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2025-09-06T20:11:15Z

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[[Datei:Deltoidalicositetrahedron.jpg|mini|3D-Ansicht eines Deltoidalikositetraeders ([[:Datei:Deltoidalicositetrahedron.gif|Animation]])]]
[[Datei:Deltoidal icositetrahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Deltoidalikositetraeders]]
[[Datei:Deltoid 24.jpg|mini|Konstruktion des Deltoids am [[Rhombenkuboktaeder]]]]
[[Datei:Partial cubic honeycomb.png|mini|Topologisch gleichwertig zum Deltoidalikositetraeder ist dieser dreifach geschnittene [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]]]
Das '''Deltoidalikositetraeder''' (auch '''Deltoidikositetraeder''' genannt) ist ein [[Konvexe Menge|konvexes]] Ikositetraeder, also ein [[Polyeder]] mit 24 Seitenflächen, bei dem diese Flächen zueinander kongruente [[Deltoid]]e sind. Es zählt zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]]. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Rhombenkuboktaeder]] und hat 26 Ecken sowie 48 Kanten.

In der [[Kristallographie]] und [[Mineralogie]] wird das Deltoidalikositetraeder oft (verkürzt) nur als '''Ikositetraeder''' bezeichnet, daneben auch als '''Trapezoeder''' oder '''Leucitoeder''' (es ist die typische Kristallform des [[Leucit]]s).

== Entstehung ==
* Werden auf die 14 Begrenzungsflächen eines [[Kuboktaeder]]s quadratische sowie dreieckige [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] mit der Flankenlänge <math>a</math> und <math>b</math> aufgesetzt, entsteht ein ''allgemeines'' Deltoidalikositetraeder, sofern <math>a > \tfrac{e}{2} \sqrt{2}</math> und <math> b > \tfrac{e}{3} \sqrt{3} </math> sind. Das einbeschriebene Kuboktaeder hat dabei die Kantenlänge <math>e</math> (d. i. eine Diagonale des [[Drachenviereck]]s, s. u.).
* Durch Verbinden der Mittelpunkte vierer Kanten, die in jeder Raumecke des [[Rhombenkuboktaeder]]s zusammenstoßen, entsteht ein [[Trapez (Geometrie)|Trapez]], dessen [[Umkreis]] gleichzeitig [[Inkreis]] des Deltoids, der Begrenzungsfläche des Deltoidalikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle [[Diederwinkel|Flächenwinkel]] (≈ 138° 7’ 5") gleich groß, und es existiert ein einheitlicher [[Kantenkugel]]radius.

: Sei <math>d</math> die Kantenlänge des Rhombenkuboktaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Deltoids gegeben durch
::<math> a = d\,\sqrt{4 - 2\sqrt{2}} </math>
::<math> b = \, \frac{2}{7}\,d\, \sqrt{10 - \sqrt{2}} </math>
: Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:<ref>Mit ''a'' sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.</ref>
::<math> (4 + \sqrt{2})\,a = 7b </math>
: Dieses ''spezielle'' (reguläre) Deltoidalikositetraeder ist der umbeschriebene Körper dreier zueinander senkrecht stehenden regelmäßiger [[Achteck]]e (mit Kantenlänge <math>a</math>), die sich in ihren Ecken schneiden.

* Weiterhin kann das Deltoidalikositetraeder als ein dreifach geschnittener „aufgeblähter“ [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] angesehen werden, der mit seinen 24 quadratischen Begrenzungsflächen [[Topologie (Mathematik)|topologisch]] gleichwertig ist.

== Verwandte Polyeder ==

<gallery>
Rhombicuboctahedron.jpg|Dualer Körper: [[Rhombenkuboktaeder]]
Würfel im Deltoidikositetraeder.png|Einbeschriebener Würfel
Oktaeder im Deltoidikositetraeder.png|Einbeschriebenes [[Oktaeder]]
Kuboktaeder im Deltoidikositetraeder.png|Einbeschriebenes [[Kuboktaeder]]
</gallery>

== Formeln für das reguläre Deltoidalikositetraeder ==
=== Für das Deltoid ===
[[Datei:Deltoid 24.png|260px|mini|Größen im Deltoid – Bemerkenswert bei diesem Drachenviereck, das auch ein [[Tangentenviereck]] darstellt, ist die Tatsache, dass 3 der insgesamt 4 Innenwinkel gleich groß sind.]]

