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2026-03-16T19:38:51Z

Globale Analysis

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Die '''Differentialgeometrie''' stellt als [[Teilgebiet der Mathematik]] die Synthese von [[Analysis]] und [[Geometrie]] dar.

== Historische Entwicklung und aktuelle Anwendungsgebiete ==

Etliche grundlegende Arbeiten zur Differentialgeometrie stammen von [[Carl Friedrich Gauß]]. In dieser Zeit war die Mathematik noch stark mit verschiedenen Anwendungsgebieten verknüpft. Wichtige Ergebnisse lieferte diese Theorie dabei auf den Gebieten der [[Kartografie]], [[Navigation]] und [[Geodäsie]]. Es entwickelte sich unter anderem die [[Kartenprojektion]]slehre, aus der die Begriffe [[geodätische Linie]] und [[gaußsche Krümmung]] stammen. Zudem stellte sich Gauß bereits die Frage, ob die durch [[Peilung]] gemessene [[Winkelsumme]] eines sehr großen Dreiecks tatsächlich exakt 180 Grad beträgt, und erweist sich damit als Wegbereiter der modernen Differentialgeometrie.

Die moderne Differentialgeometrie findet vor allem in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und in der [[Satellitennavigation]] ihre Anwendung. Sie ermöglicht die Beschreibung von Phänomenen wie astronomische [[Gravitationslinseneffekt|Lichtablenkung]] oder [[Periheldrehung]] des [[Merkur (Planet)|Merkur]], die durch [[Experiment]]e bzw. [[Beobachtende Astronomie|Beobachtung]] bestätigt werden können. Koordinatentransformationen entsprechen in der [[Relativitätstheorie]] dem Wechsel von [[Bezugssystem]]en, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht damit unterschiedlichen Bewegungszuständen der Messapparatur bzw. des Beobachters.

Ein anderes wichtiges Anwendungsgebiet liegt in den [[Materialwissenschaft und Werkstofftechnik|Materialwissenschaften]] in der [[Theorie der Defekte]] und der [[Plastische Verformung|Plastizität]].

Die Synthese der Differentialgeometrie und der [[Stochastische Analysis|stochastischen Analysis]] ist ein modernes Gebiet und wird [[stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten|stochastische Differentialgeometrie]] genannt.

== Teilgebiete ==
=== Elementare Differentialgeometrie ===

Die ersten Arbeiten zur Differentialgeometrie beschäftigen sich sowohl mit [[Raumkurve|Kurven]] als auch mit zweidimensionalen gekrümmten [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] im dreidimensionalen reellen Anschauungsraum. Geschichtlich gesehen wurde es mit Gauß’ Arbeiten erstmals möglich, die [[Krümmung]] beispielsweise der zweidimensionalen Oberfläche einer Kugel auch quantitativ zu erfassen.

Eine weitere Motivation zur Entwicklung der elementaren Differentialgeometrie kam von dem mathematischen Problem der [[Minimalfläche]]n her. Die in der Natur vorkommenden [[Seifenhaut|Seifenhäute]] lassen sich als Minimalflächen beschreiben. Die Form bzw. mathematische Darstellung dieser Flächen lässt sich dabei mit den Methoden aus der [[Variationsrechnung]] entwickeln. Die geometrischen Eigenschaften dieser Flächen wie Krümmung oder [[Abstand|Abstände]] zwischen beliebigen Punkten auf einer Minimalfläche werden dagegen eher mit den Methoden der Differentialgeometrie berechnet.

=== Differentialtopologie ===
{{Hauptartikel|Differentialtopologie}}

Die Differentialtopologie ist Grundlage für die meisten modernen Teilgebiete der Differentialgeometrie. Im Gegensatz zur elementaren Differentialgeometrie werden in der Differentialtopologie die geometrischen Objekte ''intrinsisch'' beschrieben, das heißt die Definition der Objekte erfolgt ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Der zentrale Begriff ist der der [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]]: Eine <math>n</math>-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt (genauer: ein [[topologischer Raum]]), der lokal so aussieht wie der <math>n</math>-dimensionale reelle Raum. Das klassische Beispiel, das auch die Terminologie motiviert, ist die Erdoberfläche. In kleinen Ausschnitten lässt sie sich durch ''Karten'' beschreiben, das heißt kleine Teile „sehen aus wie“ die Ebene. Jedoch lässt sich die gesamte Erdoberfläche nicht mit der Ebene identifizieren. Außerdem tragen differenzierbare Mannigfaltigkeiten eine Struktur, die es erlaubt, von differenzierbaren Funktionen zu sprechen. Diese [[differenzierbare Struktur]] ermöglicht es, in den Karten lokal analytische Methoden anzuwenden. Außerdem kann man die Mannigfaltigkeit global als topologischen Raum untersuchen. So versucht die Differentialtopologie Verbindungen zwischen den lokalen analytischen und den globalen topologischen Eigenschaften herzustellen. Ein Beispiel für einen solchen Zusammenhang ist der [[Satz von de Rham]].

