imported>Christian1985: /* Beispiele für Dirac-Folgen */ Das ist an der Stelle etwas zu viel. Hier geht es um Beispiele von Dirac-Folgen, was diese Identität hier soll, erschließt sich mir nicht

2026-03-09T20:47:52Z

Beispiele für Dirac-Folgen: Das ist an der Stelle etwas zu viel. Hier geht es um Beispiele von Dirac-Folgen, was diese Identität hier soll, erschließt sich mir nicht

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Die '''Delta-Distribution''' (auch '''δ-Funktion'''; '''Dirac-Funktion''', '''-Impuls''', '''-Puls''', '''-Stoß''' (nach [[Paul Dirac]]), '''Stoßfunktion''', '''Nadelimpuls''', '''Impulsfunktion''' oder '''Einheitsimpulsfunktion''' genannt) als mathematischer Begriff ist eine spezielle [[singuläre Distribution]] mit [[Kompakter Raum|kompaktem]] [[Träger (Mathematik)|Träger]]. Ihr übliches Formelsymbol ist δ (kleines Delta).

== Definition ==

Die Delta-Distribution ist eine [[Stetige Abbildung|stetige]] [[Lineare Abbildung|lineare]] Abbildung von einem [[Funktionenraum]] der [[Testfunktion]]en <math>\mathcal{E}</math> in den zugrunde liegenden [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math>:

:<math>\delta\colon\,\mathcal{E}\to\mathbb{K}\,,\,f\mapsto f(0) </math>.

Der Testfunktionenraum für die Delta-Distribution ist der Raum der [[Glatte Funktion|beliebig oft differenzierbaren Funktionen]] <math>C^\infty (\Omega)</math> mit <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> bzw. <math>\Omega \subset \mathbb{C}^n</math> offen und <math>0 \in \Omega</math>. Somit entspricht <math>\mathbb{K}</math> entweder den reellen <math>\mathbb{R}</math> oder den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>.

Die Delta-Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion <math>f</math> eine reelle bzw. komplexe Zahl <math>\delta(f)=f(0)</math> zu, nämlich die Auswertung der Funktion an der Stelle 0. Der Wert, den die Delta-Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion <math>f\in\mathcal{E}</math> liefert, schreibt man (mit der Notation der [[Duale Paarung|dualen Paarung]]) auch als

:<math>\delta(f) = \langle\delta,f\rangle = f(0)</math>

beziehungsweise auch als

:<math>\delta(f) = \int_{\Omega}\delta(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x=f(0)\, .</math>

Diese Schreibweise ist eigentlich nicht richtig und nur symbolisch zu verstehen, weil die Delta-Distribution eine singuläre Distribution ist, das heißt, sie lässt sich nicht durch eine [[lokal integrierbare Funktion]] in obiger Weise darstellen. Es gibt also keine Funktion <math>\delta</math>, welche der obigen Definition genügt. Insbesondere bei technisch orientierten Anwendungen des Konzepts sind dennoch mathematisch nicht präzise Bezeichnungen wie „Delta-Funktion“, „Dirac-Funktion“ oder „Impulsfunktion“ gebräuchlich. Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich ''nicht'' um ein [[Riemann-Integral]] oder [[Lebesgue-Integral]] bzgl. des [[Lebesgue-Maß]]es, sondern um die Auswertung des Funktionals <math>\delta</math> an der Stelle <math>f</math>, also <math>\delta(f) = f(0)</math>, handelt.

== Definition über Dirac-Maß ==

Das durch ein positives [[Radon-Maß]] <math>\mu</math> erzeugte Funktional <math>\textstyle \langle\mu,f\rangle=\int f(x)\,\mathrm{d}\mu</math> (für <math>f\in\mathcal{D}</math>) ist eine Distribution. Die Delta-Distribution wird von folgendem Radon-Maß – man spricht hier speziell vom [[Diracmaß]] – erzeugt:

:<math>\delta(A)=\begin{cases}
1,\ & \text{ falls } 0 \in A,\\
0,\ & \text{ sonst,}\end{cases}</math>

wobei <math>A\subseteq\mathbb{R}</math>. Ein Maß lässt sich physikalisch interpretieren, z. B. als [[Massenverteilung]] oder [[Ladungsverteilung]] des Raums. Dann entspricht die Delta-Distribution einem Massenpunkt der Masse 1 oder einer Punktladung der Ladung 1 im Ursprung.

