X \to Y</math> in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte [[Unterobjekt]] <math> i \colon \ker( f , g) \to X</math> von <math>X</math> beschrieben werden:

:<math>\operatorname{Hom}(T,\ker(f,g)) \cong \ker(\operatorname{Hom}(T,f),\operatorname{Hom}(T,g))</math>

wobei
: <math>\operatorname{Hom}(T,f)\colon \operatorname{Hom}(T,X) \to \operatorname{Hom}(T,Y)</math>
: <math>\operatorname{Hom}(T,f)(t) := f t</math>

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 [[natürliche Transformation|natürlich]] in <math>T</math> sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

: <math>\varphi_T\colon \operatorname{Hom}(T,\ker(f,g)) \to \ker(\operatorname{Hom}(T,f),\operatorname{Hom}(T,g))</math>

dann gilt für alle <math> a \colon T_0 \to T </math> und alle <math>t</math> für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

: <math> \varphi_{T_0}(t a) = \varphi_T( t ) a </math>

== Siehe auch ==
* [[Differenzkokern]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Differenzkern - Versionsgeschichte

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