=== Riemannsche Geometrie ===
{{Hauptartikel|Riemannsche Geometrie}}

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es keine vordefinierte Längenmessung. Ist sie als zusätzliche Struktur gegeben, spricht man von [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeiten]]. Diese Mannigfaltigkeiten sind Gegenstand der riemannschen Geometrie, die auch die zugehörigen Begriffe der [[Krümmung]], der [[Kovariante Ableitung|kovarianten Ableitung]] und des [[Paralleltransport]]s auf diesen Mengen untersucht. Diese Begriffe können aber auch bei „nichtriemannschen“ oder „nicht-pseudoriemannschen“ Räumen definiert werden und setzen nur den allgemeinen differentialgeometrischen Begriff des [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhanges]] voraus (präziser: allgemeine affine Differentialgeometrie im Gegensatz zu metrischer Differentialgeometrie, siehe unten.)

=== Semi-riemannsche Differentialgeometrie ===
Wenn anstelle der positiv-definiten Metrik einer riemannschen Mannigfaltigkeit eine nichtdefinite Metrik vorausgesetzt wird (gegeben durch eine nichtdefinite hermitesche bzw. symmetrisch-nichtdefinite [[Entartete Bilinearform|nicht-entartete Bilinearform]]), erhält man eine [[Semi-riemannsche Mannigfaltigkeit|semi- oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit]]. Ein Spezialfall sind die [[Lorentzsche Mannigfaltigkeit|lorentzschen Mannigfaltigkeiten]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]].

=== Finslersche Geometrie ===
Gegenstand der finslerschen Geometrie sind die [[Finsler-Mannigfaltigkeit|finslerschen Mannigfaltigkeiten]], das heißt Mannigfaltigkeiten, deren Tangentialraum mit einer Banachnorm ausgestattet ist, also einer Abbildung <math>F \colon TM\to[0,\infty)</math> mit folgenden Eigenschaften:
# <math>F(rX)=|r|F(X)\,</math>, für <math>X \in TM</math> und <math>r \in \R</math>,
# <math>F(X+Y) \le F(X) + F(Y), </math>
# <math>F</math> ist glatt auf <math>TM \setminus 0</math>,
# die vertikale [[Hesse-Matrix]] ist [[positiv definit]].

Finslersche Mannigfaltigkeiten spielen auch in der theoretischen Physik als allgemeinere Kandidaten für die strukturelle Beschreibung der Raumzeit eine Rolle.

=== Symplektische Geometrie ===
{{Hauptartikel|Symplektische Geometrie}}

Statt einer symmetrischen nichtentarteten Bilinearform wird eine antisymmetrische nichtentartete Bilinearform ''ω'' gegeben. Wenn diese zusätzlich noch geschlossen ist, also d''ω''=0, spricht man von einer symplektischen Mannigfaltigkeit. Weil ein symplektischer Vektorraum notwendigerweise gerade Dimension hat, haben auch symplektische Mannigfaltigkeiten gerade Dimension. Die erste wichtige Erkenntnis ist der [[Symplektische Mannigfaltigkeit#Satz von Darboux|Satz von Darboux]], nach dem symplektische Mannigfaltigkeiten lokal isomorph zu T<sup>*</sup>R<sup>n</sup> sind. Damit gibt es im Gegensatz zu semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten keine (nichttrivialen) lokalen symplektischen Invarianten (außer der Dimension), sondern nur globale symplektische Invarianten. Als Verallgemeinerung zählen auch die [[Poisson-Mannigfaltigkeit]]en, die keine Bilinearform, sondern nur einen antisymmetrischen [[Bivektor]] haben. Dieser induziert eine [[Lie-Klammer]] zwischen den Funktionen. Symplektische Geometrie findet Anwendung in der [[Hamiltonsche Mechanik|hamiltonschen Mechanik]], einem Teilgebiet der [[Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]].

