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2023-04-29T18:45:28Z

DF-Test

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Als '''Dickey-Fuller-Tests''' bezeichnet man in der [[Statistik]] die im Jahr 1979<ref>[[Peter Hackl]]: ''Einführung in die Ökonometrie.'' 2. aktualisierte Auflage, Pearson Deutschland GmbH, 2008., ISBN 978-3-86894-156-2, S. 257.</ref> von D. Dickey und W. Fuller entwickelte Testklasse der [[Einheitswurzeltest]]s, die die [[Nullhypothese]] eines [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozesses]] mit [[Einheitswurzel (Zeitreihenanalyse)|Einheitswurzel]] gegen die Alternative eines Prozesses ohne Einheitswurzel testen. Solche Tests dienen dazu festzustellen, ob ein [[integrierter Prozess]] vorliegt.

== Idee und Durchführung ==
Für einen [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozess]] <math>X</math> der Form

:<math>X_t=\alpha_0+ \varphi X_{t-1} + \varepsilon_t </math>

mit einem [[Weißes Rauschen (Physik)|weißen Rauschen]] <math>\varepsilon</math> soll die [[Nullhypothese]]

:<math>H_0:\ \varphi=1 </math> (Random-Walk mit Drift)

gegen die Alternative

:<math>H_1:\ \varphi<1 </math> (AR(1)-Prozess)

getestet werden. Setzt man nun <math>\delta:=\varphi-1</math>, kann man schreiben:

:<math>\Delta X_t = X_t-X_{t-1}=\alpha_0+(\varphi-1)X_{t-1}+\varepsilon_t=\alpha_0+\delta X_{t-1}+\varepsilon_t.</math>

Null- und Alternativhypothese lauten jetzt:

:<math>H_0:\ \delta=0, \quad H_1:\ \delta<0.</math>

Man regressiert nun <math>\Delta X_t</math> durch <math>X_{t-1}</math> und die Konstante <math>\alpha_0</math>. Je nach Schätzverfahren ([[Methode der kleinsten Quadrate]], [[Maximum-Likelihood-Schätzung]]) erhält man dann Schätzwerte <math>\hat{\alpha}_0, \hat{\delta}</math>. Anschließend bildet man eine Teststatistik

:<math>\tau:=\dfrac{\hat{\delta}}{\sqrt{\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\delta})}},</math>

die allerdings keiner <math>t</math>-Verteilung, sondern einer von Dickey und Fuller tabellierten Verteilung folgt. Da der Test linksseitig ist, wird die Nullhypothese verworfen, wenn der Wert der Teststatistik kleiner ist als der dem gewählten Signifikanzniveau entsprechende Schwellenwert.

== Anwendungsgebiet ==
Bei der [[Kointegration]]sanalyse von Zeitreihen, beispielsweise der des [[BIP]], der [[Inflation]], von [[Zinsen]] etc., wird geprüft, ob [[Stationärer stochastischer Prozess|stationäre]] Differenzen einem gemeinsamen [[Stochastik|stochastischen]] Trend folgen, also ein echter Zusammenhang besteht. Da durch [[Regressionsanalyse|Regression]] der Zeitreihen, die höher als vom Grade 0 integriert sind, die Möglichkeit besteht, dass die [[Regressionsanalyse]] ein hohes [[Bestimmtheitsmaß]] und [[Statistische Signifikanz|Signifikanz]] der [[Regressor]]en ergibt, obwohl außer dem gleichzeitigen Auftreten im Zeitpunkt ''t'' kein Zusammenhang zwischen diesen Zeitreihen besteht, läuft man Gefahr, Scheinkorrelationen als wahre Zusammenhänge aufzufassen. Der ADF/DF-Test prüft nun, ob die Differenz einer Variable stationär ist oder nicht. Eine Zeitreihe ist stationär, wenn sie einen konstanten [[Erwartungswert]] und eine nicht vom Zeitpunkt t abhängige [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] besitzt, sie wird auch integriert der Ordnung null genannt. Falls eine Zeitreihe instationär ist, stellt sich die Frage, welcher Ordnung [[Instationarität]] vorliegt. Ist ihre erste Differenz stationär, hat sie die Eigenschaft der [[Stochastische Integration|Integration]] erster Ordnung. Es ist also eine Einheitswurzel vorhanden. Falls die erste Differenz nicht stationär ist, testet man die zweiten Differenzen mit analoger Folgerung.

