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2025-12-13T06:45:24Z

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[[Datei:Denavit-Hartenberg-Transformations Robot.svg|gerahmt|rechts|Beispiel einer kinematischen Kette anhand eines Roboters; mit Koordinatensystemen und DH-Parametern]]
Die '''Denavit-Hartenberg-Transformation (DH-Transformation)''' aus dem Jahr [[1955]] wurde nach [[Jacques Denavit]] und [[Richard S. Hartenberg]] benannt und ist ein mathematisches Verfahren, das auf der Basis von [[Homogene Matrix|homogenen Matrizen]] und der sogenannten '''Denavit-Hartenberg-Konvention (DH-Konvention)''' die Überführung von Ortskoordinatensystemen (OKS) innerhalb von [[Kinematische Kette|kinematischen Ketten]] beschreibt<ref name="denavit1955kinematic"/>. Dies wird vor allem in der Berechnung der [[direkte Kinematik|direkten Kinematik (Vorwärtskinematik)]], der [[Inverse Kinematik|inversen Kinematik]], als auch bei in der [[Kalibrierung]] von [[Industrieroboter]]n gezielt ausgenutzt und gilt hierbei mittlerweile als das Standardverfahren im Bereich [[Robotik]].

== DH-Konvention ==
Folgende Voraussetzungen sind notwendig:
# die <math>z_{n-1}</math>-Achse liegt entlang der Bewegungsachse des <math>n</math>-ten Gelenks
# die <math>x_{n}</math>-Achse ist das [[Kreuzprodukt]] von <math>z_{n-1}</math>-Achse und <math>z_{n}</math>-Achse (<math>\vec e_{x_n} = \vec e_{z_{n-1}} \times \vec e_{z_{n}}</math>).
# das Koordinatensystem wird durch die <math>y_n</math>-Achse so ergänzt, dass es ein [[Rechtssystem (Mathematik)|rechtshändiges System]] ergibt.

Für das erste [[Gelenk (Technik)|Gelenk]] wird die <math>x</math>-Achse vom zweiten Gelenk übernommen. Es ist weiter zu beachten, dass die nach der DH-Konvention modellierten Gelenke nicht an den gleichen Positionen liegen müssen wie ihre physischen Gegenstücke. Sofern die Verschiebung in einem der nachfolgenden Segmente der kinematischen Kette ausgeglichen wird, können Gelenke nach Belieben entlang ihrer [[Rotationsachse]] verschoben und um diese gedreht werden, ohne das Gesamtergebnis der Berechnung zu beeinflussen. Diese Eigenschaft wird gezielt ausgenutzt, um Gelenke so aneinander auszurichten, dass Rotationen und Verschiebungen entlang der <math>y</math>-Achse vermieden werden und in der Folge die Anzahl der notwendigen Parameter zur Beschreibung der jeweiligen Transformationen von sechs auf vier reduziert werden kann.

Einen Sonderfall bilden Schubgelenke: Hier ist zusätzlich eine [[Parallelverschiebung|Translation]] orthogonal zum Schubvektor möglich, wodurch es in DH konformen Modellen - genau wie bei aufeinander folgenden, parallel ausgerichteten Gelenken - noch immer zu [[Überbestimmung|Redundanzen]] in den Modellparametern kommen kann. Um eine vollständige Kalibrierung zu ermöglichen, werden in der Theorie zudem zwei zusätzliche [[Freiheitsgrad]]e zwischen dem letzten Gelenk und dem [[Endeffektor]] eines Roboters benötigt. Neueren Modellen wie dem S-Model<ref name="stone1987kinematic"/>, das ''complete and parametrically continuous kinematic'' (CPC) Model<ref name="zhuang1992complete"/> und das Modifizierte CPC (MCPC) Model<ref name="zhuang1993error"/> ist es gelungen einzelne oder sogar alle Schwächen der DH-Konvention auszugleichen, jedoch haben diese Modelle nie eine ähnliche Bekanntheit wie die DH-Konvention erlangen können.

