~2026-49078-1: Begriffe beschreiben nicht, sie bezeichnen.

2026-01-23T01:27:01Z

Begriffe beschreiben nicht, sie bezeichnen.

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{{Dieser Artikel|erläutert den mathematischen Begriff; zum grammatischen Begriff der Definitheit siehe [[Definitheit (Linguistik)]].}}

'''Definitheit''' ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Er bezeichnet, welche [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] [[Reelle Zahl|reelle]] [[quadratische Form]]en annehmen können, die durch [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] oder allgemeiner durch [[Bilinearform]]en erzeugt werden.

== Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen ==
Es sei <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über den [[Reelle Zahl|reellen]] (oder [[Komplexe Zahl|komplexen]]) Zahlen.

Eine symmetrische [[Bilinearform]] <math>\langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb R</math> (beziehungsweise eine [[hermitesche Sesquilinearform]] <math>\langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to \mathbb{C}</math>) heißt
{| style="margin-left:2em"
| ''positiv definit'',
| falls <math>\langle v,v\rangle>0</math>
|-
| ''positiv semidefinit'',
| falls <math>\langle v,v\rangle\geq0</math>
|-
| ''negativ definit'',
| falls <math>\langle v,v\rangle<0</math>
|-
| ''negativ semidefinit'',
| falls <math>\langle v,v\rangle\leq0</math>
|}
jeweils für alle <math>v\in V</math>, <math>v\not=0</math>, gilt. Man beachte, dass auch im komplexen Fall wegen der geforderten [[Hermitesche Sesquilinearform|Hermitizität]] <math>\langle v,v\rangle</math> stets reell ist.<br />
Trifft keine dieser Bedingungen zu, heißt die Form ''indefinit''. Genau in diesem Fall nimmt <math>\langle v,v\rangle</math> sowohl positive als auch negative Werte an.

Die obigen Bedingungen bedeuten also, dass die zugehörige [[quadratische Form]] <math>Q(v) := \langle v,v\rangle</math> positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit bzw. indefinit ist.

Gelegentlich werden diese Begriffe im reellen Fall auch für beliebige, nicht notwendig symmetrische Bilinearformen eingeführt. (Im komplexen Fall müsste man zusätzlich fordern, dass für alle <math>v\in V</math> der Wert <math>\langle v,v\rangle</math> reell ist. Daraus folgt jedoch schon, dass die Sesquilinearform hermitesch ist.)

Eine positiv definite symmetrische Bilinearform (bzw. hermitesche Sesquilinearform) heißt [[Skalarprodukt]]. Beispielsweise ist das [[Standardskalarprodukt]] auf dem <math>\R^n</math> (bzw. <math>\mathbb C^n</math>) positiv definit.

== Definitheit von Matrizen ==
=== Definitionen ===
Jede quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] beschreibt eine Bilinearform auf <math>V = \R^n</math> (bzw. eine Sesquilinearform auf <math>V = \Complex^n</math>). Man nennt eine quadratische Matrix deshalb positiv definit, wenn diese Eigenschaft auf die durch die Matrix definierte Bilinearform bzw. Sesquilinearform zutrifft. Entsprechend definiert man auch die anderen Eigenschaften. Dies bedeutet: Eine beliebige (ggf. [[Symmetrische Matrix|symmetrische]] bzw. [[Hermitesche Matrix|hermitesche]]) <math>(n\times n)</math>-Matrix <math>A</math> ist

{| style="margin-left:2em"
| '''positiv definit''',
| falls <math>x^TAx > 0</math>
|-
| '''positiv semidefinit''',
| falls <math>x^TAx \geq 0</math>
|-
| ''negativ definit'',
| falls <math>x^TAx < 0</math>
|-
| ''negativ semidefinit'',
| falls <math>x^TAx \leq 0</math>
|}

für alle <math>n</math>-zeiligen Spaltenvektoren <math>x \in V</math> mit <math>x \neq 0</math>, wobei <math>x^T</math> der [[Zeilenvektor]] ist, der aus dem Spaltenvektor <math>x</math> durch [[Transponierte Matrix|Transponieren]] hervorgeht.

Im komplexen Fall muss der Vektor <math>x</math> auf der linken Seite zum Zeilenvektor transponiert und zusätzlich komplex-konjugiert werden ([[Adjungierte Matrix|hermitesch Adjungiertes]], <math>x^*\; = \overline x^T</math> statt lediglich <math>x^T\;</math>). Damit die Ungleichungen einen Sinn ergeben, muss die linke Seite für jedes mögliche <math>x</math> reell sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix <math>A</math> hermitesch ist.