=== Kontaktgeometrie ===
{{Hauptartikel|Kontaktgeometrie}}

Das Analogon zur symplektischen Geometrie für ungeraddimensionale Mannigfaltigkeiten ist Kontaktgeometrie. Eine Kontaktstruktur auf einer <math>(2n+1)</math>-dimensionalen Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist eine Familie <math>H</math> von Hyperebenen des Tangentialbündels, die maximal nicht-integrabel sind. Lokal können diese Hyperebenen als Kern einer 1-Form <math>\alpha</math> dargestellt werden, d. h.
: <math>H_p=\ker \alpha_p \subset T_pM</math>.
Umgekehrt ist eine Kontaktform lokal eindeutig bestimmt durch die Familie <math>H</math>, bis auf einen nichtverschwindenden Faktor. Die Nichtintegrabilität bedeutet, dass dα beschränkt auf die Hyperebene nicht-entartet ist. Wenn die Familie <math>H</math> global durch eine {{nowrap|1=1-Form}} <math>\alpha</math> beschrieben werden kann, dann ist <math>\alpha</math> Kontaktform genau dann, wenn
: <math>\alpha\wedge (d\alpha)^n</math> eine Volumenform auf <math>M</math> ist.

Es gilt ein Theorem analog zum Darboux-Theorem für symplektische Mannigfaltigkeiten, nämlich, dass alle Kontaktmannigfaltigkeiten der Dimension <math>2n+1</math> lokal isomorph sind. Damit gibt es auch in der Kontaktgeometrie nur globale Invarianten.

=== Komplexe Geometrie und Kählergeometrie ===
{{Hauptartikel|Komplexe Geometrie}}

Komplexe Geometrie ist das Studium komplexer Mannigfaltigkeiten, das heißt Mannigfaltigkeiten, die lokal wie <math>\Complex^n</math> aussehen und deren Übergangsfunktionen komplex-differenzierbar (holomorph) sind. Wegen der analytischen Eigenschaften komplex-differenzierbarer Funktionen hat man hier häufig Eindeutigkeitseigenschaften der Fortsetzung lokaler Funktionen / Vektorfelder. Deshalb ist man bei globalen Untersuchungen meist auf die Theorie der [[Garbe (Mathematik)|Garben]] angewiesen. Eine [[fast-komplexe Struktur]] auf einer glatten Mannigfaltigkeit ist eine Abbildung <math>J\colon TM\to TM</math>, sodass <math>J^2=-1</math>. Damit sind alle fast-komplexen Mannigfaltigkeiten von gerader Dimension. Der Unterschied zwischen einer fast-komplexen und einer komplexen Mannigfaltigkeit ist die Integrabilität der fast-komplexen Struktur. Diese wird vom [[Nijenhuis-Tensor]] <math>N_J</math> gemessen.

Eine hermitesche Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer [[Hermitesche Form|hermiteschen Metrik]] <math>g</math> auf dem komplexifizierten reellen Tangentialbündel. Insbesondere muss <math>g</math> mit der komplexen Struktur <math>J</math> kompatibel sein, namentlich
: <math>g(X,Y)=g(JX,JY)</math> für alle <math>X,Y \in T_xM</math>.

Als besonders strukturreich haben sich Hermitesche Mannigfaltigkeiten erwiesen, deren hermitesche Metrik zusätzlich kompatibel mit einer symplektischen Form sind, d. h.
: <math>g(JX,Y)=\omega(X,Y)</math> mit <math>d\omega=0</math>.
In diesem Fall spricht man von einer [[Kählermannigfaltigkeit]].

Schließlich befasst sich die [[Cauchy-Riemann-Geometrie]] mit [[Mannigfaltigkeit mit Rand|berandeten]] komplexen Mannigfaltigkeiten.

=== Theorie der Lie-Gruppen ===
So wie [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] auf [[Menge (Mathematik)|Mengen]] basieren, sind Mannigfaltigkeiten die Grundlage der [[Lie-Gruppe]]n. Die nach [[Sophus Lie]] benannten Lie-Gruppen treten an vielen Stellen der Mathematik und Physik als kontinuierliche Symmetriegruppen, beispielsweise als Gruppen von Drehungen des Raumes auf. Das Studium des Transformationsverhaltens von Funktionen unter Symmetrien führt zur [[Darstellung (Lie-Gruppe)|Darstellungstheorie]] der Lie-Gruppen.

