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2025-03-02T19:10:23Z

Ergänze Begriff "Längung"

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{{Dieser Artikel|behandelt Dehnung als Längenänderung von [[Festkörper]]n. Zur Dehnung von Lauten siehe [[Quantität (Linguistik)]], zur [[Tektonik|tektonischen]] Dehnung siehe [[Extension (Geologie)]].}}
[[Datei:Dehnung.svg|mini|Dehnung von Körpern]]
Die '''Dehnung''' ([[Formelzeichen]]: ''<math>\varepsilon</math>'') ist eine Angabe für die relative Längenänderung (Verlängerung bzw. Verkürzung) bei [[Verformung]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] unter [[Belastung (Physik)|Belastung]], beispielsweise durch eingeprägte [[Kraft|Kräfte]] oder durch eine Temperaturänderung ([[Wärmeausdehnung]]). Wenn die Abmessung des Körpers sich vergrößert, spricht man von einer '''positiven Dehnung''' (Streckung, Längung), andernfalls von einer '''negativen Dehnung''' (Kontraktion) oder [[Stauchung]].

== Definition ==
Die Dehnung ist definiert als:

:<math>\varepsilon = \frac{\Delta \ell}{\ell_0}</math>

Dabei ist <math>\Delta \ell</math> die Längenänderung und <math>\ell_0</math> ist die ursprüngliche [[Länge (Physik)|Länge]]. Die Dehnung wird als [[Größe der Dimension Zahl]] angegeben, auch mit 100 % multipliziert als [[Prozentzahl]]. Die Werte von <math>\Delta \ell</math> und <math>\ell_0</math> werden üblicherweise direkt am [[Prüfkörper]] gemessen.

Im technischen Bereich ist auch die Angabe der Dehnung in Mikrometer pro Meter (µm/m) üblich. Dafür wird, abgeleitet von Mikroepsilon, auch die Schreibweise µeps oder µε bzw. µD (Deutsch) verwendet. 1 µm/m entspricht 0,0001 Prozent oder 1*10-6 '''ε'''. Eine Dehnung von 0,001 '''ε''' entspricht 1.000 µm/m. Eine 1-prozentige Dehnung entspricht 10.000 µm/m.

Für viele Werkstoffe ist die Dehnung in gewissen Grenzen [[proportional]] zur wirkenden [[Mechanische Spannung|Spannung]], was durch das [[Hookesches Gesetz|Hookesche Gesetz]] im linear-[[Elastizität (Physik)|elastischen]] Bereich ausgedrückt wird. Das Verhältnis von der Spannung zur Dehnung wird als [[Elastizitätsmodul]] bezeichnet.

Infolge der [[Querkontraktion]] ergibt sich auch quer zur Kraftrichtung und zur primären Dehnung eine sekundäre Dehnung mit umgekehrten Vorzeichen. Das Verhältnis aus Quer- und Längsdehnung wird [[Poissonzahl]] genannt.

[[Datei:Hauptscherung.png|mini|Scherung γ im einachsigen [[Zugversuch]] ]]
In einem allgemeinen Belastungsszenario können Zug-, Druck- und [[Scherkraft|Scherkräfte]] auch kombiniert auftreten. Dies hat ebenso komplexe Dehnungen in allen drei Raumrichtungen zur Folge. Der Dehnungszustand ist zudem vom zugrunde gelegten [[Bezugssystem]] abhängig. So tritt bei der Dehnung der quadratischen Scheibe im Bild auch eine [[Scherung (Mechanik)|Scherung]] γ auf. Die diesem Umstand gerecht werdende, vollständige mathematische Beschreibung des Dehnungsszustands erfolgt über [[Tensor]]en der Kraft bzw. Dehnung. Der [[Dehnungstensor|Verzerrungstensor]] '''ε''' ist – wie auch der [[Spannungstensor]] '''σ''' – grundlegend für die [[Elastizitätstheorie]] [[Festkörperphysik|fester Körper]]; sie bilden insbesondere das Grundgerüst für [[Computermodell]]e der [[Verformung]]ssimulation, wie sie z. B. mit der [[Finite-Elemente-Methode]] ausgeführt werden kann.

