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Die '''Dedekindsche Zeta-Funktion''' eines [[Algebraischer Zahlkörper|Zahlkörpers]] <math>K</math> ist definiert als
:<math>\zeta_K(s):=\sum_\mathfrak{a}{\mathfrak{N}(\mathfrak{a})}^{-s}</math>
wobei <math>\mathfrak{a}</math> die Ideale des [[Ganzheitsring|Ganzheitsrings]] <math> O(K) </math> des Zahlkörpers <math>K</math> durchläuft und <math>\mathfrak{N}(\mathfrak{a})</math> deren [[Ideal (Ringtheorie)#Norm eines Ideals|Absolutnorm]] ist. Die Reihe <math>\zeta_K(s)</math> ist [[Absolute Konvergenz|absolut]] und [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig konvergent]] im Bereich <math>\Re (s)\geq 1+\delta </math> für alle <math>\delta >0</math> und es gilt die Produktdarstellung
:<math>\zeta_K (s)=\prod_\mathfrak{p}\frac{1}{1-{\mathfrak{N}(\mathfrak{p})}^{-s}}</math>,
wobei <math>\mathfrak{p}</math> die [[Primideal]]e von <math>O(K)</math> durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine [[analytische Fortsetzung]] auf <math>\mathbb{C}\setminus\{1\}</math> sowie einen [[Polstelle|Pol]] in <math> s = 1</math>.

Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] dar, die mit dem Körper der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] (dessen Ganzheitsring gerade <math> \mathbb{Z} </math> ist) korrespondiert.

== Siehe auch ==

* [[L-Funktion]]

== Literatur ==

* Jürgen Neukirch: ''Algebraische Zahlentheorie'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, ISBN 2-540-54273-5
* Wolfgang Schwarz: ''Aus der Geschichte der Zahlentheorie'', Ergänzte Ausarbeitung einer einstündigen Vorlesung im Winter-Semester 2000/2001, Frankfurt am Main
* Stavros Garoufalidis, James E. Pommersheim: ''[http://citeseer.ist.psu.edu/268688.html Values of zeta functions at negative integers, Dedekind sums and toric geometry]'', Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA.

[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Dedekindsche Zeta-Funktion - Versionsgeschichte

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