:<math>\langle\delta,f\rangle=\int f(x)\,\mathrm{d}\delta=f(0).</math>

Befinden sich an den Stellen <math>x_i\in\mathbb{R}</math> Punktladungen <math>q_i</math>, wobei die Summe über alle Ladungen endlich bleibt, dann wird für <math>A\subset\mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>-Algebra aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> definiert, das der Ladungsverteilung entspricht (<math>i_A</math> durchlaufe alle <math>i</math> mit <math>x_{i}\in A</math>):

:<math>\rho(A):=\sum_{i_{A}}q_{i}.</math>

Für dieses Maß ist dann die zugehörige Distribution:

:<math>\langle\rho,f\rangle=\int f(x)\,\mathrm{d}\rho=\sum_{i_{A}}f(x_{i})q_{i}.</math>

== Approximation der Delta-Distribution ==
[[Datei:Dirac function approximation.gif|rechts|gerahmt|[[Dichtefunktion|Dichte]] einer [[Zentrierung (Statistik)|zentrierten]] [[Normalverteilung]] <math>\delta_{a}(x)=\tfrac {1}{\sqrt{\pi}a} \cdot \mathrm e^{-\frac {x^2}{a^2}}</math>.<br /> Für <math>a\to 0</math> wird die Funktion immer höher und schmaler, der [[Flächeninhalt]] bleibt jedoch unverändert 1.]]

Man kann die Delta-Distribution wie alle anderen Distributionen auch als Grenzwert einer [[Funktionenfolge]] darstellen. Die Menge der Dirac-Folgen ist die wichtigste Klasse von Funktionenfolgen, mit denen die Delta-Distribution dargestellt werden kann. Jedoch gibt es noch weitere Folgen, die gegen die Delta-Distribution konvergieren.

=== Dirac-Folge ===
Eine Folge <math>(\delta_k)_{k \in \N}</math> integrierbarer Funktionen <math>\delta_{k} \in L^1(\R^n)</math> wird Dirac-Folge genannt, falls

# für alle <math>x \in \R^n</math> und alle <math>k \in \N</math> die Bedingung <math>\delta_{k}(x)\geq 0\,,</math>
# für alle <math>k \in \N</math> die Identität <math>\int_{\R^n}\delta_{k}(x)\,\mathrm{d}x=1</math> und
# für alle <math>\epsilon > 0</math> die Gleichheit <math>\lim_{k \to \infty} \int_{\R^n \setminus B_\epsilon (0)} \delta_{k}(x) \mathrm{d} x = 0</math>

gilt. Manchmal versteht man unter einer Dirac-Folge auch nur einen Spezialfall der hier definierten Dirac-Folge. Wählt man nämlich eine Funktion <math>\phi \in L^1(\R^n)</math> mit <math>\phi(x) \geq 0</math> für alle <math>x \in \R^n</math> und <math>\textstyle \int_{\R^n} \phi(x) \mathrm{d} x = 1</math> und setzt <math>\delta_\epsilon(x) := \epsilon^{-n} \phi(\tfrac{x}{\epsilon})</math> für <math>\epsilon > 0</math>, dann erfüllt diese [[Funktionenschar]] die Eigenschaften 1 und 2. Betrachtet man den Grenzwert <math>\epsilon \to 0</math> anstatt <math>k \to \infty</math>, so ist auch Eigenschaft 3 erfüllt. Daher nennt man die Funktionenschar <math>\delta_\epsilon</math> ebenfalls Dirac-Folge.<ref>Hans Wilhelm Alt: ''Lineare Funktionalanalysis: eine anwendungsorientierte Einführung''. 5. überarb. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2006, ISBN 3-540-34186-2, Seite 109.</ref>

=== Bemerkungen ===
Die Funktion <math>\delta_{k}</math> kann man nun mit einer [[Reguläre Distribution|regulären Distribution]]
:<math>\delta_k(f) := \langle\delta_{k},f\rangle := \int_{\R^n}\delta_{k}(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x</math>
identifizieren. Nur im Limes <math>k \to \infty</math> erhält man das ungewöhnliche Verhalten der Delta-Distribution

