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2026-02-06T08:44:01Z

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Die '''deskriptive Mengenlehre''' ist ein Teilgebiet der [[Mengenlehre]], das sich mit Eigenschaften definierbarer Mengen befasst. Die Grundidee besteht darin, ausgehend von „einfachen“ Mengen durch gewisse Bildungsgesetze kompliziertere Mengen zu konstruieren und deren Eigenschaften zu untersuchen. Die in der mathematischen Praxis vorkommenden Mengen lassen sich in der Regel auf diese Weise gewinnen. Hier stehen zunächst Teilmengen reeller Zahlen wie [[offene Menge]]n, [[G-delta-Menge|G<sub>δ</sub>-Mengen]], [[Borelmenge]]n und daraus abgeleitete Mengenhierarchien im Vordergrund; die mengentheoretischen, [[Topologie (Mathematik)|topologischen]] oder [[Maßtheorie|maßtheoretischen]] Eigenschaften können aber ebenso gut in allgemeinen [[Polnischer Raum|polnischen Räumen]] untersucht werden, wobei der zur Menge der [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]] [[Homöomorphie|homöomorphe]] [[Baire-Raum (speziell)|Baire-Raum]] eine besondere Rolle spielt.

== Historische Anfänge ==
Eine wichtige Fragestellung der Mengenlehre war von Anfang an das Problem der [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] des Kontinuums, das heißt der Menge der reellen Zahlen. Die [[Kontinuumshypothese]], wonach es zwischen der Mächtigkeit [[Abzählbarkeit|abzählbar unendlicher]] Mengen und der Mächtigkeit des Kontinuums keine weiteren Mächtigkeiten gibt, hat sich durch die Arbeiten [[Kurt Gödel|Gödels]] und [[Paul Cohen (Mathematiker)|Cohens]] als weder beweisbar noch widerlegbar herausgestellt. Das schließt natürlich nicht aus, dass man für gewisse Typen von Teilmengen des Kontinuums zeigen kann, dass sie im überabzählbaren Fall automatisch die Mächtigkeit des Kontinuums haben; man sagt dann, dass dieser Typ von Mengen die Kontinuumshypothese erfüllt. Besonders einfach ist das für [[offene Menge]]n in <math>\R</math>, denn diese sind Vereinigungen offener Intervalle. Eine offene Menge ist daher entweder leer oder enthält ein offenes Intervall und ist damit gleichmächtig zu <math>\R</math>; die offenen Mengen genügen also der Kontinuumshypothese. Für [[abgeschlossene Menge]]n, also für die [[Komplement (Mengenlehre)|Komplemente]] der offenen Mengen, ist das schon etwas schwieriger. Ein sehr frühes Resultat in dieser Richtung ergibt sich aus dem [[Satz von Cantor-Bendixson]], in der Tat genügen auch die abgeschlossenen Mengen der Kontinuumshypothese.

[[René Louis Baire|Baire]] hatte bereits 1899 die heute sogenannten ''Baire-Funktionen'' eingeführt; dabei handelt es sich um die kleinste Menge von Funktionen auf <math>\R</math> oder auf anderen polnischen Räumen, die alle [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] enthält und unter [[Punktweise Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] abgeschlossen ist. [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]] charakterisierte diese 1905 als sogenannte ''analytisch darstellbar'', das heißt als kleinste Menge von Funktionen, die alle Konstanten und alle [[Projektion (Mengenlehre)|Projektionen]] <math>(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_i</math> enthält und unter Summen, Produkten und punktweiser Konvergenz abgeschlossen ist. In diesem Zusammenhang führte er die Borelmengen ein und behauptete in einem Lemma, dass Projektionen von Borelmengen wieder solche seien. Dass dies aber falsch ist, war [[Michail Jakowlewitsch Suslin|Suslin]] aufgefallen, woraus sich der Begriff der [[Analytische Menge|analytischen Menge]] entwickelte. Auch für analytische Mengen konnte gezeigt werden, dass sie die Kontinuumshypothese erfüllen. Für größere Klassen, die sich mittels gewisser Bildungsgesetze aus den analytischen gewinnen und sich in sogenannten Hierarchien anordnen lassen, bleibt die Frage offen.<ref>Moschovakis.</ref>

Der Zweig der [[Effektive deskriptive Mengenlehre|effektiven deskriptiven Mengenlehre]] geht maßgeblich auf Entwicklungen [[Stephen Cole Kleene]] zurück, etwa die Entwicklung der [[Arithmetische Hierarchie|arithmetischen Hierarchie]], die Verbindungen zur ''klassischen'' deskriptiven Mengenlehre wurden jedoch erst später aufgezeigt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Akihiro Kanamori]] |Titel=The Emergence of Descriptive Set Theory |Datum= |Seiten=256 |Online=[https://math.bu.edu/people/aki/2.pdf Online] |Format=PDF |KBytes=1000 |Abruf=2012-11-30}}</ref>

== Hierarchien ==
Die folgenden Ausführungen sollen einen ersten Eindruck über das Forschungsgebiet der deskriptiven Mengenlehre geben.