Eine Matrix, die weder positiv noch negativ semidefinit ist, nennt man „indefinit“. Genau dann nimmt <math>x^TAx\;</math> (bzw. <math>x^*Ax\;</math>) sowohl positive als auch negative Werte an.

Manche Autoren verwenden als {{enS|abuse of notation}} <math>A > 0</math>, <math>A \geq 0</math> usw. für die Definitheit statt <math>x^TAx > 0</math>, <math>x^TAx \geq 0</math> usw.

=== Kriterien für Definitheit ===

==== Eigenwerte ====
Eine quadratische symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix ist genau dann
{| style="margin-left:2em"
| positiv definit,
| wenn alle [[Eigenwert]]e größer als null sind;
|-
| positiv semidefinit,
| wenn alle Eigenwerte größer oder gleich null sind;
|-
| negativ definit,
| wenn alle Eigenwerte kleiner als null sind;
|-
| negativ semidefinit,
| wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich null sind und
|-
| indefinit,
| wenn positive und negative Eigenwerte existieren.
|}

Damit kann jedes Verfahren zur Bestimmung oder Abschätzung von Eigenwerten benutzt werden, um die Definitheit der Matrix zu bestimmen. Eine Möglichkeit sind die [[Gerschgorin-Kreis]]e, die es erlauben, das [[Spektrum (lineare Algebra)|Spektrum]] zumindest abzuschätzen. Dies reicht häufig schon aus, um die Definitheit zu bestimmen. Die Gerschgorin-Kreise geben anhand der Einträge der Matrix Mengen in der komplexen Ebene an, in denen die Eigenwerte enthalten sind, im Falle von symmetrischen Matrizen Intervalle auf der reellen Achse. Damit ist es manchmal einfach möglich, die Definitheit einer Matrix zu bestimmen. Einzelheiten hierzu, insbesondere über die [[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] von symmetrischen Bilinearformen und Matrizen, siehe [[Trägheitssatz von Sylvester]].

==== Hauptminoren ====
Eine [[Symmetrische Matrix|symmetrische]] bzw. [[Hermitesche Matrix|hermitesche]] Matrix <math>A</math> ist genau dann positiv definit, wenn alle [[Minor (Mathematik)#Hauptminoren|führenden Hauptminoren]] von <math>A</math> positiv sind. Aus der Tatsache, dass <math>A</math> genau dann negativ definit ist, wenn <math>-A</math> positiv definit ist, ergibt sich: <math>A</math> ist genau dann negativ definit, wenn die Vorzeichen der führenden Hauptminoren alternieren, das heißt, falls alle ungeraden führenden Hauptminoren negativ und alle geraden positiv sind.

'''Bemerkungen'''
* Für Semidefinitheit gibt es kein Kriterium, das nur die ''führenden'' Hauptminoren berücksichtigen würde,<ref>[http://ieeexplore.ieee.org/iel5/9/24131/01100319.pdf ''On Sylvester’s Criterion for Positive-Semidefinite Matrices''.] (PDF) IEEE, Transaction on automatic control, Juni 1973 (englisch)</ref> was schon an der [[Diagonalmatrix]] mit Einträgen 0 und −1 zu sehen ist. Sollen die entsprechenden Aussagen vielmehr auch für den Fall der Semidefinitheit gelten, müssen im Fall positiver Semidefinitheit nun ''alle'', nicht nur die ''führenden'' Hauptminoren nichtnegativ, im Fall negativer Semidefinitheit ''alle ungeraden'' Hauptminoren nichtpositiv sowie ''alle geraden'' Hauptminoren nichtnegativ sein.
* Für nicht-hermitesche Matrizen gilt das Kriterium nicht. Ein Beispiel dafür ist die indefinite Matrix <math>\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 2 & -1\end{smallmatrix}\right)</math>, deren führende Hauptminoren gleichwohl beide positiv sind.
* Das Kriterium wird oft auch '''Sylvester-Kriterium''' genannt. Vereinzelt wird auch die Bezeichnung „[[Hurwitz-Kriterium]]“ verwendet, obwohl sich dieses ursprünglich nur auf [[Hurwitz-Matrix|Hurwitz-Matrizen]] bezog.