:<math>\lim_{k\to \infty} \delta_k(f) = \lim_{k\to \infty} \langle\delta_{k},f\rangle=f(0)=\langle\delta,f\rangle</math>

wobei zu beachten ist, dass die Limes-Bildung nicht ''unter'' dem Integral, sondern ''davor'' erfolgt. Würde man den Limes unter das Integral ziehen, so wäre <math>\delta_{\epsilon}</math> [[fast überall]] Null, nur nicht bei <math>x=0</math>. Ein einzelner Punkt hat jedoch das Lebesgue-Maß Null und das ganze Integral würde verschwinden.

Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, die über der x-Achse eine Fläche mit Größe 1 Flächeneinheit einschließt. Man lässt nun die Funktion immer schmaler und dafür immer höher werden – die Fläche darunter muss konstant 1 bleiben. Es existieren auch mehrdimensionale Dirac-Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen „Keulen“ mit dem Volumen 1.

=== Beispiele für Dirac-Folgen ===
Im Folgenden werden verschiedene Approximationen (Dirac-Folgen) <math>\delta_{\epsilon}(x)</math> angegeben, zunächst stetig differenzierbare:

* [[Normalverteilung|Glockenfunktionen (Normalverteilungen)]]
::<math>\delta_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\epsilon}}\,\exp\left(-\frac{x^{2}}{2\epsilon}\right)</math>
: Die angegebenen Funktionen besitzen ein sehr schmales und sehr hohes Maximum bei <math>x=0</math>, die Breite ist etwa <math>\sqrt{\epsilon}\to 0</math> und die Höhe etwa <math>1/\sqrt{\epsilon}\to\infty</math>. Für alle <math> \epsilon</math> ist der Flächeninhalt unter der Funktion 1.

* [[Lorentzkurve]]n
::<math>\delta_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{x^{2}+\epsilon^{2}}</math>
* [[Augustin Jean Fresnel|Fresnel]]-Darstellung
::<math>\delta_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm i\pi\epsilon}}\,\exp\left(\frac{\mathrm ix^{2}}{\epsilon}\right)</math>
: die man sich vorstellen kann als eine Linie, die auf einen Zylinder gewickelt ist, und deren Wicklungen durch das <math>x^2</math> immer enger werden; die Grundfläche (in <math>x</math>-<math>y</math>-Ausrichtung) des Zylinders wird aus dem Imaginär- und Realteil der Funktion gebildet, die Funktion entwickelt sich dann in <math>z</math>-Richtung.

Es sind aber auch Approximationen möglich, die nur stückweise stetig differenzierbar sind:

* [[Rechteckfunktion]]
::<math>\delta_{\epsilon}(x)=\frac{\operatorname{rect}(x/\epsilon)}{\epsilon}=\begin{cases}
\frac{1}{\epsilon} & \ |x|\leq\frac{\epsilon}{2}\\
0 & \ \text{sonst}\end{cases}</math>

* [[Dreiecksfunktion]]
::<math>\delta_{\epsilon}(x)=\begin{cases}
\dfrac{\epsilon+x}{\epsilon^{2}} & \ -\epsilon\leq x\leq0\\
\dfrac{\epsilon-x}{\epsilon^{2}} & \ 0<x\leq\epsilon\\
0 & \ \text{sonst}\end{cases}</math>

* [[Exponentialfunktion]] um Ursprung abfallend
::<math>\delta_{\epsilon}(x)=\frac{1}{2\epsilon}\exp\left(-\frac{|x|}{\epsilon}\right)</math>

=== Weitere Beispiele ===
[[Datei:Sincfunktion.gif|mini|Approximation durch die Sinc-Funktion]]
* Die Funktionenfolge der [[Sinc-Funktion|Sinc-Funktionen]]
::<math style="margin-left:2em">\delta_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{\epsilon}\right)</math>
: ist keine Dirac-Folge, da ihre Folgenglieder auch negative Werte annehmen. Betrachtet man allerdings den Ausdruck
::<math style="margin-left:2em">\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{\epsilon}\right) \phi(x) \mathrm{d} x</math>
: so konvergiert für alle <math>\phi \in \mathcal{D}</math> diese Folge im distributionellen Sinn gegen die Delta-Distribution.

