~2026-11411-48: Imaginäre Einheit aufrecht formatiert, um von Zählvariable zu unterscheiden.

2026-02-20T10:48:11Z

Imaginäre Einheit aufrecht formatiert, um von Zählvariable zu unterscheiden.

Neue Seite

Der '''Debye-Waller-Faktor''' ('''DWF''', nach [[Peter Debye]] und [[Ivar Waller]]) beschreibt, wie die [[Intensität (Physik)|Intensität]] der an einem [[Kristallgitter]] [[Kohärenz (Physik)|kohärent]] elastisch [[Streuung (Physik)|gestreut]]en Strahlung von der Temperatur abhängt.<ref name="Debye1913">{{cite journal
|last=Debye
|first=Peter
|year=1913
|title=Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung
|journal=Ann. d. Phys.
|volume=348
|issue=1
|pages=49–92
|doi=10.1002/andp.19133480105
|language=German
|bibcode = 1913AnP...348...49D }}</ref><ref name="Waller1923">{{cite journal
|last=Waller
|first=Ivar
|year=1923
|title=Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen
|journal=Zeitschrift für Physik A
|volume=17
|pages=398–408
|doi=10.1007/BF01328696
|publisher=Springer
|location=Berlin / Heidelberg
|language=German
|bibcode = 1923ZPhy...17..398W }}</ref> Nur diese elastische Streuung unterliegt den [[Laue-Bedingung]]en; die komplementäre, inelastische Streuung wird als [[thermisch-diffuse Streuung|thermisch-diffus]] bezeichnet.

Durch [[thermische Bewegung]] der Atome werden die Reflexe der elastischen Streuung nicht verbreitert, sondern ihre Intensität herabgesetzt. Es erscheint allerdings ein diffuser Untergrund zwischen den Reflexen als Folge der [[Energieerhaltung]].

In der [[Neutronenstreuung]] wird der Begriff Debye-Waller-Faktor teilweise unterschiedslos auf kohärente und inkohärente Streuung angewandt; teilweise wird für letztere aber auch der genauere Begriff [[Lamb-Mößbauer-Faktor]] benutzt.

== Definition ==
Die Intensität <math>I_{0}</math> der einfallenden Welle wird durch Multiplikation mit dem Debye-Waller-Faktor auf die Intensität <math>I</math> der gestreuten Welle reduziert, und zwar um den Faktor <math>(1 - \mathit{DWF})</math>:

:<math>I = I_{0} \cdot \underbrace{\exp \left( -\frac{1}{3} \, \left| \vec G \right| ^{2} \, \overline{{u}^{2}} \right)}_{\mathit{DWF} < 1}</math>

mit
* der natürlichen [[Exponentialfunktion]] <math>\exp()</math>
* einem [[Gittervektor]] <math>G</math> des [[reziprokes Gitter|reziproken Gitters]]
* der temperaturabhängigen [[Schwingung|Oszillation]]s[[amplitude]] <math>u = u(T)</math> der Atome.

Die [[Bragg-Gleichung|Bragg]]-[[Beugung (Physik)|Beugung]]s[[Reflexion (Physik)|reflex]]e werden also aufgrund der [[Gitterschwingung]]en umso mehr [[Dämpfung|gedämpft]], je höher die Temperatur und je höher ihre Ordnung ist:
* Der DWF ist maximal, wenn die Atome in der Nähe des [[absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkts]] nicht schwingen (entspricht dem statischen Fall):
::<math>T \approx 0\,\text{K} \quad \Rightarrow \quad u \approx 0 \quad \Rightarrow \quad \mathit{DWF} \approx 1</math>.
* Bei größerer Temperatur wird <math>\overline{|\vec{u}|^{2}}</math> größer und somit der Exponentialfaktor kleiner.
* Der DWF und somit die Reflex-Intensität ist außerdem umso kleiner, je größer <math>|\vec{G}|^{2}</math> ist, also je höher die [[Millersche Indizes|Millerschen Indizes]] der [[Gitterebene|Netzebene]]n<nowiki></nowiki>schar sind, an der die Bragg-Reflexion stattfindet.