== DH-Transformation ==
Die eigentliche DH-Transformation vom Objektkoordinatensystem (OKS) <math>T_{n - 1}</math> in das OKS <math>T_n</math> besteht in der Hintereinanderausführung folgender Einzeltransformationen:
* einer Rotation <math>\theta_n</math> (Gelenkwinkel) um die <math>z_{n - 1}</math>-Achse, damit die <math>x_{n - 1}</math>-Achse parallel zu der <math>x_n</math>-Achse liegt

[[Datei:Denavit-Hartenberg-Transformation Step1.svg|rechts|Schritt 1 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter]]
: <math>\operatorname{Rot}(z_{n - 1}, \theta_n)
= \begin{pmatrix}
\cos\theta_n & -\sin\theta_n & 0 & 0 \\
\sin\theta_n & \cos\theta_n & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}</math>

* einer Translation <math>d_n</math> (Gelenkabstand) entlang der <math>z_{n - 1}</math>- Achse bis zu dem Punkt, wo sich <math>z_{n - 1}</math> und <math>x_n</math> schneiden

[[Datei:Denavit-Hartenberg-Transformation Step2.svg|rechts|Schritt 2 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter]]
: <math>\operatorname{Trans}(z_{n - 1}, d_n)
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & d_n \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}</math>

* einer Translation <math>a_n</math> (Armelementlänge) entlang der <math>x_n</math>-Achse, um die Ursprünge der Koordinatensysteme in Deckung zu bringen

[[Datei:Denavit-Hartenberg-Transformation Step3.svg|rechts|Schritt 3 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter]]
: <math>\operatorname{Trans}(x_n, a_n)
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & a_n \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}</math>

* einer Rotation <math>\alpha_n</math> (Verwindung) um die <math>x_n</math>-Achse, um die <math>z_{n - 1}</math>-Achse in die <math>z_n</math>-Achse zu überführen

[[Datei:Denavit-Hartenberg-Transformation Step4.svg|rechts|Schritt 4 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter]]
: <math>\operatorname{Rot}(x_n, \alpha_n)
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos\alpha_n & -\sin\alpha_n & 0 \\
0 & \sin\alpha_n & \cos\alpha_n & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}</math>

Die beiden Rotationen entsprechen hierbei den klassischen [[Eulersche Winkel#Beschreibung durch Matrizen|Euler Winkeln]]. In Matrixschreibweise lautet die Gesamttransformation dann (von links nach rechts zu interpretieren):

[[Datei:Denavit-Hartenberg-Transformation.svg|rechts|Koordinatensysteme und die zugehörigen Denavit-Hartenberg parameter]]
: <math>\begin{align}
{}^{n - 1}T_n
=& \operatorname{Rot}(z_{n - 1}, \theta_n) \cdot
\operatorname{Trans}(z_{n - 1}, d_n) \cdot
\operatorname{Trans}(x_n, a_n) \cdot
\operatorname{Rot}(x_n, \alpha_n)\\
& \\
=& \begin{pmatrix}
\cos\theta_n & -\sin\theta_n \cos\alpha_n & \sin\theta_n \sin\alpha_n & a_n \cos\theta_n \\
\sin\theta_n & \cos\theta_n \cos\alpha_n & -\cos\theta_n \sin\alpha_n & a_n \sin\theta_n \\
0 & \sin\alpha_n & \cos\alpha_n & d_n \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\,.\end{align}
</math>

Die Inverse dieser Matrix
: <math>\begin{align}
{}^{n - 1}T_{n}^{-1}
=& \operatorname{Rot}(x_{n}, -\alpha_n) \cdot
\operatorname{Trans}(x_{n}, -a_n) \cdot
\operatorname{Trans}(z_{n-1}, -d_n) \cdot
\operatorname{Rot}(z_{n-1}, -\theta_n)\\
& \\
=& \begin{pmatrix}
\cos-\theta_n & -\sin -\theta_n & 0 & -a_n \\
\sin-\theta_n \cos-\alpha_n & \cos-\theta_n \cos-\alpha_n & -\sin-\alpha_n & -\sin(-\alpha_n) (-d_n) \\
\sin-\alpha_n \sin-\theta_n & \sin-\alpha_n \cos-\theta_n & \cos-\alpha_n & \cos(-\alpha_n) (-d_n) \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
& \\
=& \begin{pmatrix}
\cos\theta_n & \sin \theta_n & 0 & -a_n \\
-\sin\theta_n \cos\alpha_n & \cos\theta_n \cos\alpha_n & \sin\alpha_n & -d_n \sin\alpha_n \\
\sin\alpha_n \sin\theta_n & -\cos\theta_n \sin\alpha_n & \cos\alpha_n & -d_n \cos\alpha_n \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\end{align}
</math>