== Eigenschaften ==

; Definierende Eigenschaft
: der Delta-Distribution: [[Faltung (Mathematik)|Faltungseigenschaft]], auch ''Ausblendeigenschaft''<ref>Rüdiger Hoffmann: ''Grundlagen der Frequenzanalyse. Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker. Mit 11 Tabellen'' [[Expert Verlag]], 2005, ISBN 978-3-8169-2447-0, S. 26.</ref>, ''Siebeigenschaft'' genannt
::<math>\langle\delta,f\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x=f(0)</math>
: bzw. mit den Eigenschaften Translation und Skalierung (siehe unten) folgt:
::<math>\int_{- \infty}^\infty f(x)\,\delta (x-a)\,\mathrm{d}x=\int_{- \infty}^\infty f(x)\,\delta (a-x)\,\mathrm{d}x=f(a),</math>
: speziell für den Fall der konstanten Funktion 1:
::<math>\int_{- \infty}^\infty \delta (x-a)\,\mathrm{d}x=1</math>

; Linearität:
::<math>\langle\delta,f+g\rangle=\langle\delta,f\rangle+\langle\delta,g\rangle=f(0)+g(0)</math>

; Translation:
::<math>\langle\delta(\cdot-a),f\rangle=\langle\delta,f(\cdot+a)\rangle=f(a)</math>
: für <math>\delta(\cdot-a)</math> ist auch die Bezeichnung <math>\delta_{a}</math> gebräuchlich.

; Skalierung:
::<math>\langle\delta(a\cdot),f\rangle=\frac{1}{|a|}\langle\delta,f(\tfrac{\cdot}{a})\rangle=\frac{1}{|a|}f(0)</math>
: und
::<math> \delta(\alpha x) = \frac{1}{|\alpha|} \delta(x) </math>
: das heißt die Delta-Distribution ist positiv [[Homogene Funktion|homogen]] vom Grad −1.

; Dimension
: Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die [[Dimension (Physik)|Dimension]] bzw. [[Maßeinheit]] der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der [[Kehrwert|reziproken]] Dimension ihres Arguments. Hat <math>x</math> beispielsweise die Dimension einer [[Länge (Physik)|Länge]], so hat <math>\delta(x)</math> die Dimension (1/Länge).

; Hintereinanderausführung:
::<math>\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\,\delta(g(x))\,\mathrm{d}x=\sum_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}\,\mathrm{d}x=\sum_{i=1}^{n}\frac{\phi(x_{i})}{|g'(x_{i})|},</math>
::<math>\delta(g(x))=\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta(x-x_{i})}{|g^{\prime}(x_{i})|}</math>
: wobei <math>x_i</math> die einfachen Nullstellen von <math>g(x)</math> sind (sofern <math>g(x)</math> nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat). Damit folgt als ein Spezialfall die Rechenregel
::<math> \delta(x^2 - \alpha^2) = \frac{1}{2|\alpha|} [\delta(x - \alpha)+ \delta(x + \alpha) ].</math>

=== Singularität ===

Die Singularität der Delta-Distribution lässt sich mit einem Widerspruchsbeweis zeigen:

Angenommen <math>\delta</math> wäre regulär, dann gäbe es eine lokal integrierbare Funktion <math>\delta(x)\in L^{1}_\text{lok}</math>, also eine Funktion, die über jedes kompakte Intervall <math>[a,b]</math> bzgl. des [[Lebesgue-Maß]]es integrierbar ist
:<math>\int_{a}^{b}|\delta(x)|\mathrm{d}x<\infty</math>

so dass für alle Testfunktionen <math>f(x)</math> gilt:
:<math>\langle\delta,f\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x=f(0).</math>

Wähle zunächst <math>b \in \mathbb R</math> derart, dass <math>\textstyle \int_{-b}^b |\delta(x)|\mathrm{d}x < 1</math> gilt. Betrachte dann die folgende Testfunktion <math>\phi_{b}(x)</math> mit kompaktem Träger <math>[-b,b]</math>:

:<math>\phi_{b}(x)=\begin{cases}\exp\Big(\frac{b^{2}}{x^{2}-b^{2}}\Big) & |x|<b\\0 & |x|\geq b.\end{cases}</math>

Die Wirkung der Delta-Distribution auf diese ist:
:<math>\langle\delta,\phi_{b}\rangle = \phi_{b}(0)=\exp(-1)=\frac{1}{e}.</math>

Mit der angenommenen regulären Distribution

:<math>\langle\delta,\phi_{b}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,\phi_{b}(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-b}^{b}\delta(x)\,\phi_{b}(x)\,\mathrm{d}x</math>

lässt sich folgende Abschätzung durchführen:

:<math>\frac 1 e=|\langle\delta,\phi_{b}\rangle|=\left|\int_{-b}^{b}\delta(x)\,\phi_{b}(x)\,\mathrm{d}x\right|\leq\underbrace{\|\phi_{b}(x)\|_{\infty}}_{\phi_{b}(0)}\,\int_{-b}^{b}|\delta(x)|\,\mathrm{d}x < \frac{1}{e}.</math>

Man erhält also einen Widerspruch; somit ist die Delta-Distribution nicht durch eine lokal integrierbare Funktion darstellbar. Der Widerspruch ergibt sich, weil die Menge {0} für das Lebesgue-Maß vernachlässigbar ist, nicht aber für das Dirac-Maß.

=== Ableitungen ===
==== Ableitung der Delta-Distribution ====

Die Delta-Distribution kann wie jede Distribution beliebig oft distributiv [[Differentialrechnung|differenziert]] werden:
:<math>\langle\delta',f\rangle=-\langle\delta,f'\rangle=-f'(0).</math>

Dies gilt auch für die <math>n</math>-te distributive Ableitung:
:<math>\langle\delta^{(n)},f\rangle=(-1)^{n}\langle\delta,f^{(n)}\rangle=(-1)^{n}f^{(n)}(0).</math>

Hieraus lassen sich folgende nützliche Eigenschaften ableiten, die bei Nachweisen von [[Greensche Funktion|Greenschen Funktionen]] nützlich sind:
:<math>
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}}
</math>
Diese können durch [[Partielle Integration|partielles Integrieren]] mit Testfunktionen gezeigt werden.
==== Ableitung der Dirac-Folge ====

Die Ableitungen der regulären Distributionen <math>\delta_{\epsilon}</math> können mittels [[Partielle Integration|partieller Integration]] berechnet werden (hier exemplarisch für erste Ableitung, analog für höhere)

:<math>\begin{align}
\langle\delta_{\epsilon}^{\prime},f\rangle &= \int_{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}^{\prime}(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x \\
&= \underbrace{\left[\delta_{\epsilon}(x)\, f(x)\right]_{-\infty}^{\infty}}_{=0}-\int_{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}(x)\, f^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x \\
&= -\int_{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}(x)\, f^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x \\
&= -\langle\delta_{\epsilon},f^{\prime}\rangle
\end{align}</math>

und ergeben im Limes <math>\epsilon\to 0</math> das Verhalten der distributiven Ableitung, wie oben behauptet:

:<math>\lim_{\epsilon\to0}\langle\delta_{\epsilon}^{\prime},f\rangle=-f^{\prime}(0)=\langle\delta^{\prime},f\rangle.</math>

==== Ableitung der Heaviside-Distribution ====

Die [[Heaviside-Funktion]] <math>\Theta (x)</math> ist nicht stetig differenzierbar, aber die distributive Ableitung existiert, diese ist nämlich die Delta-Distribution:
:<math>\langle\Theta',f\rangle=-\langle\Theta,f'\rangle=-\int_{-\infty}^{\infty}\Theta(x)\, f'(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{0}^{\infty}f'(x)\,\mathrm{d}x=-\underbrace{f(\infty)}_{=0}+f(0)=\langle\delta,f\rangle.</math>

Da die Heaviside-Distribution keinen kompakten Träger hat, müssen hier die Testfunktionen beliebig oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger sein <math>f\in C_0^\infty \cong\mathcal{D}</math>, das heißt <math>f</math> muss im Unendlichen verschwinden.