==== Gaußsches Eliminationsverfahren ====
Eine reelle symmetrische quadratische Matrix <math>A=(a_{i,k})_{i,k=1}^n</math> ist genau dann positiv definit, wenn das [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußsche Eliminationsverfahren]] bei Diagonalstrategie, das heißt ohne Zeilenvertauschungen, mit n positiven [[Pivotelement|Pivotelementen]] durchgeführt werden kann. Diese Bedingung eignet sich vor allem für Fälle, in denen sowieso das Gauß-Verfahren angewandt werden muss.

==== Cholesky-Zerlegung ====
Eine symmetrische Matrix <math>A</math> ist genau dann positiv definit, wenn es eine [[Cholesky-Zerlegung]] <math>A=G G^T</math> gibt, wobei <math>G</math> eine reguläre untere [[Dreiecksmatrix]] ist.

==== Diagonaldominante Matrizen ====
Ist eine Matrix <math>A</math> symmetrisch und [[Strikt diagonaldominante Matrix|streng diagonaldominant]] und sind alle Diagonalelemente von <math>A</math> positiv, so ist <math>A</math> positiv definit.<ref>[https://www.dorn.org/uni/sls/kap08/h05_0000.htm ''Spezielle Matrixeigenschaften''], Richard Reiner, 9126720, Gruppe: Next Generation, deutsch</ref>

Die Umkehrung gilt nicht. Die Matrix
: <math> \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 100 \\
\end{pmatrix} </math>
ist zwar positiv definit, aber nicht streng diagonaldominant.

==== Symmetrischer Anteil bei allgemeinen Matrizen ====
Eine reelle quadratische Matrix <math>A</math>, die nicht notwendig symmetrisch ist, ist genau dann positiv definit, wenn ihr ''symmetrischer Teil''
: <math> A_S = \frac{1}{2} \left(A + A^T\right) </math>
positiv definit ist. Entsprechendes gilt für „negativ definit“ und „positiv“ bzw. „negativ semidefinit“.

Bei komplexen Matrizen A ist die Situation völlig anders.
Man kann für jede komplexe Matrix A den hermiteschen Anteil <math> A_H = \tfrac{1}{2}\left(A + A^*\right)</math> und den [[Schiefhermitesche Matrix|schiefhermiteschen]] Anteil <math> A_{SH} = \tfrac{1}{2}\left(A - A^*\right)</math> betrachten.

Die Matrix <math> A_K =\tfrac1i{A_{SH}}</math> ist dann hermitesch, es gilt <math>A = A_H + i A_K</math> und <math>A^* = A_H - i A_K</math>. <math>A</math> ist genau dann positiv definit, wenn der schiefhermitesche Anteil <math>A_{SH}</math> gleich 0 und der hermitesche Anteil <math>A_H</math>, der demzufolge mit <math>A</math> übereinstimmt, positiv definit ist.

==== Hinreichendes Kriterium für positive Semidefinitheit ====

Für eine beliebige reelle Matrix <math>A \in \R^{m \times n}</math> sind sowohl die Matrix <math>A^T A \in \R^{n \times n}</math> als auch die Matrix <math>A A^T \in \R^{m \times m}</math> stets symmetrisch und positiv semidefinit, denn aufgrund der [[Standardskalarprodukt#Verschiebungseigenschaft|Verschiebungseigenschaft]] des [[Standardskalarprodukt]]s gilt für alle <math>x \in \R^n </math>

:<math>\langle x, A^T A x \rangle = \langle A x, A x \rangle \geq 0</math>

und für alle <math>x \in \R^m </math>

:<math>\langle x, A A^T x \rangle = \langle A^T x, A^T x \rangle \geq 0</math>.

