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2026-01-02T13:47:35Z

Link zum Abschnitt der stetigen Differenzierbarkeit, statt nur Differenzierbarkeit

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In der [[Mathematik]], insbesondere in den Gebieten [[Analysis]], [[Differentialgeometrie]] und [[Differentialtopologie]], ist ein '''Diffeomorphismus''' eine [[bijektiv]]e, [[stetig differenzierbar]]e [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]], deren [[Umkehrabbildung]] auch stetig differenzierbar ist.

Dabei können die Definitions- und Zielbereiche der Abbildung offene Mengen des endlichdimensionalen reellen Vektorraums <math>\R^n</math> sein oder allgemeiner differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
Je nach Differenzierbarkeitsklasse spricht man von <math>C^k</math>-Diffeomorphismen (<math>k \in \{1,2,\dots,\infty,\omega\}</math>).
[[Datei:Diffeomorphism of a square.svg|right|thumb|Bild eines rechtwinkligen Netzes auf einem Quadrat unter einem Diffeomorphismus vom Quadrat auf sich selbst.]]

== Definition ==
=== Im Vektorraum ===
Eine Abbildung <math>f \colon U \to V </math> zwischen [[Offene Menge|offenen Teilmengen]] <math>U, V</math> des reellen Vektorraums <math>\R^n</math> heißt ''Diffeomorphismus'', falls gilt:

* <math>f</math> ist [[bijektiv]],
* <math>f</math> ist überall [[stetig differenzierbar]],
* die [[Umkehrabbildung]] <math>f^{-1}</math> ist überall stetig differenzierbar.

Sind <math>f</math> und <math>f^{-1}</math> sogar <math>k</math>-mal stetig differenzierbar („von der Klasse <math>C^k</math>“, <math>k =1, 2, 3, \dotsc</math>), so nennt man <math>f</math> einen <math>C^k</math>-Diffeomorphismus.
Sind <math>f</math> und <math>f^{-1}</math> beliebig oft differenzierbar („von der Klasse <math>C^\infty</math>“), so bezeichnet man <math>f</math> als <math>C^\infty</math>-Diffeomorphismus. Sind <math>f</math> und <math>f^{-1}</math> beide [[Analytische Funktion|reell-analytisch]] („von der Klasse <math>C^\omega</math>“), so nennt man <math>f</math> einen <math>C^\omega</math>-Diffeomorphismus.

Eine Abbildung <math>f \colon U \to V </math> zwischen [[Offene Menge|offenen Teilmengen]] <math>U, V \subset \R^n</math> heißt ''lokaler Diffeomorphismus'', falls jeder Punkt <math>p \in U</math> eine offene [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>W \subset U</math> besitzt, so dass deren Bild <math>f(W)\subset V</math> offen und die [[Einschränkung (Mathematik)|Einschränkung]]
<math>f|_W \colon W \to f(W)</math> von <math>f</math> auf <math>W</math> ein Diffeomorphismus ist.

=== Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ===
Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird der Begriff analog definiert:

Eine Abbildung <math>f \colon M \to N</math> zwischen zwei [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]] <math>M</math> und <math>N</math> heißt ''Diffeomorphismus'', falls sie bijektiv ist und sowohl <math>f</math> als auch die Umkehrabbildung stetig [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] sind.
Wie oben werden die Begriffe <math>C^k</math>-, <math>C^\infty</math>- und <math>C^\omega</math>-Diffeomorphismus und lokaler Diffeomorphismus definiert.

Zwei Mannigfaltigkeiten <math>M</math> und <math>N</math> heißen ''diffeomorph'', falls es einen Diffeomorphismus <math>f</math> von <math>M</math> nach <math>N</math> gibt. Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph sind, unterscheiden sich bezüglich ihrer [[Differenzierbare Struktur|differenzierbaren Struktur]] nicht.

Damit ist die ''Diffeomorphie'' gerade die Isomorphie in der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

== Eigenschaften ==
* Ein Diffeomorphismus ist immer auch ein [[Homöomorphismus]], die Umkehrung gilt aber nicht.

* Aus der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung folgt, dass in jedem Punkt <math>p</math> die Ableitung von <math>f</math> (als [[lineare Abbildung]] von <math>\R^n</math> nach <math>\R^n</math> bzw. vom [[Tangentialraum]] <math>T_p M</math> nach <math>T_{f(p)}N</math>) invertierbar (bijektiv, regulär, von maximalem Rang) ist.

* Ist umgekehrt die Abbildung <math>f</math> bijektiv und (<math>k</math>-mal) stetig differenzierbar und ist ihre Ableitung an jeder Stelle invertierbar, so ist <math>f</math> ein (<math>C^k</math>)-Diffeomorphismus.

Eine stärkere Aussage enthält der Satz über die Umkehrabbildung:

=== Satz über die Umkehrabbildung ===
Eine differenzierbare Abbildung mit invertierbarem [[Differential (Mathematik)|Differential]] ist lokal ein Diffeomorphismus.
Genauer formuliert:

Sei <math>f \colon U \to V</math> stetig differenzierbar und die Ableitung von <math>f</math> sei an der Stelle <math>p \in U</math> invertierbar. Dann existiert eine offene Umgebung <math>W</math> von <math>p</math> in <math>U</math>, so dass <math>f(W)</math> offen und die Einschränkung
<math>f|_W \colon W \to f(W)</math> ein Diffeomorphismus ist.

Diese Aussage gilt sowohl für Abbildungen zwischen offenen Mengen des <math>\R^n</math> als auch für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.

== Beispiele ==
* Die Abbildung <math>f\colon (-1,1) \to \R</math>, wobei <math>f(t) = \tan\left(t \cdot \pi /2\right)</math>, ist ein Diffeomorphismus zwischen der offenen Menge <math>(-1,1)</math> und der Menge der reellen Zahlen <math>\R</math>. Damit ist das offene Intervall <math>(-1,1)</math> diffeomorph zu <math>\R</math>.
* Die Abbildung <math>f \colon \R \to \R</math>, <math>f(x) = x^3</math>, ist bijektiv und differenzierbar. Sie ist aber kein Diffeomorphismus, denn <math>f^{ -1}</math> ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

== Diffeomorphie und Homöomorphie ==
Bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten in Dimension kleiner 4 impliziert Homöomorphie immer Diffeomorphie: Zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner oder gleich 3, die homöomorph sind, sind auch diffeomorph. D. h., wenn es einen Homöomorphismus gibt, dann gibt es auch einen Diffeomorphismus. Dies bedeutet nicht, dass jeder Homöomorphismus ein Diffeomorphismus wäre.

In höheren Dimensionen ist dies nicht unbedingt der Fall.
Ein prominentes Beispiel sind die [[Milnor-Sphäre|Milnor-Sphären]], nach [[John Willard Milnor]]: Sie sind homöomorph zur normalen 7-dimensionalen [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]], aber nicht diffeomorph. Für diese Entdeckung erhielt Milnor 1962 die [[Fields-Medaille]].

== Literatur ==
* [[Klaus Jänich]]: ''Vektoranalysis.'' 5. Auflage. Springer Verlag, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-23741-0 (''Springer-Lehrbuch'').
* D. K. Arrowsmith, C. M. Place: ''An Introduction to Dynamical Systems.'' Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1990, ISBN 0-521-30362-1.

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Diffeomorphismus - Versionsgeschichte

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