=== Globale Analysis ===
{{Hauptartikel|Globale Analysis}}

Die globale Analysis ist ebenfalls ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das mit der Topologie eng verbunden ist. Manchmal nennt man das Teilgebiet auch Analysis auf Mannigfaltigkeiten. In diesem mathematischen Forschungsgebiet werden [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche]] und [[partielle Differentialgleichung]]en auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten untersucht. So finden in dieser Theorie lokale Methoden aus der [[Funktionalanalysis]], der [[Mikrolokale Analysis|mikrolokalen Analysis]] und der Theorie der partiellen Differentialgleichung und globale Methoden aus der Geometrie und [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] Anwendung. Da dieses mathematische Teilgebiet im Vergleich zu den anderen Teilgebieten der Differentialgeometrie sehr viele Methoden der Analysis verwendet, wird es teilweise auch als Teilgebiet der Analysis verstanden.

Schon die ersten Arbeiten über Differentialgleichungen enthielten Aspekte der globalen Analysis. So sind die Studien von [[George David Birkhoff]] im Bereich der [[Dynamisches System|dynamischen Systeme]] und die Theorie der [[Geodäte]]n von [[Harold Calvin Marston Morse]] frühe Beispiele für Methoden der globalen Analysis. Zentrale Resultate dieses mathematischen Teilgebiets sind die Arbeiten von [[Michael Francis Atiyah]], [[Isadore M. Singer]] und [[Raoul Bott]].<ref>[[Michael Francis Atiyah|Michael F. Atiyah]], [[Raoul Bott]]: ''A Lefschetz fixed point formula for elliptic differential operators.'' In: ''[[Bulletin of the American Mathematical Society]].'' Band 72, Nr. 2, 1966, S. 245–250, {{doi|10.1090/S0002-9904-1966-11483-0}}.</ref><ref>[[Richard Palais|Richard S. Palais]]: ''Seminar on the Atiyah-Singer index theorem'' (= ''Annals of Mathematics Studies.'' 57, {{ISSN|0066-2313}}). Princeton University Press, Princeton NJ 1965.</ref> Besonders zu erwähnen sind hier der [[Atiyah-Singer-Indexsatz]] und der [[Atiyah-Bott-Fixpunktsatz]], welcher eine Verallgemeinerung des [[Fixpunktsatz von Lefschetz|Lefschetz’schen Fixpunktsatzes]] aus der Topologie ist.<ref>[[Stephen Smale]]: ''What is Global Analysis?'' In: ''[[The American Mathematical Monthly]].'' Band 76, Nr. 1, 1969, S. 4–9, {{JSTOR|2316777}}.</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/58-XX.html |titel=58: Global analysis, analysis on manifolds |werk=The mathematic atlas |archiv-url=https://web.archive.org/web/20110504013239/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/58-XX.html |archiv-datum=2011-05-04 |zugriff=2018-09-04 |sprache=en}}</ref>

== Methoden ==
=== Koordinatentransformationen ===

[[Koordinatentransformation]]en sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie, um die Anpassung einer Problemstellung an geometrische Objekte zu ermöglichen. Sollen beispielsweise Abstände auf einer [[Kugeloberfläche]] untersucht werden, so werden meist [[Kugelkoordinaten]] verwendet. Betrachtet man [[euklid]]ische Abstände im Raum, so verwendet man dagegen eher kartesische Koordinaten. Mathematisch gesehen ist zu beachten, dass Koordinatentransformationen stets [[bijektiv]]e, beliebig oft stetig differenzierbare Abbildungen sind. Es existiert also immer auch die Inverse zu der betrachteten Koordinatentransformation.