Der ADF-Test kann im Rahmen des statischen Tests auf Kointegration nach Engle und Granger auch auf Existenz eines gemeinsamen stochastischen Trends testen. Dieser ist der langfristige Wachstumspfad der Reihen. Langfristig können sich die Variablen nicht unabhängig voneinander bewegen. Wird eine Variable beispielsweise durch einen externen Schock verändert, so passen sich die anderen im Zeitablauf an, um das System wieder in ein Gleichgewicht zu bringen. Hierfür wird der ADF-Test auf die [[Störgröße und Residuum|Residuen]] einer Regression der Zeitreihen angewandt. Er prüft also, ob die Residuen stationär sind.

== DF-Test ==
Der Dickey-Fuller-Test testet die Gleichung des DF-Tests im Fall ohne deterministischen Trend und ohne Konstante durch
:<math>\Delta y_t=(\rho-1)y_{t-1}+u_t=\delta y_{t-1}+u_t.</math>

Es gibt drei Fälle:
# Test auf [[Random Walk]]: <math>\Delta y_t=\delta y_{t-1}+u_t</math>
# Test auf Random Walk mit Drift <math>\Delta y_t=a_0+\delta y_{t-1}+u_t</math>
# Test auf Random Walk mit Drift und deterministischem Trend <math>\Delta y_t=a_0+a_1t+\delta y_{t-1}+u_t</math>

Das Hypothesenpaar lautet:
:<math>H_0: \, \rho = 1</math>, d. h., der AR-Teil besitzt eine Einheitswurzel
:<math>H_1: \, -1 < \rho < 1</math>

== ADF-Test ==
Der erweiterte Dickey-Fuller-Test ({{enS}} ''augmented Dickey-Fuller test'', oder ''ADF-Test'') verallgemeinert die Testgleichung des DF-Tests im Fall mit deterministischem Trend durch
:<math>\Delta y_t = \alpha + \beta t + (\rho-1)y_{t-1} + \theta_1 \Delta y_{t-1} + ... + \theta_k \Delta y_{t-k} + u_t </math>,
mit k, so dass die empirischen Residuen [[Weißes Rauschen (Physik)|weiß rauschen]].

Das Hypothesenpaar lautet:
:<math>H_0: \, \rho = 1</math>, d. h., der AR-Teil besitzt eine Einheitswurzel, und die Variable ist somit nicht stationär
:<math>H_1: \, -1 < \rho < 1 </math> Es gibt keine stochastische Instationarität, möglicherweise aber deterministische, dann spricht man von einer trendstationären Zeitreihe.

== Probleme ==
Ist der datenerzeugende Prozess trendstationär, aber man führt falscherweise den Einheitswurzeltest mit dem Modell ohne Trendvariable durch, haben die Tests eine asymptotisch gegen null gehende [[Trennschärfe eines Tests|Macht]], denn die Nullhypothese des Random Walks wird dann fälschlicherweise zu selten oder nie abgelehnt.

== Alternative Ansätze ==
* [[Phillips-Perron-Test]] (1988)
* [[KPSS-Test]] (1992) – Nullhypothese: Stationarität
* [[HEGY-Test]] (1990)
* [[ADF-GLS-Verfahren]] (1996)

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* G. Elliott, T. J. Rothenberg & J. H. Stock: ''Efficient Tests for an Autoregressive Unit Root'', Econometrica, 1996, Vol. 64, No. 4., S. 813–836. {{DOI|10.3386/t0130}} {{JSTOR|2171846}}
* W. H. Greene: ''Econometric Analysis, Fifth Edition'', 2003, Prentice Hall, New Jersey.
* Said E. und David A. Dickey: ''Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving Average Models of Unknown Order'', [[Biometrika]], 1984, 71, S. 599–607. {{DOI|10.1093/biomet/71.3.599}} {{JSTOR|2336570}}
* Dickey, D.A. und W.A. Fuller: ''Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root'', Journal of the American Statistical Association, 1979, 74, S. 427–431. {{DOI|10.1080/01621459.1979.10482531}} {{JSTOR|2286348}}

[[Kategorie:Parametrischer Test]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

Dickey-Fuller-Test - Versionsgeschichte

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