Grafisch können die Zusammenhänge zwischen den Spannungen und Dehnungen mit [[Spannungs-Dehnungs-Diagramm]]en und die Abhängigkeit von der Ausrichtung des Bezugssystems in Form der [[Mohrscher Spannungskreis|Mohrschen Spannungs- bzw. Dehnungskreise]] dargestellt und ausgewertet werden.

Bei Betrachtung von Dehnungen als Antwort auf zwei (oder mehr) ''aufeinander folgende'' Krafteinwirkungen sind zwei verschiedene Bezugssysteme für die Berechnung gebräuchlich:

=== Technische Dehnung ===
Wird die Dehnung jeweils bezogen auf die Ausgangslänge <math>\ell_0</math> vor der ''ersten'' Krafteinleitung angegeben, so spricht man von ''technischer Dehnung''. Diese Methode ist besonders einfach, weil die Ausgangslänge <math>\ell_0</math> dann eine [[Physikalische Konstante|Konstante]] ist. Die technische Dehnung wird auch [[Cauchy-Dehnung]] <math>\varepsilon_C</math> genannt.

Sie weist jedoch den Nachteil auf, dass die Summe zweier Teildehnungen nicht der Gesamtdehnung entspricht:
:<math>\varepsilon_C = \frac{\Delta \ell_1 + \Delta \ell_2}{\ell_0}</math> ist nicht identisch mit <math>
\varepsilon_{\rm tot} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2
= \frac{\Delta \ell_1}{\ell_0} + \frac{\Delta \ell_2}{\ell_1}
= \frac{\Delta \ell_1}{\ell_0} + \frac{\Delta \ell_2}{\ell_0 + \Delta \ell_1}</math>.

Solange jedoch <math>\Delta \ell_1 \ll \ell_0</math>, gilt näherungsweise:
:<math>\ell_1 \approx \ell_0 \;</math>   bzw.   <math>\varepsilon_2 \approx \frac{\Delta \ell_2}{\ell_0}</math> und damit <math>\varepsilon \approx \varepsilon_1 \; + \varepsilon_2 \;</math>.

=== Logarithmische Dehnung ===
Die ''logarithmische'' oder ''„wahre“ Dehnung'' <math>\varepsilon'</math> (auch [[Heinrich Hencky|Hencky]]-Dehnung <math>\varepsilon_H</math> genannt)<ref>H. Hencky: ''Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen''. In: ''Zeitschrift für technische Physik.'' 9, 1928, S. 215–220 (Originalveröffentlichung über die Hencky-Dehnung).</ref> wird jeweils auf die ''aktuelle ''Länge des Körpers bezogen, nachdem er also durch frühere Krafteinwirkungen bereits vorverformt worden ist.

Sie wird definiert durch:

:<math>\mathrm d \varepsilon' = \frac{\mathrm d \ell}{\ell}</math>

und damit

:<math>\varepsilon' = \ln \left (\frac{\ell}{\ell_0} \right )=\ln \left (1 + \varepsilon \right )=\ln\left(\lambda\right)</math>,

wobei mit <math>\lambda</math> die [[Hauptstreckungen]] in der jeweiligen Richtung bezeichnet werden.

Mathematisch gesehen ist die technische Dehnung eine [[Reihenentwicklung]] der Formel für die „wahre“ Dehnung in eine [[Taylorreihe]] mit Abbruch nach dem ersten Glied. Für ''kleine ''Dehnungen besteht daher zwischen beiden Definitionen der Zusammenhang:

:<math>\varepsilon' = \ln \left (1 + \varepsilon \right ) \approx \varepsilon</math>.

=== Nominelle Dehnung ===
Als ''nominell'' wird die Dehnung bezeichnet, wenn die Messwerte <math>\Delta \ell</math> und <math>\ell_0</math> nicht am Probekörper, sondern zwischen den Einspannklemmen der [[Prüfmaschine]] bestimmt werden. Diese Art der Dehnungsbestimmung findet bei Werkstoffen Anwendung, die sich über den [[Messbereich]] der [[Dehnungssensor|Extensometer]] hinaus verformen lassen.<ref>DIN EN ISO 527-1:2012 ''Kunststoffe – Bestimmung der Zugeigenschaften'' – Teil 1: ''Allgemeine Grundsätze''.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Dehnrate]]
* [[Gleichmaßdehnung]]
* [[Bruchdehnung]]
* [[Umformgrad]]
* [[Kontinuumsmechanik]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Verformung]]

Dehnung - Versionsgeschichte

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