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2023-04-06T19:16:13Z

Formulierung der Gleichung: links geprüft

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Die '''Deviationsgleichung''' oder '''geodätische Abweichung''' ist eine Gleichung der [[Riemannsche Geometrie|Riemannschen Geometrie]] bzw. [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] und beschreibt die Änderung des Abstandes zweier benachbarter [[Geodäte]]n mit Hilfe des [[Riemannscher Krümmungstensor|Riemannschen Krümmungstensors]]. Mittels dieser Gleichung kann festgestellt werden, ob und in welcher Art ein Raum gekrümmt ist, indem die Relativbeschleunigung zweier Probekörper auf benachbarten Geodäten gemessen wird. Wird keine Relativbeschleunigung zwischen zwei Geodäten gemessen, so ist der Raum [[Flache Mannigfaltigkeit|flach]]. Die Relativbeschleunigung zwischen den Probekörpern rührt nur von der Krümmung des Raumes her, nicht von ihrer gegenseitigen gravitativen Anziehung, die bei einem realen Experiment noch zusätzlich wirken würde.

== Formulierung der Gleichung ==
Die mathematische Formulierung der Deviationsgleichung lautet:
:<math>\frac{\mathrm{D}^2V^\alpha}{\mathrm{D}\tau^2}=\frac{\partial x^\beta}{\partial \tau}\frac{\partial x^\mu}{\partial\tau}V^\nu R^\alpha_{\,\,\mu\beta\nu}+ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}\tau}\left(T_{\kappa\lambda}^\alpha\frac{\partial x^\kappa}{\partial \tau} V^\lambda\right)</math>
und vereinfacht sich in einem [[Torsion (Algebra)|torsionsfreien Raum]]<ref>Hendrik van Hees: ''Physik und das Drumherum'', Abschnitt {{Webarchiv|url=http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node140.html |wayback=20130723164155 |text=Geraden }}</ref> zu
:<math>\frac{\mathrm{D}^2V^\alpha}{\mathrm{D}\tau^2}=\frac{\partial x^\beta}{\partial \tau}\frac{\partial x^\mu}{\partial\tau}V^\nu R^\alpha_{\,\,\mu\beta\nu}</math>
Die Symbole in den Gleichungen bedeuten dabei folgendes:
* <math>x^\alpha(\tau)</math> bezeichnet die Geodäte und <math>\textstyle \tfrac{\partial x^\alpha}{\partial \tau}</math> deren [[Tangentialvektor]].
* <math>\textstyle V^\alpha \mbox{d}p=\tfrac{\partial x^\alpha}{\partial p}\mathrm{d}p</math> ist der Abstandsvektor zweier benachbarter Geodäten und damit <math>\textstyle \tfrac{\partial x^\alpha}{\partial p}</math> die lineare Änderung des Abstandes zweier [[infinitesimal]] benachbarter Geodäten.
*<math>T_{\kappa\lambda}^\alpha</math> ist der [[Torsionstensor]] des Raumes, insbesondere ist <math>T_{\kappa\lambda}^\alpha A^\kappa B^\lambda</math> der Vektor, der das von <math>A</math> und <math>B</math> aufgespannte [[Parallelogramm]] schließt.<ref>Hendrik van Hees: ''Physik und das Drumherum'', Abschnitt {{Webarchiv|url=http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node132.html |wayback=20100505151706 |text=Torsion und Krümmung }}</ref> Dieser Vektor ist in torsionsfreien Räumen gleich Null.
* <math>R^\alpha_{\mu\beta\nu}</math> ist der Riemannsche Krümmungstensor.
* Außerdem wird die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet, die griechischen Indizes laufen von <math>0\dots 3</math> und <math>x^\alpha</math> sowie <math>V^\alpha</math> sind [[Tensor]]en 1. Stufe.
* <math>\textstyle \tfrac{\mathrm{D} V^\alpha}{\mathrm{D}\tau}</math> bezeichnet die [[Kovariante Ableitung]].
Im flachen Raum wächst der Abstand zweier sich schneidenden Geodäten <math>x^\alpha(\tau,p_1)</math> und <math>x^\alpha(\tau,p_2)</math> proportional zu <math>\tau</math><ref>Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff, S. 141</ref>. Ist dies nicht der Fall, so ist dies ein [[Symptom]] für die Krümmung des Raumes und entspricht der obigen Gleichung bei nichtverschwindendem Krümmungstensor.

== Literatur ==
* [[Hans Stephani]]: ''Allgemeine Relativitätstheorie''. 4. Auflage. Wiley-VCH, 1991, ISBN 3-326-00083-9
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]
[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]

Deviationsgleichung - Versionsgeschichte

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