Ein einfaches Beispiel ist der Übergang von kartesischen Koordinaten in der Ebene zu [[Polarkoordinaten]]. Jeder Ortsvektor des zweidimensionalen euklidischen Raumes lässt sich bei dieser Darstellung durch die Koordinaten <math>r \in [0, \infty[ </math> und <math>\phi \in [0, 2\pi [</math> in der folgenden Weise ausdrücken

: <math>
\vec {\mathbf r} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{f}(r,\phi) = \begin{pmatrix} r\,\cos \phi \\ r\,\sin \phi \end{pmatrix}</math>

<math>x</math> und <math>y</math> werden dabei auch als Komponentenfunktionen von <math>f</math> bezeichnet. Sie berechnen sich in Abhängigkeit von den zwei Koordinaten <math>(r,\phi)</math> gemäß:

: <math>x(r,\phi) = r\,\cos \phi\,,\,\,\,\, y(r,\phi) = r\,\sin \phi\,\,.</math>

Werden nun ganz allgemein alle Koordinaten des neuen Koordinatensystems bis auf eine Koordinate konstant gehalten und die einzelne Koordinate innerhalb des Definitionsbereiches verändert, entstehen im euklidischen Raum Linien, die auch als ''Koordinatenlinien'' bezeichnet werden. Im Falle der angegebenen Polarkoordinaten entstehen so bei konstanter <math>r</math> Koordinate konzentrische Kreise mit Radius <math>r</math> um den Koordinatenursprung <math>(x,y) = (0,0)</math> des euklidischen Koordinatensystems. Bei konstanter <math>\phi</math> Koordinate entstehen Halbgeraden, die im Koordinatenursprung des euklidischen Koordinatensystems starten und nach <math>r \rightarrow \infty</math> laufen. Mit Hilfe dieser Koordinatenlinien lässt sich in naheliegender Weise für jeden Punkt <math>P \in \mathbb{R}^2</math> des euklidischen Raumes ein neues, räumlich gedrehtes und wieder rechtwinkliges Koordinatensystem definieren. Man spricht daher bei Polarkoordinaten auch von rechtwinkligen Koordinaten. Die Achsen des gedrehten Koordinatensystems sind dabei gerade die Tangenten an die Koordinatenlinien, die durch den Punkt <math>P</math> laufen. Die Basisvektoren dieser ortsabhängigen und rechtwinkligen Koordinatensysteme lassen sich dabei direkt über die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] des Ortsvektors, gemäß der oben angegebenen Darstellung, nach den variablen Koordinaten <math>(r,\phi)</math> berechnen. Über die partiellen Ableitungen lassen sich auch die totalen Differentiale des Ortsvektors angeben:

: <math>\mathrm{d}x=\frac{\partial x}{\partial r}\mathrm{d}r +\frac{\partial x}{\partial \phi}\mathrm{d}\phi = \cos \phi \,\mathrm{d}r - r\cdot\sin \phi \,\mathrm{d} \phi</math>
: <math>\mathrm{d}y=\frac{\partial y}{\partial r}\mathrm{d}r +\frac{\partial y}{\partial \phi}\mathrm{d}\phi = \sin \phi \,\mathrm{d}r + r\cdot\cos \phi \,\mathrm{d} \phi</math>

Die Differentiale <math>\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}r,\mathrm{d}\phi</math> werden auch als ''Koordinatendifferentiale'' bezeichnet. Bei diesem Beispiel haben die mit dem Differentialoperator „<math>\mathrm{d}</math>“ verknüpften infinitesimalen Größen nicht immer die Bedeutung eines Abstandes. Man zeigt vielmehr relativ leicht, dass für die Abstände in radialer bzw. azimutaler Richtung gilt, dass zwar   <math>\mathrm dl_r\,:=\mathrm dr</math> ist, aber <math>\mathrm dl_\phi :=r\cdot\mathrm d\phi</math>; d. h. erst mit dem Vorfaktor „<math> r</math>“ ergibt sich durch Integration über <math>\mathrm d\Phi</math> von 0 bis <math>2\pi</math> eine bekannte Größe der Dimension „Länge“, nämlich der Kreisumfang <math>r\cdot 2\pi</math>.

Die Polarkoordinaten oder ihre dreidimensionale Verallgemeinerung, die Kugelkoordinaten, werden auch als ''krummlinig'' bezeichnet, da sie die Abstandberechnung auf einer gekrümmten Fläche, z. B. der Kugeloberfläche, ermöglichen. Es handelt sich – wie auch bei anderen Standardbeispielen, etwa den [[Zylinderkoordinaten]], den [[Elliptische Koordinaten|elliptischen Koordinaten]] usw. – um ''orthogonale krummlinige Koordinaten'' (siehe auch: [[Krummlinige Koordinaten]]).

Ein wesentliches Hilfsmittel der klassischen Differentialgeometrie sind Koordinatentransformationen zwischen beliebigen Koordinaten, um geometrische Strukturen beschreiben zu können.