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen des Drachenvierecks
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Seitenverhältnis'''
| <math> b = \frac{1}{7} (4 + \sqrt{2})\,a</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt]]'''
| <math> A = \frac{a^2}{14} \sqrt{61 + 38\sqrt{2}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkreis]]radius'''
| <math> r = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{7+4\sqrt{2}}{17}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Diagonale'''
| <math> e = \frac{a}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Diagonale'''
| <math> f = \frac{a}{7} \sqrt{46 + 15\sqrt{2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Spitzer Winkel|Spitze Winkel]] (3)  ≈ 81° 34′ 44″'''
| <math> \cos \, \alpha = \frac{1}{4}\,(2-\sqrt{2}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Stumpfer Winkel]] (1)  ≈ 115° 15′ 47″'''
| <math> \cos \, \beta = -\frac{1}{8}\,(2+\sqrt{2}) </math>
|}

=== Für das Polyeder ===
[[Datei:Deltoidalicositetrahedron net.png|mini|250px|[[Netz (Geometrie)|Netz]] des Deltoidalikositetraeders]]

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines regelmäßigen Deltoidikositetraeders mit Kantenlänge ''a'' bzw. ''b''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]] ≈ 6,9a3 ≈ 14,91b3'''
| <math>V = \frac{2}{7}\, a^3 \sqrt{292 + 206\sqrt{2}} = b^3 \sqrt{122 + 71\sqrt{2}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]] ≈ 18,36a2 ≈ 30,69b2'''
| <math>A_O = \frac{12}{7}\, a^2 \sqrt{61 + 38\sqrt{2}} = 6\,b^2 \sqrt{29 - 2\sqrt{2}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho = a\, \sqrt{\frac{22+15\sqrt{2}}{34}} = \frac{b}{2} \sqrt{\frac{78 + 47\sqrt{2}}{17}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{a}{2} \left(1+ \sqrt{2} \right) = \frac{b}{4} \left(2+ 3\sqrt{2} \right)</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Diederwinkel|Flächenwinkel]]  ≈ 138° 7′ 5″'''
| <math> \cos \, \alpha= -\frac{1}{17}\,(7 + 4\sqrt{2}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3D-Kantenwinkel  = 135°'''
| <math> \cos \, \gamma = -\frac{1}{2}\sqrt{2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,95456'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {36\,\pi \left(122 + 71 \sqrt{2}\right)}} {6 \sqrt{29 - 2 \sqrt{2}}} </math>
|}

== Vorkommen ==
In der Natur kristallisieren z. B. [[Leucit]], [[Analcim]] und [[Spessartin]] bevorzugt in Form von Deltoidalikositetraedern. Auch bei anderen Mineralen der [[Granatgruppe]] oder beim [[Fluorit]] kommen Deltoidalikositetraeder als [[Kristallform]] vor. Das Deltoidalikositetraeder, das ist die Form {hll} (mit h>l), ist entweder eine spezielle Form der [[Kristallklasse]] m{{overline|3}}m, eine Grenzform des [[Pentagonikositetraeder]]s in der Kristallklasse 432 oder eine Grenzform des [[Disdodekaeder]]s in der Kristallklasse m{{overline|3}}.

<gallery>
Leucite - Roccamonfina, Lazio, Italia 01.jpg|[[Leucit]]
Analcime, Aegirine, Natrolite-225835.jpg|[[Analcim]]
Spessartine-249238.jpg|[[Spessartin]]
</gallery>

== Anmerkungen ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Deltoidal icositetrahedron|Deltoidalikositetraeder}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|DeltoidalIcositetrahedron|Deltoidalikositetraeder}}

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Deltoidalikositetraeder - Versionsgeschichte

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