2A02:8388:8A81:D480:F537:8A4C:6F36:F64F: /* Genügend glatt */

2025-04-13T22:31:39Z

Genügend glatt

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Die '''Differentiationsklasse'''<ref>Rolf Walter: ''Einführung in die Analysis.'' Band 3. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-11-020960-0, S. 59, 147ff.</ref> ist ein Begriff aus der [[Mathematik]], insbesondere aus dem Teilgebiet der [[Analysis]]. Sie ist ein [[Funktionenraum]] und umfasst alle Funktionen, die mindestens <math>k</math>-mal [[Stetig differenzierbare Funktion|stetig differenzierbar]] sind, wobei <math>k</math> eine [[natürliche Zahl]] ist. Notiert wird die Differentiationsklasse meist mittels <math>C^k</math>.

== Definition ==
Sei <math>k \in \N \cup \{0\}</math> eine Zahl und <math>D \subset \R</math> eine nichtleere, [[Offene Menge|offene]] [[Teilmenge]] der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Eine [[stetige Funktion]] <math>f \colon D \to \R</math> gehört dann zur Differentiationsklasse <math>C^k(D)</math> beziehungsweise genauer <math>C^k(D,\R)</math>, wenn <math>f</math> auf ganz <math>D</math> mindestens <math>k</math>-mal [[Stetig differenzierbare Funktion|stetig differenzierbar]] ist.<ref name="Koenigsberger155">[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1.'' Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 155.</ref>

Entsprechend der Definition wird mit <math>C(D) := C^0(D)</math> die Klasse der stetigen Funktionen und mit <math>C^\infty(D)</math> die Differentiationsklasse der [[Glatte Funktion|beliebig oft differenzierbaren Funktionen]] bezeichnet.<ref name="Koenigsberger155" />

== Verallgemeinerungen ==
Die Klasse der [[Analytische Funktion|analytischen Funktionen]] wird manchmal in Analogie zu obiger Definition mit <math>C^\omega(D)</math> bezeichnet.

Für stetige Funktionen <math>g \colon \tilde{D} \subset \R^n \to \R^m</math> im mehrdimensionalen [[Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorraum]] wird die Definition analog übernommen. Die Funktion <math>g</math> gehört also zur Differentiationsklasse <math>C^k(\tilde{D},\R^m)</math>, wenn sie auf ganz <math>\tilde{D}</math> mindestens <math>k</math>-mal [[Stetig differenzierbare Funktion#Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen|stetig differenzierbar]] ist.<ref>[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 62.</ref><ref>{{Literatur|Autor=Rolf Walter|Titel=Einführung in die Analysis 2|Verlag=de Gruyter|Jahr=2007|ISBN=9-783-1101-9540-8|Seiten=64, 448}}</ref>

Wenn sich die Anzahl der möglichen Differentiationen (<math>k,l,..</math>) bei mehrdimensionalen Funktionen zwischen den einzelnen Variablen unterscheidet, so kann dem in einer Verallgemeinerung der obigen Notation Rechnung getragen werden: <math>C^{k,l,..}(D).</math><ref>{{Internetquelle |autor=Martin Keller-Ressel |url=https://tu-dresden.de/mn/math/stochastik/mkeller/ressourcen/dateien/stochana_skript.pdf |titel=Stochastische Analysis |format=PDF; 838 kB |werk=tu-dresden.de |hrsg=[[Technische Universität Dresden|TU Dresden]], Fakultät Mathematik |datum=2015-05-23 |seiten=46 |abruf=2024-05-23 |sprache=de}}</ref>

Auch für Funktionen zwischen [[differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]] werden die <math>C^k</math>-Differentiationsklassen analog definiert.

== Teilmengenrelation ==
Sei <math>D \subset \R^n</math> eine offene Teilmenge, dann gilt
:<math>C^\omega(D) \subsetneq C^\infty(D) \subsetneq \dotsb \subsetneq C^k(D) \subsetneq \dotsb \subsetneq C^1(D) \subsetneq C^0(D)</math>.
Je höher also der Index <math>k</math> der Differentiationsklasse ist, desto weniger Funktionen umfasst sie.

== Beispiele ==

* Die [[Exponentialfunktion]] <math>\exp \colon \R \rightarrow \R </math> ist analytisch und gehört somit zur Klasse <math>C^\omega(\R)</math>.
* Die [[Betragsfunktion]] <math>|\cdot| \colon \R \to \R</math> ist stetig, aber nicht differenzierbar. Sie gehört also zur Klasse <math>C^0(\R)</math>, aber nicht zur Klasse <math>C^1(\R)</math>.
* Die Funktion <math>f \colon \R \to \R</math>, <math>x \mapsto |x|^3</math> ist zweimal stetig differenzierbar, aber nicht dreimal. Es gilt also <math>f \in C^2(\R) \setminus C^3(\R)</math>.
* Die Funktion <math>f_n \colon \R \to \R</math>, <math>x \mapsto x^n|x|</math> ist <math>n</math>-mal stetig differenzierbar, aber nicht <math>(n+1)</math>-mal für alle <math>n \in \N</math>. Es gilt also <math>f_n \in C^n(\R) \setminus C^{n+1}(\R)</math>.
* Die Funktion <math>g \colon \R \to \R</math> mit <math>g(x) = \exp\left(-\tfrac{1}{x^2}\right)</math> für <math>x \neq 0</math> und <math>g(0) = 0</math> ist beliebig oft differenzierbar und gehört somit zur Klasse <math>C^{\infty}(\R)</math>, aber sie ist nicht analytisch.
* Die Funktion <math>h \colon \R \to \R</math> mit <math>h(x) = x^2 \sin(1/x)</math> für <math>x \neq 0</math> und <math>h(0) = 0</math> ist überall differenzierbar, aber die Ableitungsfunktion ist an der Stelle Null nicht stetig. Somit gehört die Funktion nicht zur Klasse <math>C^1(\R)</math>, sondern nur zur Klasse <math>C^0(\R)</math>.

== Genügend glatt ==
Im Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit wird manchmal davon gesprochen, dass eine Funktion ''genügend glatt'' sei. Dies bedeutet, dass im jeweiligen Kontext genügend oft differenzierbar ist, man sich also gewissermaßen keine zusätzlichen Gedanken um die Differenzierbarkeit machen muss.<ref>{{Literatur |Autor=Dirk Langemann, Cordula Reisch |Titel=So einfach ist Mathematik – Partielle Differenzialgleichungen für Anwender |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage=1 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2018-12-10 |ISBN=978-3662575017 |Seiten=101}}</ref> Der Begriff leitet sich aus der Bezeichnung [[glatte Funktion]] für eine beliebig oft differenzierbare Funktion ab.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Differentiationsklasse - Versionsgeschichte

2A02:8388:8A81:D480:F537:8A4C:6F36:F64F: /* Genügend glatt */