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2025-10-23T06:39:27Z

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[[Datei:Deltoidalhexecontahedron.jpg|mini|3D-Ansicht eines Deltoidalhexakontaeders ([[:Datei:Deltoidalhexecontahedron.gif|Animation]])]]
[[Datei:Deltoidal hexecontahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Deltoidalhexakontaeders]]
Das '''Deltoidalhexakontaeder''' (auch '''Deltoidhexakontaeder''' genannt) ist ein [[Krümmung|konvexes]] [[Polyeder]], das sich aus 60 [[Deltoid]]en zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Rhombenikosidodekaeder]] und hat 62 Ecken sowie 120 Kanten.

== Entstehung ==
[[Datei:Deltoid 60.png|mini|Konstruktion des Deltoids am Rhombenikosidodekaeder]]
Durch Verbinden der Mittelpunkte vierer Kanten, die in jeder Raumecke des [[Rhombenikosidodekaeder]]s zusammenstoßen, entsteht ein [[Trapez (Geometrie)|Trapez]], dessen [[Umkreis]] gleichzeitig [[Inkreis]] des Deltoids, der Begrenzungsfläche des Deltoidalhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle [[Diederwinkel|Flächenwinkel]] gleich groß (≈ 154°), und es existiert ein einheitlicher [[Kantenkugel]]radius.

Sei <math>d</math> die Kantenlänge des Rhombenikosidodekaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Deltoids gegeben durch

: <math> a = \, \frac{d}{3}\, \sqrt{25 - 5\sqrt{5}} </math>
: <math> b = \, \frac{d}{11}\, \sqrt{5 \,(85 - 31\sqrt{5})} </math>

Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:<ref>Mit ''a'' sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.</ref>

: <math> 3a\,(7 - \sqrt{5}) = 22b</math>

== Verwandte Polyeder ==

<gallery>
Rhombicosidodecahedron.jpg|Dualer Körper: [[Rhombenikosidodekaeder]]
Dodekaeder im Deltoidhexakontaeder.png|Einbeschriebenes [[Dodekaeder]]
Ikosaeder im Deltoidhexakontaeder.png|Einbeschriebenes [[Ikosaeder]]
Ikosidodekaeder im Deltoidhexakontaeder.png|Einbeschriebenes [[Ikosidodekaeder]]
</gallery>

== Formeln ==

=== Für das Polyeder ===

[[Datei:Deltoidalhexecontahedron net.png|mini|300px|[[Netz (Geometrie)|Netz]] des Deltoidalhexakontaeders]]

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Deltoidalhexakontaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{45}{11} \,a^3 \sqrt{\frac{370 + 164\sqrt{5}}{25}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = \frac{9}{11} \,a^2 \sqrt{10\,(157 + 31\sqrt{5})} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho = \frac{3}{2} \,a\, \sqrt{\frac{135 + 59\sqrt{5}}{205}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{3}{20} \,a\, (5+ 3\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Diederwinkel|Flächenwinkel]]  ≈ 154° 7′ 17″'''
| <math> \cos \, \alpha= -\frac{1}{41}\,(19 + 8\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3D-Kantenwinkel  ≈ 153° 26′ 6″'''
| <math> \cos \, \gamma = -\frac{2}{5}\sqrt{5} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,98161'''
| <math> \Psi = \frac{2\, \sqrt [3] {11\,\pi \left(185 + 82 \sqrt{5}\right)}} {\sqrt{10 \left(157 + 31 \sqrt{5}\right)}} </math>
|}

=== Für das Deltoid ===
[[Datei:Deltoid 60 Strich.svg|300px|mini|Größen im Drachenviereck]]
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen des Drachenvierecks
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt]]'''
| <math> A = \frac{3}{22} \,a^2 \sqrt{\frac{157 + 31\sqrt{5}}{10}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Seitenlänge'''
| <math> b = \frac{3}{22} \, a \, (7 - \sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Kurze Diagonale'''
| <math> e = 3a\, \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{20}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Lange Diagonale'''
| <math> f = \frac{a}{11} \sqrt{\frac{470 + 156\sqrt{5}}{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkreis]]radius'''
| <math> r = \frac{3}{10} \,a\, \sqrt{\frac{5\,(17+5\sqrt{5})}{82}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Seitenwinkel (2)  ≈ 86° 58′ 27″'''
| <math> \cos \, \alpha = \frac{1}{10}\,(5 - 2\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Fußwinkel (1)  ≈ 67° 46′ 59″'''
| <math> \cos \, \beta = \frac{1}{40}\,(9\sqrt{5} - 5) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Kopfwinkel (1)  ≈ 118° 16′ 7″'''
| <math> \cos \, \gamma = -\frac{1}{20}\,(5 + 2\sqrt{5}) </math>
|}

== Anmerkungen ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Deltoidal hexecontahedron|Deltoidalhexakontaeder}}
* {{MathWorld|DeltoidalHexecontahedron|Deltoidalhexakontaeder}}

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Deltoidalhexakontaeder - Versionsgeschichte

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