=== Fourier-Laplace-Transformation ===
Da die Delta-Distribution einen kompakten Träger hat, ist es möglich, die [[Fourier-Laplace-Transformation]] dieser zu bilden. Für diese gilt
:<math>\hat{\delta} = 1\,.</math>

==== Fourier-Transformation ====
Die Fourier-Laplace-Transformation ist ein Spezialfall der [[Fourier-Transformation]] und somit gilt auch
:<math> \mathcal{F} (\delta)(\phi) = \delta (\mathcal{F}(\phi)) = \delta \left(\int_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-\mathrm i x \xi} \phi(x) \mathrm{d} x\right) = \langle 1,\phi \rangle \,.</math>

Es gibt auch die Konvention, den Faktor <math>\tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}</math> mit der Fourier-Transformation zu multiplizieren. In dem Fall ist <math>\tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}</math> ebenfalls das Ergebnis der Fourier-Transformation der Delta-Distribution. Anschaulich bedeutet das Resultat der Transformation, dass in der Delta-Distribution alle [[Frequenz]]en enthalten sind, und zwar mit gleicher Stärke. Die Darstellung <math>\delta(x)=\mathcal{F}^{-1}(1)</math> (beziehungsweise <math>\delta(x)=\mathcal{F}^{-1}(\tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}})</math> bei der anderen Konvention für den Vorfaktor) ist eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution.

==== Laplace-Transformation ====
Die Laplace-Transformation <math>\mathcal{L}</math> der Delta-Distribution erhält man als Spezialfall der Fourier-Laplace-Transformation. Es gilt nämlich auch hier
:<math>\mathcal{L}( \delta) = 1\,.</math>

Im Gegensatz zur Fourier-Transformation gibt es hier keine anderen Konventionen.

==== Anmerkung bezüglich der Darstellung ====
Oftmals werden die Fourier beziehungsweise die Laplace-Transformation durch die gewöhnliche Integralschreibweise dargestellt. Jedoch sind diese Darstellungen
:<math>\mathcal{F}(\delta)(\xi) = \int_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-\mathrm i \xi x}\,\delta(x)\,\mathrm{d} x</math>
für die Fourier-Transformation beziehungsweise
:<math>\mathcal{L}(\delta)(\xi)=\int_{0}^{\infty}\mathrm e^{-\xi x}\,\delta(x)\,\mathrm{d}x</math>
für die Laplace-Transformation nur symbolisch zu verstehen und mathematisch nicht definiert.

==== Transformation der verschobenen Delta-Distribution ====
Es ist ebenfalls möglich die Fourier-Transformation beziehungsweise die Laplace-Transformation für die um <math>a > 0</math> verschobene Delta-Distribution <math>\delta_a</math> zu berechnen. Es gilt
:<math>\begin{align}
\mathcal{F}(\delta_a) &= \mathrm e^{-\mathrm i \xi a} \\
\mathcal{L}(\delta_a) &= \mathrm e^{- \xi a}.
\end{align}</math>

== Praktische Anwendung ==

Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der [[Impulsantwort]] in der [[Akustik]] (in anderen Sparten der Physik spricht man auch von einer <math>\delta</math>-Größe, wenn man meint, dass die betreffende Größe einer schmalst-möglichen Verteilung genügt). So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des „Echos“, also der [[Systemantwort]]) ermittelt werden.

Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:

* [[Hochspannungstechnik]] ca. 1–100 [[Nanosekunde|ns]] [[Halbwertsbreite]]
* [[Hochfrequenztechnik]] ca. 10–100 [[Picosekunde|ps]] Halbwertsbreite
* [[Pulslaser]]technik ca. 10–100 [[Femtosekunde|fs]] Halbwertsbreite

Eine wichtige Anwendung der Delta-Distribution ist die Lösung [[Inhomogene Gleichung|inhomogener]] linearer gewöhnlicher und partieller [[Differentialgleichung]]en mit der Methode der [[Greensche Funktion|Greenschen Funktion]].

== Mehrdimensionale Delta-Distribution ==

=== Definition ===
Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen <math>\mathcal{E}</math> gleich <math>C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})</math>, der Raum der beliebig oft total differenzierbaren Funktionen <math>f\colon\,\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}</math>.

