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2025-07-25T06:39:58Z

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Das '''Debye-Modell''' beschreibt eine Methode, mit der sich der Beitrag der [[Quantisierung (Physik)|quantisierten]] [[Schwingung]]en in [[Kristallstruktur#Gitter|Kristallgittern]], der [[Phonon]]en, zur [[Wärmekapazität]] eines [[kristall]]inen [[Festkörperphysik|Festkörpers]] berechnen lässt; es stellt sich u. a. heraus, dass dies in der Regel der wesentliche Beitrag ist.

Diese von [[Peter Debye]] 1911 und 1912 entwickelte „Theorie der spezifischen Wärme von Kristallen“ gilt als eine der ersten theoretischen Bestätigungen der 1900 von [[Max Planck]] vorgestellten [[Quantenhypothese]].<ref>[http://www.uni-leipzig.de/~agintern/uni600/ug211.htm Peter Debye (1884–1966): Nobelpreisträger für Chemie]</ref>

== Grundlagen ==
[[Datei:Debye dispersion.png|mini|Dispersionsrelation im Vergleich mit dem Ergebnis von einfachen harmonischen Oszillatoren]]
Gegenüber dem [[Einstein-Modell]] von 1906, welches <math>N</math> unabhängige [[Oszillator]]en mit identischer [[Frequenz]] annimmt, geht das Debye-Modell von einer Vielzahl möglicher Frequenzen und einer von Null verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeit aller Wellen bzw. Phononen aus.

Jedoch wird durchgehend die Langwellennäherung vorausgesetzt, d. h. der Einfachheit halber wird angenommen, dass die [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> und der [[Wellenvektor]] <math>\vec{k}</math> unterhalb einer [[Materialkonstante|materialspezifischen]] [[Grenzfrequenz]], der Debyefrequenz <math>\omega_\mathrm{D}</math>, immer streng [[proportional]] zueinander sind (also eine lineare [[Dispersionsrelation]] gilt). Dabei werden ein longitudinaler und zwei transversale [[Schallwelle]]n-[[Freiheitsgrad]]e vorausgesetzt.

Bemerkenswert an diesem Ansatz ist, dass er (abgesehen von der Nichtexistenz longitudinaler [[Lichtwelle]]n) mit den Annahmen Plancks zur Berechnung der [[Hohlraumstrahlung]] identisch ist, wenn man die [[Schallgeschwindigkeit]] durch die [[Lichtgeschwindigkeit]] ersetzt. Somit ergeben sich für einen strahlenden Hohlraum (→[[Plancksches Strahlungsgesetz]], [[Stefan-Boltzmann-Gesetz]]) Formeln mit demselben Aufbau wie für einen erwärmten Festkörper, bei dem Teilchen in gitterförmiger Anordnung schwingen. In beiden Fällen folgen nämlich charakteristische „''T''<sup>3</sup>-Gesetze“<ref>Zu einer ausführlichen klassischen Herleitung siehe z. B.: [[Georg Joos]]: ''Lehrbuch der theoretischen Physik''. 12. Aufl. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main 1970 – einerseits ''Die Debyesche Theorie der spezifischen Wärme fester Körper'', S. 566 ff., bzw. anderseits ''Das Plancksche Strahlungsgesetz'', S. 580 ff. Neuere Referenzen dazu sind: [[D.J. Amit and Y. Verbin]]: ''Statistical Physics, An Introductory Course'', World Scientific, 1999; [[H.J.W. Müller-Kirsten]]: ''Basics of Statistical Physics'', 2nd ed., World Scientific, 2010.</ref> (s. u.).

Phononen existieren aber nur bis zu einer Maximalfrequenz (im Debye-Modell also bis zu <math>\omega_\mathrm{D}</math>). Diese ergibt sich aus der Summe aller möglichen [[Schwingungsmoden]], da deren Gesamtzahl höchstens gleich dem Dreifachen der Anzahl der schwingenden Gitterteilchen ([[Atom]]e) sein kann. Daraus folgt auch, dass <math>\omega_\mathrm{D}</math> grundsätzlich etwas niedriger ist als die Maximalfrequenz eines entsprechenden [[harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] (siehe Bild) ohne Frequenzbegrenzung: <math>\omega_\mathrm{D} \lessapprox \omega_\text{max}</math>.