=== Borel-Hierarchie ===
{{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}}
Ausgangspunkt der Borel-Hierarchie ist die Klasse der offenen Mengen in <math>\R</math> oder allgemeiner in einem [[Perfekte Menge|perfekten]], polnischen Raum <math>X</math>; die Klasse der offenen Mengen werde mit <math>\Sigma^0_1</math> bezeichnet. Ist <math>\omega</math> die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] mit der [[Diskrete Topologie|diskreten Topologie]], so ist <math>X\times \omega</math> wieder ein polnischer Raum. <math>\Sigma^0_2</math> wird nun definiert als die Menge aller Projektionen von Komplementen von <math>\Sigma^0_1</math> aus <math>X\times \omega</math> auf die erste Komponente <math>X</math>, das heißt, <math>\Sigma^0_2</math> besteht aus allen Mengen der Form <math>p_1(A)</math>, wobei <math> (X\times \omega) \setminus A</math> eine <math>\Sigma^0_1</math>-Menge, also eine offene Menge, ist und <math>p_1\colon X\times \omega \rightarrow X</math> die Projektion auf die erste Komponente ist. Dieses Verfahren kann man iterieren, indem man <math>\Sigma^0_{n+1}</math> als die Klasse aller Mengen der Form <math>p_1(A)</math> definiert, wobei <math>A</math> alle Teilmengen von <math>X\times \omega</math> durchläuft, deren Komplemente <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen sind.

Die Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math> bilden die Klasse der <math>\Pi^0_n</math>-Mengen.
Die <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen sind auch als [[F-sigma-Menge|<math>F_\sigma</math>-Mengen]] bekannt und deren Komplemente, also die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen, als [[G-delta-Menge|<math>G_\delta</math>-Mengen]].
Insgesamt erhält man mittels obiger Bildungsweise aufsteigende Klassen
:<math>\Sigma^0_1 \subset \Sigma^0_2 \subset \Sigma^0_3 \subset \dotsb </math>
:<math>\Pi^0_1 \subset \Pi^0_2 \subset \Pi^0_3 \subset \dotsb </math>
und man kann zeigen, dass diese Konstruktion nicht aus den Borelmengen herausführt und dass zusätzlich
:<math>\Sigma^0_n \subset \Pi^0_{n+1}</math> und <math>\Pi^0_n \subset \Sigma^0_{n+1}</math>
gilt. Es stellt sich daher die Frage, ob <math>\textstyle \bigcup_{n\in \N}\Sigma^0_n = \bigcup_{n\in \N}\Pi^0_n</math> mit der Klasse aller Borelmengen übereinstimmt. Die Antwort lautet nein, man muss obigen Bildungsprozess [[Transfinite Induktion|transfinit]] fortsetzen, was sich mit dem Begriff der [[Ordinalzahl]] zwanglos durchführen lässt. Es stellt sich dann heraus, dass man diesen Prozess <math>\aleph_1</math>-mal durchführen muss, wobei <math>\aleph_1</math> die kleinste überabzählbare Ordinalzahl ist (siehe auch [[Aleph-Funktion]]), um auf diese Weise alle Borelmengen zu erhalten.

=== Projektive Hierarchie ===
{{Hauptartikel|Projektive Hierarchie}}
Die projektive Hierarchie entsteht nach demselben Muster aus der Klasse der offenen Mengen, lediglich der Raum <math>\omega</math> wird durch den Baire-Raum <math>\mathcal{N}=\omega^\omega</math> ersetzt, wobei <math>\omega^\omega</math> die Menge aller Funktionen <math>\omega \rightarrow \omega</math> ist, was man wie üblich mit dem <math>\omega</math>-fachen [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] von <math>\omega</math> mit sich selbst identifiziert und worauf man die [[Produkttopologie]] betrachtet. Dieser Raum ist [[Homöomorphismus|homöomorph]] zum Raum der [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]] mit der [[Relativtopologie]] von <math>\R</math>, weshalb man den Baire-Raum in der deskriptiven Mengenlehre oft den Raum der irrationalen Zahlen nennt. Die Bezeichnungen der Hierarchien lauten
:<math>\Sigma^1_1 \subset \Sigma^1_2 \subset \Sigma^1_3 \subset \dotsb</math>
:<math>\Pi^1_1 \subset \Pi^1_2 \subset \Pi^1_3 \subset \dotsb</math>.
Beachte, dass der obere Index eine 1 ist.
<math>\Sigma^1_1</math> ist also die Klasse aller Mengen der Form <math>p_1(A)</math>, wobei <math>A</math> alle abgeschlossenen Teilmengen von <math>X\times \mathcal{N}</math> durchläuft und <math>X</math> ein polnischer Raum ist; diese Mengen nennt man auch analytisch. <math>\Pi^1_1</math> ist wieder die Klasse der Komplemente solcher Mengen, die man daher auch koanalytisch nennt.