Die Delta-Distribution hat auf die Testfunktion <math>f\colon\,\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}</math> die folgende Wirkung:
:<math>\delta\colon\,\mathcal{E}\to\mathbb{R}\,,\ f\mapsto f(\vec{0})</math>

In der informellen Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung:
:<math>\int f(\vec{x})\,\delta(\vec{x}-\vec{a})\,\mathrm{d}^{n}x=\int f(\vec{x})\,\delta(\vec{a}-\vec{x})\,\mathrm{d}^{n}x=f(\vec{a})</math>.

=== Eigenschaften ===
Die „mehrdimensionale“ Delta-Distribution lässt sich als Produkt von „eindimensionalen“ Delta-Distributionen schreiben:
:<math>\delta(\vec{x}-\vec{a})=\delta(x_{1}-a_{1})\,\delta(x_{2}-a_{2})\, \dots \,\delta(x_{n}-a_{n})</math>.

Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta-Distribution, die häufig in der [[Elektrodynamik]] eingesetzt wird, um [[Punktladung]]en darzustellen:
:<math>\delta(\vec{x}-\vec{a})=-\frac{1}{4\pi}\Delta\frac{1}{\|\vec{x}-\vec{a}\|_{2}}</math>.

=== Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen ===
In [[Krummlinige Koordinaten|krummlinigen Koordinatensystemen]] muss die [[Funktionaldeterminante]]
:<math>\mathrm{d}^{3}r = \mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}z = \det{\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(a,b,c)}}~\mathrm{d}a~\mathrm{d}b~\mathrm{d}c</math>
berücksichtigt werden.<ref>Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik.'' Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71251-0.</ref>

Der Ansatz

:<math>\delta({\vec{r}-\vec{r}_0}) = \gamma(a,b,c)~\delta(a-a_0)~\delta(b-b_0)~\delta(c-c_0)</math>

mit <math>\vec{r} = (a,b,c)</math> und <math>\vec{r}_0 = (a_0, b_0, c_0)</math> führt dabei auf die Gleichung

:<math>\int_V \delta(\vec{r}-\vec{r}_0)~\mathrm{d}^{3}r = \iiint_V \det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(a,b,c)}~\gamma(a,b,c)~\delta(a-a_0)~\delta(b-b_0)~\delta(c-c_0)~\mathrm{d}a~\mathrm{d}b~\mathrm{d}c~\stackrel{!}{=}~1</math>, falls <math>\vec{r}_0 \in V</math>.

Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss
:<math>\gamma = \left( \left. \det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(a,b,c)} \right|_{\vec{r}_0} \right)^{-1}</math>.

In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminante entspricht.

==== Beispiele ====
In [[Kugelkoordinaten]] mit <math>\vec{r} = (r, \theta, \phi)</math> und <math>\vec{r}_0 = (r_0, \theta_0, \phi_0)</math> gilt:
:<math>\delta(\vec{r} - \vec{r}_0) = \frac{1}{r^2 \sin \theta}~\delta(r-r_0)~\delta(\theta-\theta_0)~\delta(\phi-\phi_0)</math>

In [[Zylinderkoordinaten]] mit <math>\vec{r} = (\rho, \phi, z)</math> und <math>\vec{r}_0 = (\rho_0, \phi_0, z_0)</math> gilt:
:<math>\delta(\vec{r} - \vec{r}_0) = \frac{1}{\rho}~\delta(\rho-\rho_0)~\delta(\phi-\phi_0)~\delta(z-z_0)</math>

== Siehe auch ==
* [[Dirac-Identität]]
* [[Kronecker-Delta]]

== Literatur ==
* Dieter Landers, Lothar Rogge: ''Nichtstandard Analysis.'' Springer-Verlag, Berlin u. a. 1994, ISBN 3-540-57115-9 (''Springer-Lehrbuch'').
* [[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]: ''Einführung in die Theorie der Distributionen.'' 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17023-9.
* F. G. Friedlander: ''Introduction to the Theory of Distributions.'' With additional material by M. Joshi. 2. edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1998, ISBN 0-521-64015-6.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Dirac distribution|Delta-Distribution}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Distributionentheorie]]
[[Kategorie:Paul Dirac als Namensgeber]]

Delta-Distribution - Versionsgeschichte

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