Die aus der Analysis bekannten, mit der Größe <math>\nabla</math> gebildeten [[Differentialoperator]]en können relativ leicht auf orthogonale krummlinige Differentialoperatoren erweitert werden. Z. B. gelten in allgemeinen orthogonalen krummlinigen Koordinaten bei Benutzung dreier Parameter <math>u_i,\,\, i=1, \dots, 3</math> und der zugehörigen Einheitsvektoren <math>\mathbf e_i</math> in Richtung von <math>\tfrac{\partial\mathbf r}{\partial u_i}</math> folgende Beziehungen mit Größen <math>a_i</math>, die nicht notwendig konstant sind, sondern von <math>u_1</math>, <math>u_2</math> und <math>u_3</math> abhängen können:

: <math>\begin{align}
\mathrm d\mathbf r &=\sum\limits_{i=1}^3{\rm d}l_i\mathbf e_i=\sum\limits_{i=1}^3\,a_i\,\mathrm du_i\,\mathbf e_i\\
{\rm d}V&=a_1\mathrm du_1\cdot a_2\mathrm du_2\cdot a_3\mathrm du_3\\
\nabla^2 f&=\frac{1}{a_1a_2a_3} \frac{\partial}{\partial u_1}\left(\frac{a_2a_3}{a_1}\frac{\partial f}{\partial u_1}\right)+ \cdots + \cdots
\end{align}</math>

Dabei entstehen die durch Punkte angedeuteten zwei weiteren Terme aus dem ersten Term durch [[Zyklische Permutation|zyklische Vertauschung]] der Indizes. <math>\nabla^2</math> bezeichnet den [[Laplace-Operator]]. Er kann aus dem skalarwertigen [[Divergenz eines Vektorfeldes|div-Operator]] und dem vektorwertigen [[Gradient (Mathematik)|grad-Operator]] zusammengesetzt werden gemäß

: <math>\nabla^2 f=\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)</math>

wobei

: <math>\begin{align}
\operatorname{div} \mathbf v\,&=\,\frac{1}{a_1a_2a_3}\frac{\partial (a_2a_3 v_1)}{\partial u_1}+ \cdots + \cdots\\
\operatorname{grad} f&=\sum\limits_{i=1}^3\,\frac{1}{a_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}\,\mathbf e_i
\end{align}</math>

Die Formel für die Divergenz beruht auf der koordinatenunabhängigen Darstellung

: <math>\operatorname{div} \mathbf v = \lim_{\Delta V\to 0}\,\Big\{\frac{1}{|\Delta V|}\,\iint\limits_{\partial (\Delta V)} \mathbf v\cdot \mathbf n{\rm d}^{(2)}A\Big\}\,\,,</math>

wobei über die geschlossene, <math>\Delta V</math> berandende Fläche integriert wird. <math>\mathbf n</math> bezeichnet den zugehörigen äußere Normalenvektor, <math>{\rm d}^{(2)}A</math> das zugehörige infinitesimale Flächenelement, <math>\Delta V \to {\rm d}V</math>.
Im allgemeinsten Fall – also für nicht-orthogonale, krummlinige Koordinaten – kann man diese Formel ebenfalls verwenden.

=== Kovariante Ableitung ===
{{Hauptartikel|Zusammenhang (Differentialgeometrie)}}

Allgemeine, auf nicht notwendig orthogonalen krummlinigen Koordinaten beruhende Ableitungsoperatoren sind z. B. die ''kovarianten Ableitungen'', die u. a. in [[Riemannscher Raum|riemannschen Räumen]] verwendet werden, wo sie in spezifischer Weise vom „inneren Produkt“, d. h. von der sog. „[[Erste Fundamentalform|metrischen Fundamentalform]]“ des Raumes, abhängen. In anderen Fällen sind sie aber unabhängig von der Existenz einer lokalen Metrik oder können sogar extern vorgegeben sein, z. B. in Mannigfaltigkeiten „mit Konnexion“.

Sie ermöglichen u. a. die Definition von Verbindungslinien in gekrümmten Räumen, z. B. die Definition von [[Geodäte]]n im riemannschen Raum. Geodätische Linien sind die lokal kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten in diesen Räumen. Die Längenkreise auf einer Kugel sind Beispiele für geodätische Linien, nicht aber die Breitenkreise (Ausnahme: Äquator).