Bei Betrachtung eines [[harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] mit der Energie:<ref>[[Charles Kittel|C. Kittel]], ''Einführung in die Festkörperphysik'', 7. Auflage, Oldenbourg, 1986, ISBN 3-486-20240-5, Anhang A, S. 680ff</ref>

:<math>\begin{alignat}{2}
\overline{E} &= \frac{1}{2} M {\omega}^{2} &&\overline {{u}^{2}} = \frac{3}{2}k_\text{B} T\\
&\Leftrightarrow &&\overline {{u}^{2}} = \frac{3 k_\text{B} T}{M {\omega}^{2} }
\end{alignat}</math>

mit
* der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\text{B}</math>

lässt sich der temperaturabhängige Debye-Waller-Faktor auch schreiben als:

:<math>\mathit{DWF} = \exp \left( -\frac{k_\text{B} T \, \left| \vec G \right|^{2}}{M {\omega}^{2}} \right)</math>

== Herleitung ==
Der [[Strukturfaktor]] <math>F_{hkl}</math> ist ein Maß für die relative Intensität eines durch die [[Millersche Indizes|Millerschen Indizes]] <math>h</math>, <math>k</math>, <math>l</math> bestimmten Beugungsreflexes:

:<math>F_{hkl} = \sum_{i}f_{i} \, \exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \vec{r}_{i} \right]</math>

Die Summe läuft über alle Atome der [[Kristallbasis|Basis]]. Dabei ist
* <math>\mathrm{i}</math> die [[imaginäre Einheit]]
* <math>\vec{G} = h\vec{b}_{1} + k\vec{b}_{2} + l\vec{b}_{3}</math> ein reziproker Gittervektor
* <math>\vec{r}_{i}</math> ein [[Ortsvektor]], der von einem festen Bezugspunkt innerhalb der [[Elementarzelle]] zum Kern des <math>i</math>-ten Atom zeigt
* <math>f_{i}</math> der [[Strukturfaktor #Atomarer Streufaktor|atomare Streufaktor]] des <math>i</math>-ten Atoms:
::<math>f_{i} = \int_{V_{A_{i}}}n_{i}(\vec{\tilde{r}} \, ) \, \exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \vec{\tilde{r}} \right] \mathrm{d}^{3}\tilde{r}</math>
:* <math>V_{A_{i}}</math> das Volumen
:* <math>n_{i}(\vec{\tilde{r}})</math> das Streuvermögen (z. B. [[Elektronendichte]] bei [[Röntgenbeugung]], [[Ladungsdichte]] bei [[Elektronenbeugung]]) des <math>i</math>-ten Atoms.

Betrachtet man die thermische Bewegung der Atome, so ist <math>\vec{r}_{i}</math> zeitabhängig. Nun zerlegt man <math>\vec{r}_{i}</math> in einen mittleren Aufenthaltsort <math>\vec{r}_{i,0}</math> ([[Gleichgewichtslage]], ruhend) und die [[Auslenkung]] <math>\vec{u}_{i}(t)</math> (zeitabhängig):

::<math>\vec{r}_{i}(t) = \vec{r}_{i,0} + \vec{u}_{i}(t)</math>

Die Schwingungsperioden sind sehr kurz (<math><10^{-10}\,\mathrm{s}</math>) gegenüber der Beobachtungsdauer, sodass immer ein zeitlicher Mittelwert gemessen wird:

:<math>\begin{align}
\overline{F_{hkl}} &= \sum_{i}f_{i} \, \overline{\exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \left( \vec{r}_{i.0} + \vec{u}_{i}(t) \right) \right]}\\
&= \sum_{i}f_{i} \, \exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \vec{r}_{i.0} \right] \, \overline{\exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \vec{u}_{i}(t) \right]}
\end{align}</math>

Für kleine Auslenkungen [[Reihenentwicklung|entwickelt]] man die Exponentialfunktion bis zur zweiten Ordnung

