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2026-03-15T00:14:37Z

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Die '''Differenzenfolge''' (früher: ''Differenzenreihe'') einer gegebenen Zahlenfolge entsteht in der [[Mathematik]] durch Bilden der [[Subtraktion|Differenzen]] von je zwei benachbarten Folgengliedern.

== Definition ==
Ist <math>(a_n)=a_0, a_1, a_2,a_3 \ldots</math> eine Zahlenfolge, so ist die Folge <math>a_1-a_0, a_2-a_1, a_3-a_2 \ldots</math> die zugehörige ''Differenzenfolge''.<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Gohout |Titel=Mathematik für Wirtschaft und Technik |Verlag=Oldenbourg Verlag |Ort=München |Datum=2007 |ISBN=978-3-486-58501-8 |Seiten=126}}</ref> Die Differenzen <math>a_{n+1}-a_n</math> werden mit <math>d_n</math> bezeichnet und die Differenzenfolge entsprechend mit <math>(d_n)</math>. Formal ist die Differenzenfolge <math>(d_n)</math> also definiert durch
:<math> d_n := a_{n+1}-a_n</math>.
=== Beispiel ===
Die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge der Folge <math>1, 3, 5, 7, 9, 11 \ldots</math> die konstante Folge <math>2, 2, 2, 2, 2 \ldots</math> Dieser Zusammenhang lässt sich durch ein ''Differenzenschema'' veranschaulichen:

:{| border=0
|<math>1\ </math>|| ||<math>3\ </math>|| ||<math>5\ </math>|| ||<math>7\ </math>|| ||<math>9\ </math>|| ||<math>11\ </math>|| ||<math>...\ </math>
|-
| ||<math>2\ </math>|| ||<math>2\ </math>|| ||<math>2\ </math>|| ||<math>2\ </math>|| ||<math>2\ </math>|| ||<math>...\ </math>
|}

== Differenzenfolgen höherer Ordnung ==
Das Bilden von Differenzen benachbarter Glieder erzeugt aus einer Folge <math>(a_n)</math> eine neue Folge <math>(d_n)</math>. Bildet man aus der Folge <math>(d_n)</math> ebenfalls Differenzen benachbarter Glieder, so erhält man abermals eine neue Folge, die ''Folge der Differenzen 2. Ordnung'' oder kurz die ''2. Differenzenfolge'', die mit <math>(d_n^{(2)})</math> bezeichnet wird. Die 2. Differenzenfolge ist also die „Differenzenfolge der Differenzenfolge“. Fährt man auf diese Weise fort, bildet also aus Differenzenfolgen immer weitere Differenzenfolgen, so erhält man die ''höheren Differenzenfolgen'' <math>(d_n^{(3)}), (d_n^{(4)}), (d_n^{(5)})</math> usw.

Formal werden die Differenzen höherer Ordnung einer Folge <math>(a_n)</math> rekursiv definiert durch<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Gohout |Titel=Mathematik für Wirtschaft und Technik |Verlag= |Ort= |Seiten=127}}</ref>

:<math>d_n^{(1)}= d_n =a_{n+1}-a_n \qquad \text{und} \qquad d_n^{(k)}= d_{n+1}^{(k-1)} - d_n^{(k-1)}, \quad k\geq 2. </math>
Sie ergeben sich bequem aus dem Differenzenschema
{| border=0
|Folge: ||<math>a_0\ </math>|| ||<math>a_1\ </math>|| ||<math>a_2\ </math>|| ||<math>a_3\ </math>|| ||<math>a_4\ </math>|| ||<math>a_5\ </math>|| ||<math>a_6\ </math>|| ||<math>a_7\ </math>|| ||<math>...\ </math>
|-
|1. Differenzenfolge: || ||<math>d_0\ </math>|| ||<math>d_1\ </math>|| ||<math>d_2\ </math>|| ||<math>d_3\ </math>|| ||<math>d_4\ </math>|| ||<math>d_5\ </math>|| ||<math>d_6\ </math>|| ||<math>...\ </math>
|-
|2. Differenzenfolge: || || ||<math>d_{0}^{(2)}</math>|| ||<math>d_{1}^{(2)}</math>|| ||<math>d_2^{(2)}</math>|| ||<math>d_3^{(2)}</math>|| ||<math>d_4^{(2)}</math>|| ||<math>d_6^{(2)}</math>|| || <math>\cdots</math>||
|-
|3. Differenzenfolge: || || || ||<math>d_{0}^{(3)} </math>|| ||<math>d_{1}^{(3)} </math>|| ||<math>d_{2}^{(3)} </math>|| ||<math>d_3^{(3)} </math>|| ||<math>d_4^{(3)} </math>|| ||<math>...\ </math>||
|-
|<math>\vdots</math>
|
|
|
|
|<math>\ddots</math>
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
| || || || || || || || || || || || || || ||
|-
|k. Differenzenfolge:
|
|
|
|
|
|
|<math>d_{0}^{(k)}</math>
|
|<math>d_{1}^{(k)}</math>
|
|<math>d_{2}^{(k)} </math>
|
|<math>...\ </math>
|
|}

