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2023-10-25T11:14:07Z

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Die '''Delta-Methode''' ist in der [[Asymptotische Statistik|asymptotischen Statistik]] eine Methode um die [[asymptotische Normalverteilung]] der Funktion einer [[asymptotisch normalverteilt]]en [[Zufallsvariable]]n zu bestimmen.

== Univariater Fall ==
=== Aussage ===
Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> mit zwei endlichen Konstanten <math>\mu</math> und <math>\sigma^2 \geq 0</math>
:<math> {\sqrt{n}(X_n-\mu)\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}(0,\sigma^2)}</math>
gilt, wobei <math>\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}</math> die [[Konvergenz in Verteilung]] bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion <math>g</math> mit <math>g'(\mu) \neq 0</math>:
:<math>\sqrt{n}(g(X_n)-g(\mu))\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}(0,\sigma^2 (g'(\mu))^2)\;.</math><ref>{{Literatur |Autor=Larry Wasserman |Titel=All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-1-4419-2322-6 |Fundstelle= 5.13 ''Theorem (The Delta Method)'', S. 79 |DOI= 10.1007/978-0-387-21736-9}}</ref>

=== Beispiel ===
Es sei <math>X_1,\ldots, X_n</math> eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>0 < \sigma^2 <\infty</math>. Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel <math>\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math> folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik
:<math>\sqrt{n} (\bar{X_n} - \mu) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}(0,\sigma^2)</math>.
Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von <math>Y_n = \mathrm{e}^{\bar X_n}</math> interessiert, dann ist <math>g(x) = \mathrm{e}^x</math>, <math>g'(x) = \mathrm{e}^x</math>, <math>g'(\mu) = \mathrm{e}^\mu</math> und <math>(g'(\mu))^2 = \mathrm{e}^{2\mu}</math>. Die Delta-Methode ergibt dann
:<math>\sqrt{n}(Y_n - \mathrm{e}^\mu) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}(0,\sigma^2 \mathrm{e}^{2\mu})\;.</math><ref>{{Literatur |Autor=Larry Wasserman |Titel=All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-1-4419-2322-6 |Fundstelle= 5.14 ''Example'', S. 79 |DOI= 10.1007/978-0-387-21736-9}}</ref>

=== Verallgemeinerung ===
Für den Fall <math>g'(\mu) =0</math> und <math>g''(\mu) \neq 0 </math> gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die '''Delta-Methode zweiter Ordnung''', die besagt,
dass
:<math>n(g(X_n)-g(\mu))\stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \sigma^2 \frac{g''(\mu)}{2}Z^2\;,</math>
wobei <math>Z</matH> eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.<ref>{{Literatur |Autor=Anil K. Bera, Malabika Koley |Titel=A History of the Delta Method and Some New Results |Sammelwerk=Sankhya B: The Indian Journal of Statistics |Band=85 |Datum=2023 |Fundstelle =S. 4 |DOI=10.1007/s13571-023-00305-9}}</ref>

== Multivariater Fall ==
Für eine Folge <math>p</math>-dimensionaler [[Zufallsvektor]]en <math>\mathbf X_1,\dots,\mathbf X_n</math> gelte
:<math> {\sqrt{n}(\mathbf X_n-\boldsymbol{\mu})\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}_p(\mathbf{0},\boldsymbol{\Sigma})}</math>
mit <math>\boldsymbol{\mu} \in \R^p</math>
und einer positiv semidefiniten Matrix <math>\boldsymbol{\Sigma}\in \R^{p\times p} </math>. Für eine differenzierbare Funktion <math>g:\R^p \to \R</math> bezeichne <math>\nabla_\boldsymbol{\mu}</math> den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion <math>g</math> an der Stelle <math>\boldsymbol{\mu}</math>, der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt
:<math>\sqrt{n}(g(\mathbf{X}_n)-g(\boldsymbol \mu)) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}\left(0,\nabla_\boldsymbol{\mu}^T \boldsymbol\Sigma \nabla_\boldsymbol{\mu}\right)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Larry Wasserman |Titel=All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-1-4419-2322-6 |Fundstelle= 5.15 ''Theorem (The Multivariate Delta Method)'', S. 79–80 |DOI= 10.1007/978-0-387-21736-9}}</ref>

== Funktionale Delta-Methode ==
Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die '''funktionale Delta-Methode'''.<ref>{{Literatur |Autor=Aad W. van der Vaart |Titel=Asymptotic Statistics |Reihe=Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1998 |ISBN=978-0-521-78450-4|Fundstelle=Kap. 20 ''Functional Delta Method'', S. 291–303}}</ref> Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Anil K. Bera, Malabika Koley |Titel=A History of the Delta Method and Some New Results |Sammelwerk=Sankhya B: The Indian Journal of Statistics |Band=85 |Datum=2023 |DOI=10.1007/s13571-023-00305-9}}
* {{Literatur |Titel=A Note on the Delta Method |Autor=Gary W. Oehlert |Sammelwerk=The American Statistician |Band=46 |Nummer=1 |Datum=1992 |Seiten=27–29 |JSTOR=2684406 |DOI=10.1080/00031305.1992.10475842}}
* {{Literatur |Autor=Aad W. van der Vaart |Titel=Asymptotic Statistics |Reihe=Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1998 |ISBN=978-0-521-78450-4|Fundstelle=Kap. 3 ''Delta Method'', S. 25–34}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mathematische Statistik]]

Delta-Methode - Versionsgeschichte

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