::<math>\overline{\exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \vec{u}_{i}(t) \right] } \approx 1 + \mathrm{i} \, \overline{\vec{G} \cdot \vec{u}_{i}(t)} - \frac{1}{2}\overline{ \left( \vec{G} \cdot \vec{u}_{i}(t) \right) ^{2}}</math>

Die erste Ordnung verschwindet <math>\left( \overline{\vec{G}\cdot\vec{u}_{i}(t)} = 0 \right)</math>, da die Auslenkungen <math>\vec{u}_{i}(t)</math> [[statistisch]] in alle Raumrichtungen erfolgen <math>\left( \overline{\vec{u}_{i}(t)} = 0 \right)</math> und nicht mit der Richtung von <math>\vec{G}</math> [[Korrelation|korreliert]] sind.

Die zweite Ordnung ist

:::<math>\overline{ \left( \vec{G} \cdot \vec{u}_{i}(t) \right) ^{2}} = |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}}\, \overline{\cos^{2}\theta}</math>

Dabei ist <math>\theta</math> der Winkel zwischen <math>\vec{G}</math> und <math>\vec{u}_{i}(t)</math>. Man mittelt <math>\cos^{2}{\theta}</math> über alle Richtungen im dreidimensionalen Raum, also Integration über die [[Einheitskugel]]:

::::<math>\overline{\cos^{2}\theta} = \frac{\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta \, \sin\theta\cos^{2}\theta}{\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta \, \sin\theta} = \frac{1}{3}</math>

In die Exponentialfunktion eingesetzt ergibt dies:

::<math>\begin{align}
\overline{\exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \vec{u}_{i}(t) \right] } &\approx 1 - \frac{1}{6} \, |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}}\\
&\approx \exp \left[ -\frac{1}{6} \, |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}} \right]
\end{align}</math>

Der Strukturfaktor schreibt sich nun:

:<math>\overline{F_{hkl}} = \sum_{i}f_{i} \, \exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \vec{r}_{i.0} \right] \, \exp \left[ -\frac{1}{6} \, |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}} \right]</math>

Für gleichartige Atome ist <math>\overline{|\vec{u}_{i}(t)|^{2}}</math> für alle <math>i</math> annähernd gleich <math>\overline{|\vec{u}\,|^{2}}</math>. Somit kann man den zweiten Exponentialfaktor vor die Summe ziehen:

:<math>\begin{align}
\overline{F_{hkl}} &= \exp \left[ -\frac{1}{6} \, |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}(t)|^{2}} \right] \, \sum_{i}f_{i} \, \exp \left[ \mathrm{i} \, \vec{G} \cdot \vec{r}_{i.0} \right]\\
&=\exp \left[ -\frac{1}{6} \, |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}(t)|^{2}} \right] \, F_{hkl}^{0}
\end{align}</math>

Darin ist <math>F_{hkl}^{\, 0}</math> der Strukturfaktor des statischen Falls (starres Gitter, keine Bewegung der Atome).

Die Intensität ist proportional zum [[Betragsquadrat]] des Strukturfaktors: <math>I = c |F_{hkl}|^{2}</math>. Die zeitlich gemittelte Intensität ist somit

:<math>\begin{align}
\overline{I} &= c\,|\overline{F_{hkl}}|^{2}\\
&= c \, |F_{hkl}^{0}|^{2} \, \exp \left[ -\frac{1}{3} \, |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}|^{2}} \right]\\
&= I_{0}\exp \left[ -\frac{1}{3} \, |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}|^{2}} \right]
\end{align}</math>

Die gemittelte Intensität ist also gegenüber dem statischen Fall <math>I_{0} = c |F_{hkl}^{0}|^{2}</math> um den '''Debye-Waller-Faktor''' <math>\exp \left[ -\frac{1}{3} \, |\vec{G}|^{2} \, \overline{|\vec{u}|^{2}} \right]</math> erniedrigt.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4467637-2}}

{{SORTIERUNG:Debyewallerfaktor}}
[[Kategorie:Kristallographie]]
[[Kategorie:Peter Debye]]

Debye-Waller-Faktor - Versionsgeschichte

~2026-11411-48: Imaginäre Einheit aufrecht formatiert, um von Zählvariable zu unterscheiden.