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2023-08-30T16:46:57Z

Theoretische Grundlage: tex

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''' Deflation''' bezeichnet eine Technik aus der [[Numerik|numerischen Mathematik]], mit der eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \in \mathbb{C}^{n\times n}</math> in [[Dreiecksmatrix|Blockdreiecksform]] gebracht wird, so dass das [[Spektrum (lineare Algebra)|Spektrum]] von <math>A</math> gerade die Vereinigung der Spektren der Diagonalblöcke ist.

== Deflationsprinzip ==
Sei <math>F \in \operatorname{End}(V)</math> ein [[Endomorphismus]] und <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> die zugehörige [[Abbildungsmatrix]]. Durch [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]] kann diese Matrix in eine Matrix <math>B</math> der Form
:<math>B \colon{=} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}</math>
mit <math>B_{ii} \in \Complex^{k_i \times k_i}</math> für <math>i \in \{1,2\}</math> und <math>k_1 + k_2 = n</math> transformiert werden. Für die [[Spektrum (lineare Algebra)|Spektren]] <math>\sigma(B_{ii})</math> gilt
:<math>\sigma(A) = \sigma(B_{11}) \cup \sigma(B_{22}).</math>
Anstelle des <math>(n \times n)</math>-[[Eigenwertproblem]]s <math>Ax = \lambda x</math> kann man also die zwei kleineren Eigenwertprobleme
:<math>B_{ii}y = \lambda y,\quad i = 1, 2</math>
lösen. Diese Methode kann man iterativ fortsetzen.

== Deflation durch Ähnlichkeitstransformation ==
=== Theoretische Grundlage ===

Sei <math>A \in \mathbb{C}^{n\times n}</math> eine quadratische Matrix und <math>(\lambda,v)</math> ein [[Eigenwertproblem|Eigenpaar]] von <math>A</math> bestehend aus dem Eigenwert <math>\lambda \in \Complex</math> und einem dazugehörigen Eigenvektor <math>v \in \Complex^n</math>. Dieses Eigenpaar kann man beispielsweise durch die [[Potenzmethode]] erhalten. Die Matrix <math>A</math> wird nun mittels der [[Ähnlichkeitstransformation]]
:<math>B \colon{=} T^{-1}AT</math>

in eine Matrix <math>B</math> überführt. Die [[Transformationsmatrix]] <math>T</math> ist gegeben durch <math>T \colon{=} I-2\tfrac{ww^T}{w^Tw}</math> mit <math>w=v+\|v\|_2e_1</math>, wobei <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] und <math>e_1 \colon{=} \begin{pmatrix}1 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}^T</math> ist. Diese spezielle Basistransformation ist eine [[Householdertransformation]]. Daher gilt <math>T = T^{-1}</math> und die Matrix <math>B</math> hat die Gestalt
:<math> B = \begin{pmatrix} \lambda & b^t \\ 0 & B_1 \end{pmatrix}</math>.
Diese Matrix hat dieselben Eigenwerte wie die Matrix <math>A</math>. Nun kann man wieder die Potenzmethode auf die Matrix <math>B_1</math> anwenden und erhält so iterativ alle Eigenwerte.

=== Zahlenbeispiel ===

Sei

:<math>A=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 1\\
3 & 1 & 9
\end{pmatrix}</math>

Durch die Potenzmethode erhält man <math>(\lambda_1,v)=\left(10.22459,\begin{pmatrix}0.2585012 & 0.3343480 & 0.9063049\end{pmatrix}^T\right)</math> als Eigenpaar von <math>A</math>.
Nun berechnet man die Transformationsmatrix <math>T</math>. Es ist

:<math>T=I-2\frac{ww^T}{w^Tw}</math>,

wobei <math>w=v+\|v\|_2e_1</math> ist.

Man erhält

:<math>T=
\begin{pmatrix}
- 0.258501 & - 0.3343480 & - 0.9063049 \\
- 0.3343480 & 0.9111732 & - 0.2407795\\
- 0.9063049 & - 0.2407795 & 0.3473280
\end{pmatrix}</math>

und somit

:<math>TAT=
\begin{pmatrix}
10.22459 & 3.5492494 & 0.5352000 \\
0 & - 1.5051646 & - 2.3002829\\
0 & 1.7142389 & 0.2805751
\end{pmatrix}</math>

Die Eigenwerte der Matrix
:<math>C=
\begin{pmatrix}
- 1.5051646 & - 2.3002829\\
1.7142389 & 0.2805751
\end{pmatrix}</math>
sind <math>\lambda_2=- 0.6122947 + 1.7737021i</math> und <math>\lambda_3=- 0.6122947 - 1.7737021i</math> somit ist

:<math>\sigma(A)=\{10.22459,- 0.6122947 + 1.7737021i,- 0.6122947 - 1.7737021i\}</math>

== Literatur ==
* Martin Hanke-Bourgeois: ''Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens.'' 1. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 2002, ISBN 978-3-519-00356-4.
* Robert Schaback, Helmut Werner: ''Numerische Mathematik.'' Vierte vollständig überarbeitete Auflage, Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, Berlin Heidelberg 1992, ISBN 978-3-540-54738-9.
* Willi Törnig: ''Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker.'' Band 1, Springer Verlag Berlin Heidelberg, Berlin Heidelberg 1979.

== Siehe auch ==
* [[Inverse Iteration]]

== Weblinks ==
* [https://www.mat.tuhh.de/lehre/material/grnummath.pdf Grundlagen der Numerischen Mathematik] (abgerufen am 8. September 2016)
* [https://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~borzi/Numerik.pdf Einführung in die Numerische Mathematik] (abgerufen am 8. September 2016)
* [https://www.math.uni-bielefeld.de/~frettloe/papers/diss.pdf Nichtperiodische Pflasterungen mit ganzzahligem Inflationsfaktor] (abgerufen am 8. September 2016)

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]

Deflation (Mathematik) - Versionsgeschichte

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