beschreibt die Transformation eines Punktes vom OKS <math>T_n</math> ins OKS <math>T_{n - 1}</math>. Entsprechend kann die ursprüngliche Matrix <math>{}^{n - 1}T_n</math> auch als Transformation eines Punktes vom OKS <math>T_{n - 1}</math> ins OKS <math>T_n</math> interpretiert werden, wenn der [[Ortsvektor]] des Punktes von rechts an die Matrix multipliziert wird. Es ist zu beachten, dass die Matrizen-Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ und somit die Berechnungsfolge der Gesamttransformation nicht vertauschbar ist.

Die Parameter <math>\theta_n, d_n, a_n</math> und <math>\alpha_n</math> werden dabei auch '''Denavit-Hartenberg-Parameter''' genannt.

Bei offenen [[Kinematische Kette|kinematischen Ketten]] sind <math>\theta_n</math> und <math>d_n</math> variable Größen während der Bewegung des Roboters, abhängig von dessen spezieller Geometrie und Maßen. Bei einem [[Gelenk (Technik)|rotatorischen Gelenk]] ist <math>\theta_n</math> variant und <math>d_n</math> konstant, bei einem [[Gelenk (Technik)|Schubgelenk]] umgekehrt. <math>\alpha_n</math> und <math>a_n</math> dagegen sind sowohl bei Rotations- als auch bei Schubgelenken invariante Größen und müssen für die spätere Berechnung der [[direkte Kinematik|direkten Kinematik]] nur einmal für jedes einzelne Armelement bestimmt werden.

== Modifizierte DH-Parameter ==
Einige Bücher wie ''Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd Edition)'' verwenden modifizierte DH-Parameter. Der Unterschied zwischen den klassischen DH-Parametern und den modifizierten DH-Parametern sind die Orte der Koordinatensystemanbindung an die Glieder und die Reihenfolge der durchgeführten Transformationen.

Im Vergleich zu den klassischen DH-Parametern werden die Koordinaten des Rahmens <math>O_{i-1}</math> auf die Achse <math>i - 1</math> gelegt, nicht auf die Achse <math>i</math> in klassischer DH-Konvention. Die Koordinaten von <math>O_{i}</math> werden in klassischer DH-Konvention auf die Achse <math>i</math>, nicht auf die Achse <math>i + 1</math> gelegt.

Ein weiterer Unterschied ist, dass nach der modifizierten Konvention die Transformationsmatrix durch die folgende Reihenfolge der Operationen gegeben ist:

: <math>
{}^{n - 1}T_n = \operatorname{Rot}_{x_{n-1}}(\alpha_{n-1}) \cdot \operatorname{Trans}_{x_{n-1}}(a_{n-1}) \cdot \operatorname{Rot}_{z_{n}}(\theta_n) \cdot \operatorname{Trans}_{z_{n}}(d_n)
</math>

Somit wird die Matrix der modifizierten DH-Parameter

: <math>\operatorname{}^{n - 1}T_n
=
\left[
\begin{array}{ccc|c}
\cos\theta_n & -\sin\theta_n & 0 & a_{n-1} \\
\sin\theta_n \cos\alpha_{n-1} & \cos\theta_n \cos\alpha_{n-1} & -\sin\alpha_{n-1} & -d_n \sin\alpha_{n-1} \\
\sin\theta_n\sin\alpha_{n-1} & \cos\theta_n \sin\alpha_{n-1} & \cos\alpha_{n-1} & d_n \cos\alpha_{n-1} \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
</math>

bzw. die Inverse:
: <math>\operatorname{}^{n}T_{n - 1}
=
\left[
\begin{array}{ccc|c}
\cos\theta_n & \sin\theta_n \cos\alpha_{n-1} & \sin\theta_n \sin\alpha_{n-1} & -a_{n-1} \cos\theta_n \\
-\sin\theta_n & \cos\theta_n \cos\alpha_{n-1} & \cos\theta_n \sin\alpha_{n-1} & a_{n-1} \sin\theta_n \\
0 & -\sin\alpha_{n-1} & \cos\alpha_{n-1} & -d_n \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
</math>
In einigen Büchern wird die Transformationsreihenfolge für ein Paar aus aufeinanderfolgender Rotation und Translation (z. B. <math>d_n</math> und <math>\theta_n</math>) ersetzt. Da die Reihenfolge der Matrixmultiplikation für ein solches Paar jedoch keine Rolle spielt, ist das Ergebnis dasselbe. Ein Beispiel: <math>\operatorname{Trans}_{z_{n}}(d_n) \cdot
\operatorname{Rot}_{z_{n}}(\theta_n)
= \operatorname{Rot}_{z_{n}}(\theta_n) \cdot
\operatorname{Trans}_{z_{n}}(d_n)
</math>.

