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2021-01-28T20:01:17Z

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Die '''Dedekindsche ψ-Funktion''' ist [[Dedekindsche Funktion|eine von mehreren]] nach [[Richard Dedekind]] benannten [[Zahlentheoretische Funktion|zahlentheoretischen Funktionen]]. Es handelt sich um eine [[multiplikative Funktion]], sie ist durch
:<math>\forall\ n\in\Z^{+}\colon \psi(n)=n\cdot\prod_{p|n \atop p\in\mathbb P}\left(1+\frac1p\right)</math>
definiert. Das Produkt erstreckt sich über alle [[Primteiler]] von <math>n.</math>

== Werte ==
Nach Definition des [[Leeres Produkt|leeren Produkts]] ist
:<math>\psi(1)=1.</math>
Für die nächsten beiden natürlichen Zahlen ergibt sich:
:<math>\psi(2)=2\left(1+\frac12\right)=3</math>
:<math>\psi(3)=3\left(1+\frac13\right)=4</math>
Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ….<ref>{{OEIS|A001615}}</ref>

== Eigenschaften ==
*Die <math>\psi</math>-Funktion nimmt nur positive natürliche Zahlen als Werte an. Für alle hinreichend großen <math>n</math> ist <math>\psi(n)</math> größer als <math>n</math> und gerade:
::<math>\psi(n)>n \qquad\qquad\qquad\mathrm{f\ddot ur\; alle}\, n>1</math>
::<math>\psi(n)\equiv 0\mod 2\; \qquad\mathrm{f\ddot ur\; alle}\,n>2</math>
*Für [[Primzahl]]en <math>p</math> gilt:
::<math>\psi(p)=p+1=\varphi(p)+2</math>
:Dabei ist <math>\varphi</math> die [[Eulersche Phi-Funktion]], die für jede positive natürliche Zahl <math>n</math> die Anzahl <math>\varphi(n)</math> der zu <math>n</math> [[Teilerfremdheit|teilerfremden]] natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als <math>n</math> sind.
*Die <math>\psi</math>-Funktion kann auch durch
::<math>\psi(p^k)=(p+1)\cdot p^{k-1}</math>
:für Potenzen von Primzahlen <math>p</math> mit positiven natürlichen Hochzahlen <math>k</math> und der Festlegung, dass <math>\psi</math> multiplikativ ist, charakterisiert werden. Der Wert <math>\psi(n)</math> für ein beliebiges <math>n</math> ergibt sich dann aus der [[Primfaktorzerlegung]] von <math>n.</math>
*Mit der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] <math>\zeta</math> gilt:
::<math>\sum_n \frac{\psi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-1)}{\zeta(2s)}</math>

== Weblinks ==
*{{MathWorld|DedekindFunction|Dedekind Function}}
*J. Chidambaraswamy: [https://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102866948 ''Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial. II.''] In: Pacific J. Math. Vol. 65, Nr. 1(1976), S. 19–27.

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheoretische Funktion]]

Dedekindsche Psi-Funktion - Versionsgeschichte

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