imported>Thomas Dresler: Format

2025-07-02T10:44:14Z

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'''Definitionslücke''' ist ein Begriff in dem [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]]. Eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] hat Definitionslücken, wenn [[Diskrete Teilmenge|einzelne Punkte]] aus ihrem [[Definitionsbereich]] ausgeschlossen sind.

Üblicherweise geht es dabei um [[reelle Zahl|reelle]], [[Stetige Funktion|stetige]] bzw. [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] Funktionen. Die Definitionslücken sind die Stellen, an denen man durch null teilen müsste oder Ähnliches, beispielsweise bei [[Gebrochenrationale Funktion|gebrochenrationalen Funktionen]]. Die Definitionslücken einer Funktion lassen sich klassifizieren und gegebenenfalls „reparieren“, so dass die Funktion dort mit den gewünschten Eigenschaften fortgesetzt werden kann. In diesem Fall ist die Funktion stetig fortsetzbar und hat '''stetig hebbare Definitionslücken'''.

Insbesondere wenn eine Definitionslücke nicht stetig hebbar ist, zum Beispiel weil die Funktion dort gegen unendlich strebt oder sehr schnell oszilliert, wird die Lücke auch als '''Singularität''' bezeichnet, wobei der Sprachgebrauch in diesen Fällen nicht immer einheitlich ist. Oft werden Definitionslücke und Singularität als Synonyme verwendet.

Bei [[komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in einer Umgebung einer Definitionslücke [[holomorphe Funktion|holomorph]] sind, spricht man von [[isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. Dort ist die Klassifikation einfacher und es gelten weitreichende Aussagen, für die es keine Entsprechungen bei reellen Funktionen gibt.

== Definition ==
[[Datei:Not defined at x0.svg|mini|Funktion mit Definitionslücke <math>x_0</math>]]

Sei <math>I = [a,b] \subset \R</math> ein [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], <math>x_0 \in \left]a,b\right[</math> ein Punkt aus dem Inneren des Intervalls und <math>O</math> eine [[Obermenge]] von <math>I</math>. Eine stetige Funktion <math>f \colon O \setminus \{x_0\} \to \R</math>, die überall auf der Obermenge <math>O</math> außer an der Stelle <math>x_0</math> definiert ist, hat in <math>x_0</math> eine Definitionslücke.<ref>vgl. {{Literatur | Autor = [[Harald Scheid]]/Wolfgang Schwarz | Titel = Elemente der linearen Algebra und der Analysis | Jahr = 2009 | Verlag = Spektrum, Akad. Verl. | Ort = Heidelberg | ISBN = 978-3-8274-1971-2 | Seiten = 237}}</ref>

== Stetig hebbare Definitionslücke ==
Sei <math>x_0</math> eine Definitionslücke der stetigen Funktion <math>f \colon I \setminus \{x_0\} \to \R</math>.
Existiert eine stetige Funktion <math>\tilde{f} \colon I \to \R</math> mit <math>\tilde{f}(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in I \setminus \{x_0\}</math>, dann ist <math>\tilde{f}</math> eine [[stetige Fortsetzung]] von <math>f</math>. Die Definitionslücke wird dann ''stetig hebbar'' oder ''stetig behebbar'' und die Funktion <math>f</math> ''stetig ergänzbar'' oder ''stetig fortsetzbar'' genannt.

Existiert der Grenzwert
:<math>\lim_{x\to x_0} f(x) =: r\,,</math>
dann ist <math>x_0</math> eine stetig hebbare Definitionslücke von <math>f</math>. In diesem Fall wird durch
:<math>
\tilde{f}(x) := \begin{cases}
f(x), & x \in I \setminus \{x_0\}\\
r, & x = x_0
\end{cases}
</math>
eine stetige Fortsetzung <math>\tilde{f}</math> von <math>f</math> ohne Definitionslücke definiert.

