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2024-07-13T16:31:45Z

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Eine [[natürliche Zahl]] heißt '''defizient''', wenn ihre echte [[Teilersumme]] (die [[Summe]] aller Teiler ohne die Zahl selbst) kleiner ist als die Zahl selbst.
Ist die Teilersumme dagegen gleich der Zahl, spricht man von einer [[Vollkommene Zahl|vollkommenen Zahl]], ist sie größer, so spricht man von einer [[Abundante Zahl|abundanten Zahl]].

Die Differenz der echten Teilersumme und der Zahl selbst nennt man '''Defizienz'''.

== Beispiele ==
Die Zahl 10 ist defizient, denn <math>1+2+5 = 8 < 10</math>. Sie hat eine Defizienz von <math>10-8 = 2</math>.

Ist die Teilersumme nur um eins kleiner als die Zahl, so spricht man von einer '''leicht defizienten Zahl''' (und einer Defizienz von 1).

Alle Potenzen der Zahl 2 sind leicht defizient:
{| cellpadding="4" cellspacing="0" class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Potenz
! Teilersumme
! Defizienz
|-
| <math>2^2 = 4</math>
| <math>1 + 2 = 3</math>
| 1
|-
| <math>2^3 = 8</math>
| <math>1 + 2 + 4 = 7</math>
| 1
|-
| <math>2^4 = 16</math>
| <math>1 + 2 + 4 + 8 = 15</math>
| 1
|-
| <math>2^n</math>
| <math>2^n - 1</math>
| 1
|}
Die ersten defizienten Zahlen bis 40 lauten:
{| class="toptextcells"
|-
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Zahl
! Teilersumme
! Defizienz
|-
|<math>1</math>||<math>0</math>||<math>1</math>
|-
|<math>2</math>||<math>1</math>||<math>1</math>
|-
|<math>3</math>||<math>1</math>||<math>2</math>
|-
|<math>4</math>||<math>1+2=3</math>||<math>1</math>
|-
|<math>5</math>||<math>1</math>||<math>4</math>
|-
|<math>7</math>||<math>1</math>||<math>6</math>
|-
|<math>8</math>||<math>1+2+4=7</math>||<math>1</math>
|-
|<math>9</math>||<math>1+3=4</math>||<math>5</math>
|-
|<math>10</math>||<math>1+2+5=8</math>||<math>2</math>
|}
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Zahl
! Teilersumme
! Defizienz
|-
|<math>11</math>||<math>1</math>||<math>10</math>
|-
|<math>13</math>||<math>1</math>||<math>12</math>
|-
|<math>14</math>||<math>1+2+7=10</math>||<math>4</math>
|-
|<math>15</math>||<math>1+3+5=9</math>||<math>6</math>
|-
|<math>16</math>||<math>1+2+4+8=15</math>||<math>1</math>
|-
|<math>17</math>||<math>1</math>||<math>16</math>
|-
|<math>19</math>||<math>1</math>||<math>18</math>
|}
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Zahl
! Teilersumme
! Defizienz
|-
|<math>21</math>||<math>1+3+7=11</math>||<math>10</math>
|-
|<math>22</math>||<math>1+2+11=14</math>||<math>8</math>
|-
|<math>23</math>||<math>1</math>||<math>22</math>
|-
|<math>25</math>||<math>1+5=6</math>||<math>19</math>
|-
|<math>26</math>||<math>1+2+13=16</math>||<math>10</math>
|-
|<math>27</math>||<math>1+3+9=13</math>||<math>14</math>
|-
|<math>29</math>||<math>1</math>||<math>28</math>
|}
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Zahl
! Teilersumme
! Defizienz
|-
|<math>31</math>||<math>1</math>||<math>30</math>
|-
|<math>32</math>||<math>1+2+4+8+16=31</math>||<math>1</math>
|-
|<math>33</math>||<math>1+3+11=15</math>||<math>18</math>
|-
|<math>34</math>||<math>1+2+17=20</math>||<math>14</math>
|-
|<math>35</math>||<math>1+5+7=13</math>||<math>22</math>
|-
|<math>37</math>||<math>1</math>||<math>36</math>
|-
|<math>38</math>||<math>1+2+19=22</math>||<math>16</math>
|-
|<math>39</math>||<math>1+3+13=17</math>||<math>22</math>
|}
|}

Die ersten defizienten Zahlen lauten:
: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, … {{OEIS|A005100}}

== Eigenschaften ==
* Alle [[Primzahl]]en sind defizient, da ihre echte Teilersumme immer 1 ist.
* Das Quadrat einer jeden Primzahl p ist defizient, da <math>1</math>, <math>p</math> und <math>p^2</math> die einzigen Teiler von <math>p^2</math> sind und für die echte Teilersumme <math>1+p</math> stets <math>1+p<p^2</math> gilt.
* Es gibt unendlich viele [[Gerade Zahl|gerade]] defiziente Zahlen.
* Es gibt unendlich viele [[Gerade Zahl|ungerade]] defiziente Zahlen.
* Alle ungeraden Zahlen mit einem oder zwei verschiedenen Primfaktoren sind defiziente Zahlen.
* Alle [[Echter Teiler|echten Teiler]] einer defizienten Zahl oder einer perfekten Zahl sind defiziente Zahlen.
* Es existiert mindestens eine defiziente Zahl im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[ n, n+\log(n)^2 ]</math> für alle ausreichend großen <math>n \geq n_0</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=[[József Sándor (Mathematiker)|József Sándor]], [[Dragoslav Mitrinović]], Borislav Crstici |url=ftp://nozdr.ru/biblio/kolxo3/M/MT/Sandor%20J.,%20Mitrinovic%20D.S.,%20Crstici%20B.%20Handbook%20of%20number%20theory,%20vol.1%20(ISBN%201402042159)(Springer,%202006)(637s)_MT_.pdf |titel=Handbook of Number Theory I |hrsg=Springer-Verlag |seiten=108 |format=PDF |sprache=englisch |abruf=2018-05-21 |offline=1}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[József Sándor (Mathematiker)|József Sándor]], [[Dragoslav Mitrinović]], Borislav Crstici
|Titel=Handbook of Number Theory I
|Auflage=2.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Dordrecht
|Datum=2006
|ISBN=1-4020-4215-9
|Seiten=108}}

== Weblinks ==
* [https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=DeficientNumber ''Deficient number''.] The Prime Glossary
* {{MathWorld |id=DeficientNumber |title=Deficient Number}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]

Defiziente Zahl - Versionsgeschichte

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