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Das '''Darcy-Gesetz''' (auch '''Darcy-Gleichung'''), benannt nach dem französischen Ingenieur [[Henry Darcy]], ist eine [[empirisch]] ermittelte Gesetzmäßigkeit der [[Strömungsmechanik]]. Sie wurde [[1856]] im Zusammenhang mit der von Darcy konzipierten Wassergewinnungsanlage für die Stadt [[Dijon]] veröffentlicht. Lange Zeit war nicht klar, warum das Darcy-Gesetz funktioniert und woraus es herzuleiten ist. Heute weiß man, dass es sich dabei um eine spezielle Lösung der [[Navier-Stokes-Gleichung]] handelt.

== Definition ==
Das Darcy-Gesetz besagt, dass die Wassermenge <math>Q</math> ([[Volumenstrom|Durchflussrate]] in m³/s), die die gesamte [[Querschnittsfläche]] <math>A</math> ([[Pore]]n<nowiki/>raum + Matrix) eines [[Porosität|porösen]] Mediums (z. B. [[Sand]]) [[laminar]] durchströmt, direkt [[proportional]] ist zum hydraulischen [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>i</math>:

:<math>\frac{Q}{A} = v_\mathrm{f} = - k_\mathrm{f} \cdot i</math>

* Der Begriff Filter''geschwindigkeit'' <math>v_\mathrm{f}</math> ist historisch gewachsen; tatsächlich handelt es sich um einen flächenbezogenen Durchfluss ({{EnS|''specific discharge''}}), der eben die Einheit einer Geschwindigkeit aufweist: <math>\mathrm{\frac{m^3}{s \cdot m^2} = \frac{m}{s}}.</math> Er wird auch Volumenflussdichte genannt.
* Der Proportionalitätsfaktor <math>k_\mathrm f</math> ist der Durchlässigkeitsbeiwert.
* Das [[Minuszeichen]] bringt zum Ausdruck, dass die Strömung in Richtung ''fallender'' [[Standrohrspiegelhöhe]]n erfolgt.
Die restlichen beiden Größen der Darcy-Gleichung werden in den folgenden Unterkapiteln erläutert.

=== Durchlässigkeitsbeiwert ===
Der Proportionalitätsfaktor des Darcy-Gesetzes, der [[Durchlässigkeitsbeiwert]] <math>k_\mathrm{f}</math>, ist ein [[Dimension (Größensystem)|dimensions]]<nowiki/>behafteter [[Kennwert]] ([[Maßeinheit|Einheit]] m/s), der durch Laborversuche bestimmt werden kann (Durchlässigkeitsversuch). Er ist nicht nur von der Porengeometrie abhängig, sondern auch von der [[Dichte]] <math>\rho_\mathrm{F}</math> (in kg/m³) und der [[Dynamische Viskosität|dynamischen Viskosität]] <math>\eta_\mathrm{F}</math> (in Ns/m²) des durchströmenden [[Fluid]]s, z. B. Wasser bei 10 °C oder [[Erdöl]] im Boden ([[Petrochemie]]):

:<math>k_\mathrm{f} = K \frac{\rho_\mathrm{F}}{\eta_\mathrm{F}} \, g</math>

Darin ist:
* <math>K</math> die (intrinsische) [[Permeabilität (Geowissenschaften)|Permeabilität]] (Einheit m²), ein vom durchströmenden Medium unabhängiger Kennwert für die Durchlässigkeit eines porösen Mediums; oft auch angegeben in der Einheit [[Darcy (Einheit)|Darcy]].
* <math>g</math> die [[Schwerebeschleunigung]]

=== Hydraulischer Gradient ===
Der [[dimensionslos]]e hydraulische Gradient <math>i</math> (auch hydraulisches oder [[Potential (Physik)|Potential]][[Steigung|gefälle]] genannt) ist im Allgemeinen, wie die Filtergeschwindigkeit v<sub>f</sub> auch, eine [[vektor]]ielle Größe und somit gerichtet. Er ergibt sich aus der örtlichen [[Differentialrechnung|Ableitung]] der [[Standrohrspiegelhöhe]] (Piezometerhöhe) ''h''(''x'') in die einzelnen Koordinatenrichtungen ''x'':

: <math>i(x) = - \operatorname{grad}(h(x)) = -\frac{\mathrm d h}{\mathrm d x}.</math>

In der [[Grundwasser]][[hydrologie]] wird der hydraulische Gradient zwischen zwei Punkten ''B'' und ''C'' mit dem Abstand ''L'' voneinander entlang der Fließstrecke häufig [[Linearität (Physik)|linear]] angenommen:

: <math> i = \frac{h_B - h_C}{L} </math>

<math>\Rightarrow \frac{Q}{A} = - k_\mathrm{f} \, \frac{h_B - h_C}{L} \;.</math>

== Transportgeschwindigkeit ==
Die Transportgeschwindigkeit von Wasserteilchen (oder vollständig gelösten Wasserinhaltsstoffen) wird durch die '''Abstandsgeschwindigkeit''' <math>v_\textrm{a}</math> beschrieben, die gebildet wird als Quotient der Filtergeschwindigkeit und der [[Effektive Porosität|effektiven Porosität]] <math>\Phi_f</math>:
:<math>v_\textrm{a} = \frac{1}{\Phi_f} \, v_\textrm{f} \;.</math>
Da <math>\Phi_f</math> kleiner als eins ist, ist die Abstandsgeschwindigkeit und damit auch die Transportgeschwindigkeit größer als die Filtergeschwindigkeit.

== Nicht-lineare Bereiche ==
Die von Darcy ermittelte Proportionalität von Geschwindigkeit und hydraulischem Gradienten lässt sich in Experimenten nicht immer beobachten.

Wenn beispielsweise die Geschwindigkeiten in den Poren so groß werden, dass keine laminare, sondern eine [[turbulente Strömung]] vorherrscht, erfolgt infolge erhöhter [[Dissipation]] ein stärkerer Potentialabbau, eine Auftragung zwischen Fließgeschwindigkeit und Gradient wird in diesem Bereich erkennbar nichtlinear. Um die turbulenten Effekte zu berücksichtigen, wurde die Darcy-Gleichung von [[Philipp Forchheimer]] um einen Term zur [[Forchheimer-Gleichung]] erweitert.

Ähnliche nichtlineare Effekte gibt es auch bei sehr geringen Gradienten. Dann können [[Oberflächenkraft|Oberflächenkräfte]] dominieren, so dass eine nichtlineare Abnahme der Filtergeschwindigkeit mit fallendem Gradienten beobachtet werden kann.

== Durchströmung nicht-mischbarer Fluide ==
Das Darcy-Gesetz gilt streng genommen '''nicht''', wenn sich in den Poren mehrere Fluide aufhalten und bewegen können. Wie stark der Einfluss ist, hängt von der Viskosität der beteiligten Fluide ab. Dies kann z. B. bei der Verlagerung von nicht mischbaren Flüssigkeiten ([[LNAPL]] oder [[DNAPL]]) im [[Grundwasser]] eintreten.

Bei der [[Sickerwasser|Versickerung]] von [[Niederschläge]]n im [[Boden (Bodenkunde)|Boden]] kann man häufig davon ausgehen, dass die [[Luft]] hinreichend schnell entweichen kann und stets [[Atmosphärendruck]] in der [[Gasphase]] herrscht. Dieser Strömungsprozess wird häufig analog zum Darcy-Gesetz beschrieben, allerdings mit einem von der [[Wassergehalt|Wassersättigung]] abhängigen ''k''<sub>f</sub>-Wert (teilgesättigte Strömung).

== Siehe auch ==
* [[Darcy-Weisbach-Gleichung]]
* [[Gesetz von Hagen-Poiseuille]]

== Literatur ==
* Christoph Adam, Walter Gläßer, [[Bernward Hölting]]: ''Hydrogeologisches Wörterbuch.'' Enke Verlag, Stuttgart/New York 2000, ISBN 3-13-118271-7.
* Jacob Bear: ''Dynamics of fluids in Porous Media.'' Dover Publications, New York 1972, ISBN 0-444-00114-X.
* [[Karl-Franz Busch]], Ludwig Luckner, Klaus Tiemer: ''Geohydraulik.'' (= ''Lehrbuch der Hydrogeologie.'' Band 3). 3. Auflage. Gebrüder Borntraeger, Berlin/Stuttgart 1993, ISBN 3-443-01004-0.
* W. Kinzelbach, R. Rausch: ''Grundwassermodellierung.'' Medienkombination. Bornträger, Berlin/Stuttgart 1995, ISBN 3-443-01032-6.
* R. Allan Freeze, John A. Cherry: ''Groundwater.'' Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1979, ISBN 0-13-365312-9.
* Hanspeter Jordan, Hans-Jörg Weder: ''Hydrogeologie. Grundlagen und Methoden.'' Enke, Stuttgart 1995, ISBN 3-432-26882-3.
* Amin F. Zarandi, Krishna M. Pillai, Adam S. Kimmel: ''Spontaneous imbibition of liquids in glass-fiber wicks.'' Part I: ''Usefulness of a sharp-front approach.'' In: ''American Institute of Chemical Engineers AIChE Journal.'' Band 63, 2018, S. 294–305. [[doi:10.1002/aic.15965]]

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]
[[Kategorie:Hydrogeologie]]
[[Kategorie:Bodenmechanik]]
[[Kategorie:Wasserbau]]
[[Kategorie:Membrantechnik]]

Darcy-Gesetz - Versionsgeschichte

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