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2025-01-25T21:56:27Z

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In verschiedenen [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]], insbesondere im Bereich der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]], bezeichnet man [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]] als '''Derivationen''', wenn sie eine bestimmte [[Funktionalgleichung]] erfüllen. Diese Gleichung wird als '''Leibniz-Regel''' bezeichnet und erinnert an die [[Produktregel]] aus der [[Differentialrechnung]]. Tatsächlich ist der Begriff der Derivation eine Abstraktion der [[Differentialrechnung|Ableitung]] in den Kontext der Algebra. Eine [[Algebra über einem kommutativen Ring]] zusammen mit einer Derivation wird auch '''Differentialalgebra''' genannt.<ref name="Berger2013">Robert Berger: ''Differentiale höherer Ordnung und Körpererweiterungen bei Primzahlcharakteristik''. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-99905-5, S. 4. [https://books.google.com/books?id=tu60BgAAQBAJ&pg=PA4 (books.google.com)]</ref>

== Definition ==
Es sei <math>R</math> ein kommutativer [[Ring mit Eins]] (beispielsweise ein [[Körper (Algebra)|Körper]] wie <math>\mathbb R</math> oder <math>\mathbb C</math>) und <math>A</math> eine <math>R</math>-[[Algebra über einem kommutativen Ring|Algebra]].

Eine '''<math>R</math>-Derivation''' oder kurz '''Derivation''' von <math>A</math> ist eine <math>R</math>-lineare Abbildung <math>D\colon A\to A</math>, die die [[Produktregel|Leibnizregel]] erfüllt, das heißt
: <math>D(a_1a_2)=D(a_1)a_2+a_1D(a_2)\quad</math>
für alle <math>a_1,a_2\in A.</math>

Die Eigenschaft <math>R</math>-linear besagt, dass für alle <math>a_1 , a_2 \in A</math> und <math>r \in R</math> die Gleichungen
:<math>D(a_1 + a_2) = D(a_1) + D(a_2)</math>
und
:<math>D(r a_1) = r D(a_1)</math>
gelten. Eine Algebra zusammen mit einer Derivation wird '''Differentialalgebra''' genannt.<ref name="Vialar2016">Thierry Vialar. ''Handbook of Mathematics''. BoD - Books on Demand, 2016, ISBN 978-2-9551990-0-8, S. 714. [https://books.google.com/books?id=Eq4UDgAAQBAJ&pg=PA714 (books.google.com)]</ref> Die Definition schließt Ringe <math>A</math> ein, indem man sie als <math>\Z</math>-Algebren auffasst.

Bildet <math>D \colon A \to M</math> von einer Algebra <math>A</math> in einen [[Modul (Mathematik)|Modul]] oder [[Bimodul]] <math>M</math> ab, so wird der Derivation analog definiert: für <math>a_1,a_2\in A</math> muss dann die Leibniz-Regel
:<math>D(a_1a_2) = a_1 D(a_2) + a_2 D(a_1)</math>
erfüllt sein.<ref name="HunekeSwanson2006">''Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules''. Cambridge University Press, 2006, ISBN 0-521-68860-4, S. 147. [https://books.google.com/books?id=APPtnn84FMIC&pg=PA147 (books.google.com)]</ref><ref>{{Literatur |Autor=David Eisenbud |Titel=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry |Nummer= |Verlag=Springer-Verlag |Ort=New York |Datum=1995 |Reihe=Graduate texts in mathematics |NummerReihe=150 |ISBN=978-0-387-94268-1 |Seiten=383 |Abruf=}}</ref>

== Eigenschaften ==
Im Folgenden sei weiterhin <math>D \colon A \to A</math> eine Derivation.
* Ist <math>A</math> eine Algebra mit [[Einselement]] <math>1_A</math>, so gilt <math>D(1_A)=0</math>. Damit gilt auch <math>D(r)=0</math> für alle <math>r\in R</math>.
* Der [[Kern (Algebra)|Kern]] einer Derivation ist eine Unteralgebra.
* Die Menge der Derivationen von <math>A</math> mit Werten in <math>A</math> bildet mit dem [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] eine [[Lie-Algebra]]: Sind <math>D_1</math> und <math>D_2</math> Derivationen, so auch
:: <math>[D_1,D_2]=D_1\circ D_2-D_2\circ D_1.</math>
* Die Verkettung einer Derivation mit sich selbst ist keine Derivation. Die Abbildung
::<math>D^n := \underbrace{D \circ \ldots \circ D}_{n-\mathrm{mal}}</math>
: ist also keine Derivation, es gilt aber die Leibniz-Regel höherer Ordnung
::<math>D^n(ab) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot D^{n-k}(a)\cdot D^{k}(b)</math>
: für diese Abbildung mit <math>a ,b \in A</math>.<ref name="Jacobson1979">Nathan Jacobson: ''Lie Algebras''. Courier Corporation, 1979, ISBN 0-486-63832-4, S. 8. [https://books.google.com/books?id=hPE1Mmm7SFMC&pg=PA8 (books.google.com)]</ref>
* Für ein Element <math>b\in A</math> ist <math>D_b\colon A\to A</math>, <math>D_b(a)=ba-ab</math>, eine Derivation. Derivationen dieses Typs heißen ''innere Derivationen''. Die [[Hochschild-Homologie und Kohomologie|Hochschild-Kohomologie]] <math>H^1(A,A)</math> ist der Quotient des Moduls der Derivationen nach dem Untermodul der inneren Derivationen.
* In einer [[Kommutative Algebra|kommutativen Algebra]] <math>A</math> gilt <math>D(a^n) = n a^{n-1} D(a)</math> für alle <math>a\in A</math> und alle nichtnegativen ganzen Zahlen <math>n</math>.