Mit Hilfe allgemeiner Koordinatentransformationen werden im riemannschen Raum (und allgemeiner in Differentialgeometrien „mit gegebenem [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]]“) die [[Christoffelsymbole]] <math>\Gamma^\mu_{\alpha\beta}</math> definiert.
Diese gehen, entsprechend der unten gegebenen Basisdefinition, explizit in die Berechnung der [[Kovariante Ableitung|kovarianten Ableitung]] eines [[Vektorfeld]]es ein.

Die kovariante Ableitung ist eine Verallgemeinerung der [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitung]] des flachen (euklidischen) Raumes für gekrümmte Räume. Im Gegensatz zur partiellen Ableitung ''erhält'' sie die Tensoreigenschaft; im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] reduziert sie sich zur partiellen Ableitung. Im gekrümmten Raum sind die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes im Allgemeinen nicht miteinander vertauschbar, ihre Nichtvertauschbarkeit wird zur Definition des [[Riemannscher Krümmungstensor|Riemann’schen Krümmungstensors]] verwendet.

Ein weiterer wichtiger Begriff im Zusammenhang mit gekrümmten Räumen ist die [[Parallelverschiebung]]. Die kovariante Ableitung der Komponenten eines Vektors ist bei Parallelverschiebung null. Trotzdem kann die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer geschlossenen Kurve im gekrümmten Raum dazu führen, dass sich der verschobene Vektor nicht mit seinem Ausgangsvektor deckt.

Der zugehörige Formalismus beruht auf der Vorschrift, dass man Vektoren <math>\mathbf v</math> als Summe <math>v^\alpha \mathbf e_\alpha</math> schreibt, wobei sich u. U. (nämlich gerade bei obigem „Paralleltransport“) nicht die Komponenten <math>\,v^\alpha</math>, sondern nur die Basiselemente <math>\mathbf e_\alpha</math> ändern, und zwar nach der naheliegenden Regel: <math>d\mathbf e_\alpha=\Gamma_{\alpha \beta}^{\mu}dx^\beta\mathbf e_\mu</math>.  ''Kovariante''  und  ''partielle''  Ableitung, meist mit Semikolon bzw. Komma geschrieben, sind also verschieden, und zwar gilt:

: <math>v^\mu_{\,;\beta}\,dx^\beta =v^\mu_{\,,\beta}\,dx^\beta+\Gamma^\mu_{\alpha \beta}v^\alpha dx^\beta\,,</math>  also     <math>v^\mu_{\,;\beta} \,:=\,v^{\mu}_{\,,\beta}+\Gamma^\mu_{\alpha \beta}v^\alpha</math> oder auch <math>\nabla_{\,\beta} v^\mu \,:=\,\partial_{\,\beta} v^\mu +\Gamma^\mu_{\alpha \beta}v^\alpha\,.</math>

In Mannigfaltigkeiten mit Zusatzstruktur (z. B. in riemannschen Mannigfaltigkeiten oder bei den sog. [[Eichtheorie]]n) muss natürlich diese Struktur mit der Übertragung verträglich sein. Das ergibt Zusatzbeziehungen für die Christoffelsymbole. Z. B. dürfen sich bei riemannschen Räumen die Abstands- und Winkelverhältnisse zweier Vektoren bei Parallelverschiebung nicht ändern, und die Christoffelsymbole berechnen sich demzufolge in bestimmter Weise allein aus der metrischen Struktur.

=== Krümmungstensor ===
Die oben erwähnte Raumkrümmung ergibt sich analog: Wenn man den Basisvektor <math>\mathbf e_\alpha</math> im mathematisch positivem Sinn (entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn) erst eine infinitesimale Strecke <math> {\rm d}x^\beta</math> in <math>\beta</math>-Richtung und anschließend eine infinitesimale Strecke <math> {\rm d}x^\gamma</math> in <math>\gamma</math>-Richtung verschiebt, erhält man ein Ergebnis, das wir in der Form <math>\tfrac{1}{2}\Delta^{(2)} K_\alpha</math> schreiben können. Bei Vertauschung der Reihenfolge, also bei entgegengesetztem Drehsinn, erhält man das entgegengesetzte Ergebnis. Die Differenz <math>\,\Delta^{(2)} K_\alpha</math> lässt sich also mit einer Größe <math>R^\lambda_{\;\; \alpha \beta \gamma}</math>, die sich aus den Christoffelsymbolen ergibt, in folgender Form schreiben:

: <math>\begin{align}
\Delta^{(2)} K_\alpha &= R^\lambda_{\;\;\alpha \beta \gamma}{\rm d}x^\beta \,{\rm d}x^{\gamma \,}\mathbf e_\lambda\\
&\equiv\,(\Gamma^\mu_{\alpha \beta}\,\Gamma^\lambda_{\mu \gamma}-\Gamma^\mu_{\alpha\gamma}\Gamma^\lambda_{\mu\beta}+\partial_\gamma\Gamma^\lambda_{\alpha\beta}-\partial_\beta\Gamma^\lambda_{\gamma \alpha}\,)\,{\rm d}x^\beta \,{\rm d}x^{\gamma\,}\,\mathbf e_\lambda
\end{align}</math>

Bei Parallelverschiebung des Vektors <math>\mathbf v</math> ergibt sich entsprechend: <math>v^\lambda\to v^\lambda \,\pm \tfrac{1}{2}\,R^\lambda _{\;\; \alpha \beta \gamma}\,v^\alpha \,{\rm d}x^\beta \,{\rm d}x^\gamma \,.</math>    Die Komponenten <math>R^\lambda _{\;\; \alpha \beta \gamma}</math> bilden den [[Krümmungstensor]], eine vektorwertige Differentialform. (In den sog. [[Yang-Mills-Theorie]]n wird dieser Begriff verallgemeinert, indem z. B. „vektorwertig“ durch Lie-Algebra-wertig ersetzt wird; siehe auch [[Chernklassen]].)

Die Existenz des Krümmungtensors setzt also insbesondere nicht voraus, dass man es wie in der Physik mit metrischen oder pseudometrischen Räumen zu tun hat (siehe oben), sondern es wird für die Struktur der Übertragung nur die [[Affinität (Mathematik)|Affinität]] vorausgesetzt.

== Literatur ==
=== Elementare Differentialgeometrie ===
* [[Wilhelm Blaschke|W. Blaschke]], [[Kurt Leichtweiß|K. Leichtweiß]]: ''Elementare Differentialgeometrie.'' (= ''Vorlesungen über Differentialgeometrie.'' 1 = ''Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen.'' 1). 5., vollständig neubearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-05889-3.
* Manfredo P. do Carmo: ''Differentialgeometrie von Kurven und Flächen'' (= ''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik.'' 55). Vieweg & Sohn, Braunschweig u. a. 1983, ISBN 3-528-07255-5.
* [[Christian Bär (Mathematiker)|Christian Bär]]: ''Elementare Differentialgeometrie.'' de Gruyter, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-11-015519-2.
* [[Wolfgang Kühnel (Mathematiker)|Wolfgang Kühnel]]: ''Differentialgeometrie, Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten.'' 4., überarbeitete Auflage. Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0411-2.

=== Abstrakte Mannigfaltigkeiten, Riemannsche Geometrie ===
* Rolf Walter: ''Differentialgeometrie.'' 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03216-2.
* [[Sigurdur Helgason]]: ''Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces'' (= ''Graduate Studies in Mathematics.'' 34). American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2848-7.
* [[Shōshichi Kobayashi|S. Kobayashi]], Katsumi Nomizu: ''Foundations of Differential Geometry.'' Band 1 (= ''Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics.'' 15, 1). Interscience Publishers, New York NY u. a. 1963.
* Pham Mau Quan: ''Introduction à la géométrie des variétés différentiables'' (= ''Monographies universitaires de mathématiques.'' 29). Dunod, Paris 1969 ([http://www.gbv.de/dms/hebis-darmstadt/toc/100474217.pdf Inhalt] [PDF; 184 kB]).

=== Differentialgeometrie der Defekte ===
* [[Hagen Kleinert]]: ''Gauge Fields in Condensed Matter.'' Band 2: ''Stresses and Defects. Differential Geometry, Crystal Melting.'' World Scientific, Singapore u. a. 1989, ISBN 9971-5-0210-0, S. 743–1456, ([http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_reb1/contents2.html Online-Version]).

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)|Eine Einführung in die Differentialgeometrie}}
{{Wikibooks}}
* {{DNB-Portal|4012248-7|TEXT=Literatur über}}
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/geometry-19th/|Nineteenth Century Geometry|Roberto Torretti}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4012248-7|LCCN=|NDL=|VIAF=}}

[[Kategorie:Differentialgeometrie| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Differentialgeometrie - Versionsgeschichte

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