=== Abweichende Bezeichnungen ===
Matrizen, die hier als positiv semidefinit bezeichnet werden, werden in der Literatur häufig auch als '''nichtnegativ definit''' (''non-negative definit'') bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |Auflage= 4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=Abschnitt 3.14 ''Quadratische Formen, definite und semidefinite Matrizen'', S. 985}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=David A. Harville |Titel=Matrix Algebra from a Statistician’s Perspective |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1997 |ISBN=0-387-94978-X |DOI=10.1007/b98818 |Fundstelle=S. 212}}</ref><ref>{{Literatur|Autor= A. I. Khuri |Titel= Advanced Calculus with Applications in Statistics |Auflage=2 |Verlag= Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2003 |Fundstelle=S. 40}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Helge Toutenburg]] |Titel=Lineare Modelle. Theorie und Anwendungen |Auflage=2., neu bearb. und erw. Aufl. |Verlag=Physica-Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=978-3-7908-1519-1 |DOI=10.1007/978-3-642-57348-4 |Kommentar=Mit Beiträgen von Christian Heumann |Fundstelle=S. 494}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=P. Kémeny |Titel=Grundbegriffe der Matrix-Algebra |Hrsg=[[Ludwig Fahrmeir]], Alfred Hamerle, [[Gerhard Tutz]] |Sammelwerk=Multivariate Statistische Verfahren |Seiten=795–829 |Auflage=2 |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Jahr=1996 |ISBN=978-3-11-013806-1 |DOI=10.1515/9783110816020 |Fundstelle=S. 817}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Galen R. Shorack | Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=0-387-98953-6 |Fundstelle=S. 191}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Karsten Schmidt, [[Götz Trenkler]] |Titel=Einführung in die Moderne Matrix-Algebra – Mit Anwendungen in der Statistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=3 |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-46772-5 |DOI=10.1007/978-3-662-46773-2 |Fundstelle=S. 96}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Galen R. Shorack | Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=0-387-98953-6 |Fundstelle=S. 191}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=S. R. Searle |Titel=Matrix Algebra Usefule for Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1980}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Calyampudi Radhakrishna Rao]], Helge Toutenburg |Titel=Linear Models – Least Squares and Alternatives |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1995 |ISBN=978-1-4899-0024-1 |DOI=10.1007/978-1-4899-0024-1 |Fundstelle=S. 298}}</ref> Von diesen Autoren wird eine Matrix <math>A \in \R^{n\times n}</math> dann – abweichend von obiger Definition – als positiv semidefinit bezeichnet, wenn sie positiv semidefinit im Sinn der obigen Definition ist, aber nicht positiv definit ist, wenn also
:<math>x^TAx \geq 0\quad\text{für alle }x \in\R^{n\times 1}</math>
und
:<math>x^TAx = 0\quad\text{für mindestens ein }x \in\R^{n\times 1}, x \neq 0 </math>
gilt. Bei diesen Autoren sind also die positiv definiten Matrizen keine [[Teilmenge]] der positiv semidefiniten Matrizen.

== Bedeutung ==

* Ist die Matrix <math>A</math> symmetrisch (hermitesch) und positiv definit, dann wird durch <math>\langle x, y\rangle = x^T A y</math> (beziehungsweise <math>\langle x, y\rangle = x^* A y</math>) ein [[Skalarprodukt]] definiert.
* Die Einschränkung einer positiv definiten Bilinear- bzw. Sesquilinearform auf einen [[Untervektorraum]] ist wieder positiv definit, insbesondere also [[Ausgeartete Bilinearform|nicht ausgeartet]]. Diese Tatsache ermöglicht die Zerlegung eines Raumes in einen Untervektorraum und dessen [[orthogonales Komplement]].
* Die Definitheit der [[Hesse-Matrix]] spielt bei der Untersuchung von kritischen Stellen einer Funktion <math>f\colon\R^n\to\R</math>, also der [[Extremwert]]berechnung, eine entscheidende Rolle.
* Die symmetrischen positiv semidefiniten Matrizen bilden im [[Matrizenraum]] <math>\R^{n \times n}</math> einen [[Kegel (Lineare Algebra)|Kegel]], den sogenannten positiv semidefiniten Kegel. Dasselbe gilt auch für symmetrische negativ semidefinite Matrizen.
* Eine [[schwach positiv definite Matrix]] kann man immer als [[Multiplikation]] zweier positiv definiter Matrizen schreiben. Insbesondere ist dann auch jede positiv definite Matrix eine schwach positiv definite Matrix.<ref>{{Literatur
| Autor=[[Eugene Paul Wigner]]
| Titel=On Weakly Positive Matrices
| Sammelwerk=The Collected Works of Eugene Paul Wigner
| Band=
| Nummer=
| Datum=
| Seiten=559-563
| DOI=10.1007/978-3-662-02781-3_40
}}</ref>
* Die Notation <math>A>B</math> (resp. <math>A\geq B</math>) für zwei Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> wird häufig verwendet, um zu sagen, dass <math>A-B</math> positiv definit (resp. semidefinit) ist.

== Siehe auch ==
* [[Positiv semidefinite Funktion]]
* [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Definitheit - Versionsgeschichte

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