== Eigenschaften stetiger Fortsetzungen ==
* Wenn eine stetige Fortsetzung existiert, dann ist sie eindeutig, weil der [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]]
::<math>\tilde{f}(x_0) = \lim_{x\to x_0\atop x\in I}f(x)</math>
:eindeutig ist.
* Daraus folgt das Kriterium: <math>f</math> ist genau dann in <math>x_0</math> stetig fortsetzbar, wenn der Grenzwert <math>\textstyle \lim_{x\to x_0}f(x)</math> existiert.
* Kann eine Funktion als Bruch dargestellt werden, deren Zähler- und Nennerfunktion an einer gemeinsamen Nullstelle <math>x_0</math> [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] sind, so gilt die [[Regel von de L’Hospital]]:
*:<math>
\lim_{x\to x_0} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{u'(x)}{v'(x)} .</math>
* Eine allgemeinere Möglichkeit, um eine stetige Fortsetzung zu finden, bietet der [[Einschnürungssatz]]. Er gilt auch für nicht stetige Funktionen.
* Eine Fortsetzung ist zwar immer stetig, aber gegebenenfalls nicht differenzierbar. Die [[Betragsfunktion]] ist auf <math>\R \setminus \{0\}</math> differenzierbar aber kann auf null nicht differenzierbar fortgesetzt werden. Selbst wenn eine Fortsetzung [[glatte Funktion|glatt]] ist, muss sie nicht [[analytische Funktion|analytisch]] sein.
* Im Komplexen gelten aufgrund der Eigenschaften [[holomorphe Funktion|holomorpher Funktionen]] weitergehende Aussagen: Eine stetige Fortsetzung ist schon eine [[analytische Fortsetzung]]. Der [[Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannsche Hebbarkeitssatz]] sagt aus, dass die Definitionslücke einer holomorphen Funktion schon hebbar ist, wenn die Funktion in einer passenden [[Umgebung (Mathematik)#Punktierte Umgebung|Umgebung]] der Definitionslücke [[Beschränktheit|beschränkt]] ist. Im Reellen gilt keine vergleichbare Aussage; es könnte dort auch eine nicht hebbare [[Sprungstelle]] vorliegen.

== Weitere Arten von Definitionslücken ==
Neben den stetig hebbaren Definitionslücken gibt es noch verschiedene Arten von [[Sprungstelle]]n sowie [[Polstelle]]n und [[wesentliche Singularität]]en. Funktionen mit solchen Definitionslücken können nicht stetig fortgesetzt werden.

== Beispiele ==
* Die Funktion <math> f(x)=\tfrac{1}{x}</math> ist in ihrem gesamten Definitionsbereich <math>D= \mathbb{R}\setminus \{0\} </math> [[Stetige Funktion|stetig]], hat aber an der Stelle 0 eine Definitionslücke. Dies ist eine Polstelle.
*Gegeben sei
::<math>
f\colon \mathbb{R}_{\geq 0} \setminus \{1\} \to \mathbb{R},\, x \mapsto \frac{\sqrt{x}-1} {x-1}\,.
</math>

:Die Funktion <math> f </math> ist in <math>x_0=1</math> stetig fortsetzbar, denn für den Grenzwert gilt

::<math>
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1} {x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt x-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac {1}{\sqrt{x}+1}=\frac 12
</math>

:und somit lautet die Fortsetzung
::<math> \tilde{f} \colon \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R},\, x \mapsto
\begin{cases} \frac {\sqrt{x}-1}{x-1} & ,x \neq 1 \\ \frac12 &, x=1\,. \end{cases}</math>.

: An diesem Beispiel kann man noch bemerken, dass <math>\tilde{f}</math> auch ohne Fallunterscheidung geschrieben werden kann, es gilt nämlich <math>\tilde{f}(x) = \tfrac {1}{\sqrt{x}+1}</math> für alle <math>x\ge 0</math>.
* In anderen Fällen kann es sein, dass die Fallunterscheidung unumgänglich ist. So hat etwa
::<math>g\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R},\, x\mapsto x\cdot\sin(\tfrac 1x) </math>
: die stetige Fortsetzung
::<math> \tilde{g} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto
\begin{cases} x\cdot\sin(\tfrac 1x) & ,x \neq 0 \\ 0 &, x=0 \end{cases}</math>.