== Ergebnisse ==
{| class="wikitable float-right"
|+ Debye-Temperaturen verschiedener Materialien
|- class="hintergrundfarbe6"
!
!style="text-align:right"| <math>\Theta_\mathrm{D}</math> in K
|-
||Diamant
|style="text-align:right"| 1850
|-
||Chrom
|style="text-align:right"| 610
|-
||α-Eisen
|style="text-align:right"| 464
|-
||Aluminium
|style="text-align:right"| 428
|-
||Kupfer
|style="text-align:right"| 345
|-
||Silber
|style="text-align:right"| 215
|-
||Gold
|style="text-align:right"| 165
|-
||Natrium
|style="text-align:right"| 160
|-
||Blei
|style="text-align:right"| 95
|}

Das Debye-Modell sagt die Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität sowohl im Niedrig- als auch im Hochtemperatur[[Grenzwert (Funktion)|limes]] korrekt voraus.

Das intermediäre Verhalten, d. h. der mittlere Temperaturbereich <math>T \approx \Theta_\mathrm{D}</math>, wird durch die Debye-Theorie nur im Sinne einer „vernünftigen [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]]“ beschrieben, die man gegebenenfalls verbessern kann (s. u.).

=== Niedrigtemperaturbereich ===
Im Niedrigtemperaturbereich, d. h. für <math>T \ll \Theta_\mathrm{D}</math> (<math>\Theta_\mathrm{D}</math> ist die [[Debye-Temperatur]]), gilt für den Phononen-Anteil der Wärmekapazität:

:<math>C_V = \frac{12 \, \pi^4} 5 \, N \, k_\mathrm{B} \cdot \underbrace{\left( \frac T {\Theta_\mathrm{D}} \right)^3}_{\ll 1}</math>

mit
* der Anzahl <math>N</math> der Atome im Kristall
* der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\mathrm{B}</math>
* <math>\Theta_\mathrm{D} = \frac{\hbar \, \omega_\mathrm{D}}{k_\mathrm B}</math>
** der Debye-(Kreis)Frequenz <math>\omega_\mathrm{D}</math>
** der [[Reduzierte Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]] <math>\hbar</math>.

Die Debye-Temperatur ist dabei proportional zu einer effektiven Schallgeschwindigkeit <math>c_\text{eff}</math>, zu der die transversalen Schallwellen zu {{Bruch|2|3}} und die longitudinalen Schallwellen zu {{Bruch|1|3}} beitragen:

:<math>\frac{1}{\Theta_\mathrm{D}^3}\sim\frac{1}{c_\text{eff}^3} := \frac{1}{3}\left(\frac{2}{c_t^3}+\frac{1}{c_l^3}\right).</math>

Das Tieftemperaturverhalten ist deshalb korrekt, weil im Limes <math>\omega \ll \omega_\mathrm{D}</math> die Debye-Näherung mit dem exakten <math>g(\omega )</math> übereinstimmt (s. u.).

=== Hochtemperaturbereich ===
Im Hochtemperaturbereich, d. h. für <math>T\gg \Theta_\mathrm{D}</math>, gilt für die [[innere Energie]] <math>U = 3 \, N \, k_\mathrm{B} \, T</math> und somit für die Wärmekapazität

:<math>C_V = 3 \, N \, k_\mathrm{B}\,</math>.

In diesem Limes ergibt sich also, wie schon beim Einstein-Modell, das [[Dulong-Petit-Gesetz|Gesetz von Dulong-Petit]].

Das Hochtemperaturverhalten ist deshalb korrekt, weil die Debye-Näherung ''per constructionem'' auch die Summenregel

:<math>\int_0^{\omega_\text{max}} g(\omega )\,\mathrm{d}\omega \equiv 3N</math>

erfüllt.

=== Zustandsdichte ===
Die [[Zustandsdichte]] ergibt sich gemäß dem Debye-Modell aus:

:<math>g(\omega) \,\mathrm d\omega = g(k) \,\mathrm dk</math>.
:<math>\Leftrightarrow g(\omega) = g(k) \cdot \frac{\mathrm d k}{\mathrm d \omega}</math>

mit der [[Kreiswellenzahl]] <math>k</math>.

