imported>RPI: /* Eigenschaften */

2025-09-28T14:33:52Z

Eigenschaften

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Ein '''Dedekindring''' (nach [[Richard Dedekind]], auch '''Dedekindbereich''') sowie ein '''ZPI-Ring''' sind Verallgemeinerungen des [[Ring (Algebra)|Ringes]] der [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]], in welchem jede [[natürliche Zahl]] eine (eindeutige) [[Primfaktorzerlegung]] besitzt (Fundamentalsatz der Arithmetik). Die Anwendungen dieser Verallgemeinerungen finden sich hauptsächlich in den [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebieten der [[algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]] und der [[kommutative Algebra|kommutativen Algebra]], besonders in der [[Idealtheorie]].

== Definitionen ==
Ein '''ZPI-Ring''' ist ein [[Ring (Algebra)#Definitionen|kommutativer Ring mit Eins]], in dem jedes [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] eine Zerlegung in [[Primideal]]e besitzt, also [[Ideal (Ringtheorie)#Verknüpfungen von Idealen|Produkt]] von Primidealen ist.

Ein '''Dedekindring''' ist ein [[Integritätsring]], in dem jedes Ideal Produkt von Primidealen ist.

== Eigenschaften ==
* Analog zur Zerlegung natürlicher Zahlen in [[Primzahl]]en gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jede Zerlegung eines Ideals in Primideale eindeutig ist.
* Über einem Dedekindring ist jedes vom [[Nullideal]] verschiedene [[gebrochenes Ideal|gebrochene Ideal]] invertierbar.
* Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsringe, die höchstens [[Dimension (kommutative Algebra)|eindimensional]], [[Noetherscher Ring|noethersch]] und [[Normalität (kommutative Algebra)|normal]] sind.
* [[faktorieller Ring|Faktorielle]] Dedekindringe sind [[Hauptidealring|Hauptidealringe]]. Umgekehrt ist jeder Hauptidealring ein faktorieller Dedekindring.
* Eindimensionale [[Lokaler Ring|lokale]] Dedekindringe sind genau die [[Diskreter Bewertungsring|diskreten Bewertungsringe]].
* Nulldimensionale Dedekindringe sind Körper.

Manche Autoren fordern, dass Dedekindringe eindimensional sind, wodurch Körper per Definition keine Dedekindringe mehr sind. Dies ist jedoch nicht üblich.

== Beispiele ==
* Jeder [[Hauptidealring]] (und damit auch jeder [[Diskreter_Bewertungsring|diskrete Bewertungsring]]) ist ein Dedekindring.
* Ist <math>A</math> ein Hauptidealring, und <math>L</math> eine endliche Erweiterung seines [[Quotientenkörper]]s, so ist der [[ganzer Abschluss|ganze Abschluss]] von <math>A</math> in <math>L</math> ein Dedekindring. Insbesondere gilt das für [[Ganzheitsring]]e in [[Zahlkörper]]n, also beispielsweise <math> \mathbb Z[\sqrt{-5}].</math>
* Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.

Keine Dedekindringe sind:
* <math>\mathbb Z[X]</math> (zweidimensional),
* <math>\mathbb Z[\sqrt5]</math> (nicht normal),
* <math>\mathbb Z[X]/(X^2)</math> und <math>\mathbb Z\times\mathbb Z</math> (keine Integritätsringe),
* der Ring der algebraischen ganzen Zahlen, d. h. der ganze Abschluss von <math>\mathbb Z </math> in einem algebraischen Abschluss <math>\overline{\mathbb Q} </math> der rationalen Zahlen (nicht noethersch).

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Robert W. Gilmer |Titel=Multiplicative Ideal Theory |Reihe=Pure and Applied Mathematics |BandReihe=12 |Verlag=[[Marcel Dekker]] |Ort=New York |Datum=1972}}
* {{Literatur |Autor=Max D. Larsen, Paul J. McCarthy |Titel=Multiplicative Theory of Ideals |Reihe=Pure and Applied Mathematics |BandReihe=43 |Verlag=[[Academic Press]] |Ort= New York, London |Datum=1971 |Online=https://promathmedia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/09/multiplicative-theory-of-ideals.pdf |Format=PDF}}

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Dedekindring - Versionsgeschichte

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