Bereits Suslin hatte gezeigt, dass <math>\Sigma^1_1 \cap \Pi^1_1</math> genau mit den Borelmengen übereinstimmt.<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory'', Birkhäuser, Boston (1980), ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 8.2, Corollary 8.3.3</ref> Man kann zeigen, dass die <math>\Sigma^1_1</math>-Mengen die Kontinuumshypothese erfüllen und alle [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] sind. Diese Aussagen gehen für <math>\Sigma^1_n</math>, <math>n>1</math>, verloren; Gödel hat gezeigt, dass es unter der Annahme des [[Konstruierbarkeitsaxiom]]s eine Menge in <math>\Sigma^1_1 \cap \Pi^1_1</math> gibt, die nicht Lebesgue-messbar ist.<ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Corollary 25.28</ref> Nach einem Satz von [[Wacław Sierpiński|Sierpiński]] ist jede <math>\Sigma^1_2</math>-Menge Vereinigung von <math>\aleph_1</math>-vielen Borelmengen.

=== κ-Suslin-Mengen ===
Ersetzt man in der Konstruktion der Lusin-Hierarchie den Baire-Raum <math>\mathcal{N}=\omega^\omega</math> durch <math>\kappa^\omega</math>, wobei <math>\kappa</math> eine [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] mit der diskreten Topologie sei, so kommt man zum Begriff der <math>\kappa</math>-Suslin-Menge. Eine Teilmenge eines polnischen Raums <math>X</math> ist eine <math>\kappa</math>-Suslin-Menge, wenn sie die Form <math>p_1(A)</math> für eine abgeschlossene Menge <math>A\subset X\times \kappa^\omega</math> hat. Die Klasse aller solchen Mengen wird mit <math>S(\kappa)</math> bezeichnet.

<math>S(\aleph_0)</math> stimmt offenbar mit der <math>\Sigma^1_1</math>, also mit der Klasse aller analytischen Mengen, überein.
Nach einem Satz von [[Joseph R. Shoenfield|Shoenfield]] ist jede <math>\Sigma^1_2</math> eine <math>\aleph_1</math>-Suslin-Menge.<ref>Y.N. Moschovakis: ''Descriptive Set Theory'', North Holland 1987, ISBN 0-444-70199-0, Theorem 2B.2</ref> Aussagen über diese Mengenklassen erfordern tiefere Methoden der Mengenlehre, dabei stellt sich oft die Frage nach hinreichend starken Axiomen der Mengenlehre.

== Regularitätseigenschaften ==
Neben solchen aus gewissen Operationen entstehenden Mengen betrachtet man bestimmte Regularitätseigenschaften von Teilmengen polnischer Räume und ihre Beziehungen zu den durch solche Konstruktionen gewonnenen Mengen. Beispiele für solche Eigenschaften sind:
* Eine Menge besitzt die [[Baire-Eigenschaft]], wenn sie sich nur um eine [[magere Menge]] von einer offenen Menge unterscheidet.
* Eine Menge heißt [[universell messbar]], wenn sie bezüglich jedes vollständigen, endlichen [[Maß (Mathematik)|Maßes]], das für alle Borel-Mengen definiert ist, messbar ist.
* Eine Menge besitzt die [[Perfekte-Mengen-Eigenschaft]], wenn sie abzählbar ist oder eine nicht-leere [[perfekte Menge]] enthält.

== Weitere Fragestellungen ==
Weitere wichtige Fragestellungen der deskriptiven Mengenlehre betreffen natürlich auch die Funktionen zwischen polnischen Räumen, insbesondere deren Messbarkeitseigenschaften, sowie Äquivalenzrelationen und algebraische Strukturen auf polnischen Räumen. Ferner können die oben beschriebenen Bildungsprozesse auf ihre [[Berechenbarkeit]] hin untersucht werden, dies geschieht im mit der [[Rekursionstheorie]] eng verzahnten Teilgebiet der [[Effektive deskriptive Mengenlehre|effektiven deskriptiven Mengenlehre]].

== Anwendungsbereiche ==
Anwendung findet die deskriptive Mengenlehre etwa in folgenden Bereichen:
* [[Operatoralgebra|Operatoralgebren]]
* [[Ergodentheorie]]
* Theorie unendlicher [[Automatentheorie|Automaten]] und [[Spieltheorie|Spiele]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Alexander S. Kechris]] |Titel=Classical Descriptive Set Theory |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=Berlin |Datum=1994 |ISBN=0-387-94374-9 |Seiten=341}}
* {{Literatur |Autor=Y. N. Moschovakis |Titel=Descriptive Set Theory |Verlag=North Holland |Datum=1987 |ISBN=0-444-70199-0}}

== Weblinks ==
* {{EoM|Titel=Descriptive set theory|Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Descriptive_set_theory|Autor=A.G. El'kin, V.I. Ponomarev}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4149180-4|LCCN=sh85037130}}

[[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Deskriptive Mengenlehre - Versionsgeschichte

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