== Beispiele ==
* Die [[Differentialrechnung|Ableitung]] reeller Funktionen <math>f\colon D \subseteq \R \to \R</math> ist eine Derivation. Dies besagt die [[Produktregel]]. Aus der Definition der Derivation und aus dem Abschnitt über die Eigenschaften von Derivationen sieht man, dass sich auch die [[Faktorregel]], die [[Summenregel]], die [[Potenzregel]] und die Produktregel für höhere Ableitungen einer Funktion auf Derivationen übertragen.
* Sei <math>A=R[X]</math> die Algebra der [[Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]]. Dann ist die [[formale Ableitung]]
:: <math>\sum a_i X^i \mapsto \sum i a_i X^{i-1}</math>
: eine <math>R</math>-lineare Derivation von <math>A</math> mit Werten in <math>A</math>.
* Sei <math>X</math> eine Mannigfaltigkeit. Dann ist die [[Cartan-Ableitung]] eine <math>\mathbb R</math>-lineare Derivation von <math>C^\infty(X)</math> mit Werten im Raum <math>A^1(X)</math> der [[Differentialform|1-Formen]] auf <math>X</math>.
* Eine der Umformulierungen der [[Jacobi-Identität]] für [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]] besagt, dass die [[adjungierte Darstellung]] durch Derivationen operiert:
:: <math>[X,[A,B]]=[[X,A],B]+[A,[X,B]].</math>

== Derivationen und Kähler-Differentiale ==
Per definitionem werden <math>R</math>-lineare Derivationen einer ''kommutativen'' Algebra <math>A</math> durch den Modul <math>\Omega_{A/R}</math> der [[Kähler-Differential]]e klassifiziert, d. h., es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den <math>R</math>-linearen Derivationen von <math>A</math> mit Werten in einem <math>A</math>-Modul <math>M</math> und den <math>A</math>-linearen Abbildungen <math>\Omega_{A/R}\to M</math>. Jede Derivation <math>D\colon A\to M</math> entsteht als Verkettung der ''universellen Derivation'' <math>\mathrm d\colon A\to\Omega_{A/R}</math> mit einer <math>A</math>-linearen Abbildung <math>\Omega_{A/R}\to M</math>.<ref>{{Literatur |Autor=David Eisenbud |Titel=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry |Verlag=Springer-Verlag |Ort=New York |Datum=1995 |Reihe=Graduate texts in mathematics |NummerReihe=150 |ISBN=978-0-387-94268-1 |Seiten=384}}</ref>

== Antiderivationen ==
=== Definition ===
Ist <math>A</math> eine <math>\mathbb Z</math>- oder <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-[[Graduierung (Algebra)|graduierte]] <math>R</math>-Algebra, so heißt eine <math>R</math>-lineare graduierte Abbildung <math>D\colon A\to A</math> eine ''Antiderivation'', wenn
: <math>D(a_1a_2)=D(a_1)a_2+(-1)^{|a_1|}\cdot a_1D(a_2)</math>
für alle homogenen Elemente <math>a_1,a_2\in A</math> gilt; dabei bezeichnet <math>|a_1|</math> den Grad von <math>a_1</math>.

=== Beispiele ===
* Die [[Cartan-Ableitung|äußere Ableitung]] von [[Differentialform]]en ist eine Antiderivation:
:: <math>\mathrm d(\omega\wedge\eta)=\mathrm d\omega\wedge\eta+(-1)^{|\omega|}\cdot\omega\wedge\mathrm d\eta.</math>

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-40388-3, [[doi:10.1007/978-3-540-92812-6]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen]]

Derivation (Mathematik) - Versionsgeschichte

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