== Gebrochenrationale Funktionen ==

Eine [[gebrochenrationale Funktion]] ist der Quotient
:<math>
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
</math>
aus zwei [[Ganzrationale Funktion|ganzrationalen Funktionen]] <math>u</math> und <math>v</math>.

Eine gebrochenrationale Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn die rationale Funktion im Nenner eine [[Nullstelle]] hat. Funktionen dieser speziellen Klasse können als Definitionslücken nur Polstellen oder stetig hebbare Definitionslücken aufweisen.

Die Definitionslücke kann nur dann stetig hebbar sein, wenn die ganzrationalen Funktionen im Nenner und Zähler an derselben Stelle eine Nullstelle haben. Für die ganzrationalen Funktionen <math> u </math> und <math> v </math> ist das Verhalten an den Nullstellen bekannt:

Die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also <math> u(x) </math> und <math> v(x) </math> an der Stelle <math> x_0 </math> eine Nullstelle haben, so ist immer
: <math> u(x) = ( x - x_0 )^{N_u} \; s(x) </math>
und
: <math> v(x) = ( x - x_0 )^{N_v} \; t(x) </math>
wobei
: <math> s(x_0) \ne 0 \land t(x_0) \ne 0 </math>.
Die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math> N_u </math> und <math> N_v </math> bezeichnet man auch als die Ordnung (oder Vielfachheit) der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen (zumindest für <math>x \ne x_0</math>) kürzen. Das Ergebnis der Kürzung ist der einzige Kandidat für eine stetige Fortsetzung nach <math>x_0</math>.
* Wenn <math> N_u > N_v > 0 </math>, dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch 0 gegeben ist.
* Wenn <math> N_u = N_v > 0 </math>, dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch <math> s(x_0) / t(x_0) </math> gegeben ist.
* Wenn <math> N_u < N_v </math>, dann liegt eine Polstelle vor.

=== Beispiel ===
Die Funktion
: <math> f(x) = \frac{x^3+4x^2+5x+2}{x^3+x^2-x-1} = \frac{(x+1)^2(x+2)}{(x+1)^2(x-1)}</math>
hat für <math>x = -1</math> eine Lücke, die sich durch Kürzen mit dem Wert <math>(x+1)^2</math> beheben lässt, wodurch sich die Funktion
:<math>\tilde f (x) = \frac{x+2}{x-1}</math>
als auch bei <math>x=-1</math> stetige Fortsetzung ergibt. Es ist wohlgemerkt <math>\tilde f</math> ebenso wie <math>f</math> für <math>x = +1</math> undefiniert, dort liegt eine Polstelle vor.

Ein Beispiel, um die Unterscheidung zwischen einer Polstelle und einer behebbaren Definitionslücke zu veranschaulichen.
Die Funktion
: <math> f(x) = \frac{x-1}{x^2-2x +1} = \frac{(x-1)}{(x-1)^2}</math>
hat für <math>x = +1</math> eine Definitionslücke, die durch Kürzen mit dem Wert <math>(x-1)</math> auf die Funktion
:<math>\tilde f (x) = \frac{1}{x-1}</math> führt.
Da <math>\tilde f</math> ebenso wie <math>f</math> für <math>x = +1</math> undefiniert ist, wurde die Lücke durch das Kürzen nicht behoben.
Daher liegt bei <math>x = +1</math> eine Polstelle und keine behebbare Definitionslücke vor.

== Siehe auch ==
* [[Unstetigkeitsstelle]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Definitionslucke}}
[[Kategorie:Analysis]]

Definitionslücke - Versionsgeschichte

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