===Beispiel===
:<math> \begin{align}
(a_n) & = (4, 7, 11, 18, 31, 54, 92, 151, \ldots) &\quad& \text{mit } a_n = \frac{96+70n-n^2+2n^3+n^4}{24} \\
(d_n) & = (3, 4, 7, 13, 23, 38, 59, \ldots ) &\quad& \text{mit } d_n = \frac{18+2n+3n^2+n^3}{6} \\
(d_n^{(2)}) & = (1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots) &\quad& \text{mit } d^{(2)}_n = \frac{2+3n+n^2}{2} \\
(d_n^{(3)}) & = (2, 3, 4, 5, 6, \ldots) &\quad& \text{mit } d^{(3)}_n =n+2 \\
(d_n^{(4)}) & = (1, 1, 1, 1, \ldots ) &\quad& \text{mit } d^{(4)}_n = 1 \\
(d_n^{(5)}) & = (0, 0, 0, \ldots ) &\quad& \text{mit } d^{(5)}_n =0
\end{align}</math>

Alle weiteren Differenzenfolgen sind ebenfalls [[Konstante Funktion|konstant]] <math>0</math>.
== Eigenschaften ==
{{Belege fehlen|2=Der folgende Abschnitt}}

Bildet man von einer Folge, die durch ein [[Polynom]] angegeben werden kann, wiederholt die Differenzenfolge, sind irgendwann alle weiteren Differenzenfolgen [[Nullfolge]]n.

Genauer gesagt: Die Differenzenfolge eines Polynoms <math>k</math>-ten Grades ist vom Grad <math>k-1</math>.

Nach [[Isaac Newton|Newton]] lässt sich jede Folge auch mit ihren Differenzenfolgen (genauer gesagt, mit jeweils dem ersten Folgeglied aller Differenzenfolgen) darstellen:

:<math>a_n=a_0+n\cdot d_0+{n\choose 2}d^{(2)}_0+{n\choose 3}d^{(3)}_0+{n\choose 4}d^{(4)}_0+\cdots+{n\choose n}d^{(n)}_0 =a_0+\sum_{k=1}^n {n \choose k}d^{(k)}_0</math>

mit den [[Binomialkoeffizient]]en <math>\textstyle{{n \choose k}}</math>. Bei Polynomfunktionen ist dies keine [[unendliche Reihe]], da nur für endlich viele <math>k</math> die Startwerte der Differenzenfolgen <math>d_0^{(k)}</math> ungleich <math>0</math> sind.

Nicht für alle Folgen sind irgendwann alle Differenzenfolgen Nullfolgen: Betrachten wir die [[geometrische Folge]] <math>a_n = 2^n</math> so erhalten wir

:<math>(a_n)=(1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots)</math>
:<math>(d_n)=(1, 2, 4, 8, 16, \ldots)</math>
:<math>(d_n^{(2)})=(1, 2, 4, 8, \ldots)</math>
:<math>\ldots</math>

Alle Differenzenfolgen stimmen also mit der ursprünglichen Folge überein.


== Anwendungen ==

Mit Hilfe der Differenzenfolge kann man entscheiden, ob es sich bei einer gegebenen Folge um eine [[arithmetische Folge]] handelt. Wiederholtes Bilden der Differenzenfolge erlaubt die Charakterisierung [[Arithmetische Folge#Arithmetische Folgen höherer Ordnung|arithmetischer Folgen höherer Ordnung]], deshalb sind Differenzenfolgen auch bei der Untersuchung [[Figurierte Zahl|figurierter Zahlen]], z. B. [[Polygonalzahl]]en von Interesse.

In der mathematischen Forschung ist die Differenzenfolge der Folge der [[Primzahl]]en Gegenstand zahlreicher Untersuchungen.
[[Terence Tao]] und [[Ben Green]] bewiesen 2004, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss ([[Satz von Green-Tao]]). Die bislang (2010) längste bekannte dieser Folgen besteht aus 26 Elementen (''AP-26'').

Außerhalb der Mathematik haben sie Eingang in [[Intelligenztest|Intelligenztests]] und Denksportaufgaben gefunden.

== Literatur ==

* [[John H. Conway]], [[Richard Kenneth Guy]]: ''Zahlenzauber. Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen'', Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 978-3-7643-5244-8.
** Englische Originalausgabe: ''The Book of Numbers'', Springer, Berlin, 2nd corr. Printing (März 1998), ISBN 978-0-387-97993-9.
*Wolfgang Gohout: ''Mathematik für Wirtschaft und Technik'', Oldenbourg Verlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58501-8, S. 126–128.

== Weblinks ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/newsletter/newsletter17.htm Differenzen- und Summenfolgen] bei Jutta Gut, mit Beispielen und Zusammenhängen zu Infinitesimalrechnung und Summenfolgen
* {{MathWorld|PrimeArithmeticProgression|Prime Arithmetic Progression}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Differenzenfolge - Versionsgeschichte

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