== Literatur ==
* Hans-Jürgen Siegert, Siegfried Bocionek: ''Robotik, Programmierung intelligenter Roboter.'' Springer Verlag 1996, ISBN 3-540-60665-3.
* Wolfgang Weber: ''Industrieroboter, Methoden der Steuerung und Regelung.'' Carl Hanser Verlag, München Wien, 2009, ISBN 978-3-446-41031-2.
* Jorge Angeles: ''Fundamentals of Robotic Mechanical Systems.'' Springer Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94540-7.
* Friedrich Pfeiffer, Eduard Reithmeier: ''Roboterdynamik.'' Teubner Verlag, Stuttgart, 1987, ISBN 3-519-02077-7.
* Miomir Vukobratvic: ''Introduction to Robotics.'' Springer Verlag, Berlin, 1989, ISBN 0-387-17452-4.
* John J. Craig: ''Introduction to Robotics, Mechanics and Control.'' Pearson Prentice Hall, NJ 07458, 2005, ISBN 0-201-54361-3.
* J.J. Craig, ''Introduction to Robotics: Mechanics and Control'', 3rd ed., Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2004, ISBN 978-0201543612.
* Chen-Gang, Li-Tong, Chu-Ming, J.-Q. Xuan und Xu, Sun-Han, ''[https://link.springer.com/article/10.1007/s12541-014-0528-1 Review on kinematics calibration technology of serial robots]'', International journal of precision engineering and manufacturing, 15(8):1759–1774, 2014.

== Weblinks ==
{{commonscat|Denavit-Hartenberg transformation|Denavit-Hartenberg-Transformation}}
* Eine Visualisierung zur Ermittlung der Denavit-Hartenberg-Parameter in englischer Sprache verfügbar unter:
** {{YouTube | id=rA9tm0gTln8 | title=Denavit-Hartenberg Reference Frame Layout}}
** [http://tekkotsu.no-ip.org/movie/dh-hd.mp4 1280x720 MPEG-4] (MP4; 49,8 MB),
** [http://tekkotsu.no-ip.org/movie/dh-sd.mp4 640x360 MPEG-4] (MP4; 19,2 MB)
* 3D-Visualisierung zur Ermittlung der Denavit-Hartenberg-Parameter (Deutsch): {{YouTube | id=qZB3_gKBwf8 | title=Denavit-Hartenberg Parameter 3D Video Tutorial für einen KUKA Industrieroboter}}
* [http://uwf.edu/ria/robotics/robotdraw/DH_parm.htm Denavit-Hartenberg Parameters] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="denavit1955kinematic">
{{Literatur
|Autor=[[Jacques Denavit]] und [[Richard S. Hartenberg]]
|Titel=A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices
|Datum=1955}}
</ref>
<ref name="stone1987kinematic">
{{Literatur
|Autor=Stone, Henry W
|Titel=Kinematic modeling, identification, and control of robotic manipulators
|Verlag=Springer Science & Business Media
|Datum=1987}}
</ref>
<ref name="zhuang1992complete">
{{Literatur
|Autor=Zhuang, Hanqi and Roth, Zvi S and Hamano, Fumio
|Titel=A complete and parametrically continuous kinematic model for robot manipulators
|Verlag=IEEE
|Datum=1992}}
</ref>
<ref name="zhuang1993error">
{{Literatur
|Autor=Zhuang, Hanqi and Wang, Luke K and Roth, Zvi S
|Titel=Error-model-based robot calibration using a modified CPC model
|Verlag=Elsevier
|Datum=1993}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Robotik]]
[[Kategorie:Kinematik]]

Denavit-Hartenberg-Transformation - Versionsgeschichte

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