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2024-05-26T16:12:21Z

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Der '''Darwin-Term''' <math>H_\mathrm{Darwin}</math> (nach [[Charles Galton Darwin]]) ist ein [[Relativitätstheorie|relativistischer]] Korrektur[[term]] im [[Hamiltonoperator]] <math>H</math>, um die [[Feinstruktur (Physik)|Feinstruktur]] im [[Wasserstoffspektrum]] theoretisch zu erklären. Er ergibt sich aus der [[Dirac-Theorie]].

Er beschreibt, dass in nicht-relativistischer [[Approximation|Näherung]] die [[elektrostatisch]]e Wechselwirkung des [[Elektron]]s mit dem [[Elektrostatik|elektrischen Feld]] des [[Atomkern|Kerns]] aufgrund der [[Zitterbewegung]] nicht mehr ''lokal'' ist, sondern auch von einem kleinen Bereich des elektrischen Feldes um das Elektron herum abhängt:

:<math>H_\mathrm{Darwin} = \frac{\hbar^2}{8m_\mathrm e^2c^2} \left(\Delta V\right).</math>

Da das [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V(r)=- \alpha \hbar c Z/r</math> ein [[Coulombsches Gesetz #Coulomb-Potential|Coulomb-Potential]] ist, kann der Darwin-Term auch geschrieben werden als

:<math>H_\mathrm{Darwin} = Z \alpha \frac{\hbar^3 }{8m_\mathrm e^2c} \cdot 4\pi \delta^{(3)}(\vec r).</math>

Dabei ist
* <math>\alpha</math> die [[Feinstrukturkonstante]]
* <math>\hbar</math> die [[reduzierte Planck-Konstante]]
* <math>m_\mathrm e</math> die Masse des Elektrons
* <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]
* <math>\Delta</math> der [[Laplace-Operator]]
* <math>Z</math> die [[Kernladungszahl]]
* <math>\delta^{(3)}(\vec r)</math> die [[Delta-Distribution]] in drei Dimensionen.

Der Darwin-Term spielt nur bei Elektronen mit Drehimpuls[[quantenzahl]] <math>l=0</math> eine Rolle, weil nur deren [[Wellenfunktion]]en am Kernort (<math>\vec{r}=0</math>) nicht verschwinden.<ref>{{Literatur |Autor=Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz |Titel=Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-30613-9 |Seiten=221}}</ref>

== Heuristische Herleitung ==
Der Darwin-Term kann im [[Relativistisches Wasserstoffproblem|relativistischen Wasserstoffproblem]] formal stringent hergeleitet werden, indem die relativistische Korrektur und die [[Spin-Bahn-Kopplung]] vom Gesamtergebnis subtrahiert werden. Eine [[Heuristik|heuristische]] Herleitung nimmt an, dass das Elektron nicht exakt [[Lokalisierung (Physik)|lokalisiert]] ist, sondern seine Position um <math display="inline">\delta r = \frac{\hbar}{m_\mathrm e c} = \frac{\lambda_\mathrm{C}}{2\pi}</math>, die [[Compton-Wellenlänge|reduzierte Compton-Wellenlänge]] des Elektrons, schwankt. Eine solche Herleitung führt nicht exakt auf den korrekten Darwin-Term, sondern nur auf die richtige Größenordnung
:<math>H_\text{Darwin}^\text{heuristisch}= \frac{\hbar^2}{6 m_\mathrm e^2 c^2}\Delta V</math>.

== Literatur ==
* Armin Wachter: ''Relativistische Quantenmechanik.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-22922-1, S. 167.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Atomphysik]]

Darwin-Term - Versionsgeschichte

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