Nun gilt aber allgemein im [[Reziprokes Gitter|k-Raum]]: <math>g(k) = \frac{L}{\pi}</math>

und nach dem Debye-Modell: <math>\omega = v_s \cdot k</math>, also <math>\frac{\mathrm d k }{\mathrm d \omega} = \frac{1}{v_s}</math>

und damit insgesamt:

:<math>g(\omega) = \frac{L}{\pi} \cdot \frac{1}{v_s}.</math>

=== Begründung ===
Das Debye-Modell nähert die Dispersionsrelation von Phononen in der angegebenen Weise linear an. Die Berechnung, die auch für denjenigen (realistischen!) Fall elementar durchgeführt werden kann, dass longitudinale und transversale Schallgeschwindigkeit sich erheblich unterscheiden, dauert lange, so dass Details hier nur aus Platzgründen unterbleiben.<ref>Weitere Details findet man z. B. bei [[Werner Döring]]: ''Einführung in die Theoretische Physik'', Bd. 5, §14. Sammlung Göschen, De Gruyter, Berlin 1957.</ref>

Da in einem Festkörper höchstens dreimal so viele Schwingungsmoden wie Atome vorhanden sein können, die Zustandsdichte für hohe <math>\omega</math> jedoch divergiert, muss die Dichte bei einer bestimmten materialabhängigen Frequenz <math>\omega_\text{max}</math> abgeschnitten werden (in der Debye-Näherung bei <math>\omega_\text{max} = \omega_\mathrm{D}</math>).

Ausgehend von der exakten Formel für die [[Schwingungsenergie]]:

:<math>U = \int_0^{\omega_\text{max}} \frac{g(\omega) \, \hbar \, \omega}{\mathrm e^\frac{\hbar \, \omega}{k_\mathrm B \, T} - 1} \, \mathrm d\omega</math>

mit der Zahl <math>g(\omega ) \, \mathrm d\omega</math> der Schwingungsmoden mit Kreisfrequenzen <math>\in [\omega ,\omega +\mathrm d\omega] \, .</math>

ergibt sich obige Wärmekapazität <math>C_v</math> explizit durch Ausführung des Integrals und [[Differentiation]] nach der Temperatur:

:<math>C_v = \frac{\partial U}{\partial T} \, .</math>

Man beachte, dass oben statt der Debye-Näherung <math>g_\mathrm{D}</math> das exakte <math>g(\omega )</math> steht und statt <math>\omega_\mathrm{D}</math> die exakte Maximalfrequenz.

In der Tieftemperaturnäherung benutzt man, dass man in dieser Näherung die obere Integrationsgrenze durch <math>\infty</math> ersetzen kann und dass die niedrigsten nicht-trivialen Terme der [[Taylorentwicklung]]en von ''g'' und <math>g_\mathrm{D}</math> bei <math>\omega \to 0</math> übereinstimmen.

Für das Hochtemperaturverhalten ersetzt man im Nenner den Term <math>\mathrm e^x -1</math> durch ''x'' und berechnet das verbleibende Integral mit der Summenregel.

Die Zustandsdichte <math>g(\omega )</math> (die für die Tieftemperaturnäherung explizit benötigt wird) kann im Debye-Modell angegeben werden, wobei <math>\omega_\text{max}</math> zu <math>\omega_\mathrm{D}</math> wird.

Die konkrete, über die Debye-Näherung hinausgehende Berechnung der Zustandsdichte ''g'' ist allerdings nicht allgemein analytisch lösbar, sondern nur numerisch oder genähert für Teile der Temperaturskala, wie oben für tiefe Temperaturen. Hier liegen auch die oben angedeuteten Verbesserungsmöglichkeiten für das intermediäre Verhalten.

== Verallgemeinerung auf andere Quasiteilchen ==
Das Debye’sche Verfahren kann in analoger Weise für andere [[boson]]ische [[Quasiteilchen]] im Festkörper durchgeführt werden, z. B. in [[ferromagnet]]ischen Systemen für [[Magnon]]en anstelle der Phononen. Man hat jetzt andere Dispersionsrelationen für <math>\omega\to 0</math>, z. B. <math>\omega\sim k^2</math> im genannten Fall, und andere Summenregeln, z. B. <math>\int_0^{\omega_\text{max}}\!g(\omega ) \mathrm d\omega = N\,.</math> Auf diese Weise ergibt sich in Ferromagneten bei tiefen Temperaturen ein Magnonenbeitrag <math>\sim T^{3/2}</math> zur Wärmekapazität, der gegenüber dem Phononenbeitrag, <math>\sim T^3\,,</math> dominiert. In Metallen dagegen kommt der Hauptbeitrag, <math>\sim T\,,</math> von den Elektronen. Er ist [[Fermion|fermionisch]] und wird mit anderen Methoden berechnet, die auf [[Arnold Sommerfeld]] zurückgehen.

== Siehe auch ==

* [[Debyesche Funktionen]]
* [[Schwarzkörperstrahlung]]
* [[Stefan-Boltzmann-Gesetz]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Debyemodell}}
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Peter Debye]]

Debye-Modell - Versionsgeschichte

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