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2026-03-17T21:41:22Z

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Als '''Diagonalmatrix''' bezeichnet man in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], bei der alle Elemente außerhalb der [[Hauptdiagonale]] Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonalen bestimmt.

Für Diagonalmatrizen lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen.
Wird eine [[lineare Abbildung]] auf einem endlichdimensionalen [[Vektorraum]] mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt, so können die Eigenwerte der Abbildung aufgrund des [[Spektralsatz]]es direkt abgelesen werden.

Eine quadratische <math>n</math>-dimensionale Matrix <math>A</math> heißt [[Diagonalisierbare Matrix|diagonalisierbar]], wenn es eine Diagonalmatrix <math>D_A</math> gibt, zu der sie [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] ist, das heißt, wenn eine [[reguläre Matrix]] <math>S</math> so existiert, dass <math>D_A = S^{-1}AS</math> bzw. <math>SD_A = AS</math> gilt.

== Definition ==
Eine quadratische Matrix <math>D</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> (zum Beispiel den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>K=\R</math>)
:<math>D = \begin{pmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & d_{nn}
\end{pmatrix}</math>,
deren Elemente <math>d_{ij} \in K</math> mit <math>i \neq j</math> alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Häufig schreibt man dafür
:<math>D = \operatorname{diag} (d_1, d_2, \dotsc, d_n)
: = \begin{pmatrix}
d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & d_{n}
\end{pmatrix}</math>.

== Beispiele ==

=== Zahlenbeispiel ===
Die <math>3 \times 3</math>-Matrix
:<math>
\operatorname{diag} \left(1,3,5\right)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}
</math>

ist eine Diagonalmatrix.

=== Besondere Diagonalmatrizen ===
* Die [[Einheitsmatrix]] ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert <math>1</math> haben.
* Die quadratische [[Nullmatrix]] ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert <math>0</math> haben.
* Stimmen bei einer Diagonalmatrix sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonale überein, spricht man auch von '''Skalarmatrizen'''.<ref>[[Uwe Storch]], Hartmut Wiebe: ''Lehrbuch der Mathematik,'' Band 2: ''Lineare Algebra.'' BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.</ref> Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der [[Einheitsmatrix]] <math>I_n = \operatorname{diag} (1, 1, \dotsc, 1)</math>. Die Gruppe der von der Nullmatrix verschiedenen Skalarmatrizen ist das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>GL(n,\R)</math>.

== Eigenschaften von Diagonalmatrizen ==

* Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen [[Ringtheorie|Unterring]] des [[Ringtheorie|Rings]] der quadratischen <math>n \times n</math>-Matrizen.
* Die [[Determinante]] einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonale:
*: <math>\det\left( \operatorname{diag} \left(d_1, d_2,\dotsc,d_n\right)\right) = d_1\cdot d_2\dotsm d_n = \prod_{i=1}^n d_i</math>
* Die [[Adjunkte]] einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder eine Diagonalmatrix.
* Diagonalmatrizen sind [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] und [[Normale Matrix|normal]]. Wenn sie reelle Einträge haben, sind sie sogar [[Selbstadjungierte Matrix|selbstadjungiert]].

== Rechenoperationen ==

=== Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation, Transposition ===
Die [[Matrizenaddition]], [[Skalarmultiplikation]] und [[Matrizenmultiplikation]] gestalten sich bei Diagonalmatrizen sehr einfach:

:<math>\operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot \operatorname{diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) = \operatorname{diag} (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n)</math>

Multiplikation einer Matrix <math>A</math> von links mit einer Diagonalmatrix (also <math>D \cdot A</math>) entspricht der Multiplikation der Zeilen von <math>A</math> mit den entsprechenden Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von <math>A</math> mit den Diagonaleinträgen.

Für jede Diagonalmatrix <math>D</math> gilt, dass sie [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] ist, folglich gilt: <math>D = D^T</math>.<ref>[[Horst Stöcker]] (Hrsg.): ''Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren.'' 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1812-0, [http://books.google.de/books?id=CnfrIB6IDFQC&pg=PA363&lpg=PA363&dq=diagonalmatrix+transponierte&source=bl&ots=39hjhMN5dT&sig=z4nFG4mqVhlcWJAOrUpgzeZaHYk&hl=de&ei=-d9LTYPvAse3hQe7vZHUDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CCEQ6AEwAQ#v=onepage&q=diagonalmatrix%20transponierte&f=false S. 363].</ref>

=== Berechnung der Inversen ===

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale <math>0</math> ist. Die [[inverse Matrix]] berechnet sich dann wie folgt:
:<math>\operatorname{diag} \left(d_1, d_2, \dots, d_n\right)^{-1} = \operatorname{diag} \left(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1}\right)</math>

Für die [[Pseudoinverse]] einer beliebigen Diagonalmatrix gilt:
:<math>\operatorname{diag} \left(d_1, d_2, \dots, d_n\right)^{+} = \operatorname{diag}\left(d_1^+, d_2^+, \dots, d_n^+\right)</math>
mit <math>d_i^+ = d_i^{-1}</math> für <math>d_i \neq 0</math> und <math>d_i^+ = 0</math> für <math>d_i = 0</math>, <math>i=
1,\dotsc,n</math>.
Damit kann beispielsweise bei einer bestehenden [[Singulärwertzerlegung]] die Pseudoinverse <math>A^+</math> sehr effizient berechnet werden: <math>A^+=V\Sigma^+U^T</math>.<ref>[https://web.archive.org/web/20220119080347/https://courses.cs.duke.edu//fall04/cps296.1/notes/book.pdf Mathematical Modelling of Continuous Systems], S. 31 f., Archivlink</ref>

== Invertierbare Diagonalmatrizen ==
In der Theorie [[algebraische Gruppe|algebraischer Gruppen]] wird eine Gruppe, die isomorph zu einem endlichen Produkt von Kopien der multiplikativen Gruppe eines [[Körper (Algebra)|Körper]]s ist, als ''algebraischer Torus'' oder einfach als ''Torus'' bezeichnet.

Wie man leicht sieht, ist das Produkt von <math>n</math> Kopien der multiplikativen Gruppe des Körpers <math>K</math> isomorph zur Gruppe der invertierbaren <math>n\times n</math>-Diagonalmatrizen über dem Körper <math>K</math>.

== Siehe auch ==
* [[Antidiagonalmatrix]]
* [[Blockdiagonalmatrix]]
* [[Bandmatrix]]
* [[Trigonalisierung]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
*[https://www.emathhelp.net/de/calculators/linear-algebra/diagonalize-matrix-calculator/ Diagonalisieren einer Matrix online]

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Matrix]]

Diagonalmatrix - Versionsgeschichte

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