imported>Rosenfalter: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0 */

2024-12-01T10:44:19Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0

Neue Seite

Der [[Jean Baptiste le Rond d’Alembert|'''D’Alembert''']]'''-Operator''' <math>\Box</math> ist ein [[Differentialoperator]] zweiter Ordnung, der auf Funktionen <math>f(t,x_1,\dots, x_{d-1})</math> der {{nowrap|<math>d</math>-dimensionalen}} Raumzeit wirkt (z. B. <math>d=4</math>).
:<math> \Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\sum_{i=1}^{d-1}\frac{\partial^2}{\partial x_i{}^2}\ .</math>

Sein Formelzeichen <math>\Box</math> (gesprochen Box)
ähnelt dem des [[Laplace-Operator]]s <math>\Delta</math> und es gilt die Beziehung
: <math>\Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta_x\ .</math>

Der D'Alembert-Operator ist der Differentialoperator der [[Wellengleichung]] und der [[Klein-Gordon-Gleichung]] und heißt auch '''Wellenoperator''' oder '''Quabla-Operator'''.

In der Physik wird auch die Konvention verwendet, dass die Zeit-Koordinate <math> t</math> in der obig angegebenen Gleichung mit der Geschwindigkeit <math> c</math> zusammengefasst wird. Diese Zusammenfassung lässt sich wiederum als Wegstrecke interpretieren. Dabei wäre die Koordinate <math>\tau =c t </math> die Strecke, die von der Welle in der Zeit <math>t </math> mit der Geschwindigkeit
<math>c</math> durchlaufen wird.

== Lorentzinvarianz des D'Alembert-Operators ==

Die Koeffizienten der zweiten Ableitungen im Wellenoperator sind die Komponenten der (inversen) [[Minkowski-Raum | Raumzeitmetrik]]

: <math>\Box = \eta^{mn}\partial_{x^m}\partial_{x^n}\ ,\ \eta=\text{diag}(1,-1,\dots ,-1)\ .</math>

In der ebenso verbreiteten Konvention, das Negative dieser [[Quadratische Form|quadratischen Form]], <math>\text{diag}(-1,+1,\dots ,+1)</math>, als Raumzeitmetrik zu bezeichnen,
steht <math>\Box</math> für das Negative des hier definierten D'Alembert-Operators.

So wie die Raumzeitmetrik <math>\eta</math> ist der D'Alembert-Operator <math>\Box</math> invariant unter Translationen und [[Lorentztransformation]]en <math>\Lambda</math>. Angewendet auf Lorentzverkettete Funktionen <math>f \circ \Lambda^{-1}</math> ergibt er dasselbe, wie die
Lorentzverkettete abgeleitete Funktion
:<math>(\Box f)\circ \Lambda^{-1} = \Box\,(f\circ \Lambda^{-1})\ .</math>

== Greensche Funktion ==
Eine [[Greensche Funktion]] <math>G(t,t',x,x')</math> des D'Alembert-Operators erfüllt als dessen Rechtsinverses die Definitionsgleichung

:<math>\square(t,\mathbf{x}) G(t-t^\prime, \mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime)
= \delta(t-t^\prime) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime)</math>.

Dabei bezeichnet <math>\delta</math> die Diracsche [[Delta-Distribution]]. Da es sich um einen nicht explizit zeit- und ortsabhängigen Operator handelt, hängt <math>G</math> nur von den Differenzen <math>(t - t')</math> sowie <math>(x - x')</math> ab, weshalb wir [[ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] die gestrichenen Koordinaten null setzen können. Für die [[Fouriertransformierte]] <math>G(\omega,k)</math>

:<math>G(t, \mathbf x) = \frac1{(2\pi)^3} \iint d\omega\ d^3\mathbf k\;
\mathrm{e}^{\mathrm i(\omega t-\mathbf{kx})}\ G(\omega, \mathbf k) </math>

ergibt sich dann folgende [[algebraische Gleichung]]:

:<math>G(\omega, \mathbf k) = \frac 1{-(\omega/c)^2 + k^2}</math>

Die [[Polstelle]]n von <math>G(\omega,k)</math> liegen genau dort, wo die [[Dispersionsrelation]] für elektromagnetische Wellen im [[Vakuum]] (<math>\omega^2=c^2k^2</math>) erfüllt ist. Die Lösungen der homogenen Wellengleichung fallen also genau mit den Polen der Greenschen Funktion zusammen, was ein für [[Übertragungsfunktion|Antwortfunktionen]] typisches [[Resonanz]]verhalten ist.

Um die Rücktransformation durchführen zu können, betrachten wir die [[analytische Fortsetzung]] von <math>G(\omega,k)</math> für komplexe Frequenzen. Mit Hilfe des [[Residuenkalkül]]s kann man die Pole bei <math>|\omega| = ck</math> „umschiffen“, wobei verschiedene Pfade verschiedenen Randbedingungen entsprechen. Man unterscheidet:

{| class="wikitable"
|-
! Typ !! <math>G(\omega,\mathbf k)</math> !! <math>G(t, x)</math>
|-
| Retardiert <math>G^+</math>
|| <math>\frac 1{-(\omega/c + \mathrm i \epsilon)^2 + k^2}</math>
|| <math>\frac 1{4\pi x} \delta\left(t - \frac xc\right)\Theta(t)</math>
|-
| Avanciert <math>G^-</math>
|| <math>\frac 1{-(\omega/c - \mathrm i \epsilon)^2 + k^2}</math>
|| <math>\frac 1{4\pi x} \delta\left(t + \frac xc\right)\Theta(-t)</math>
|}

Die Greensche Funktion im Frequenzraum ist dabei im [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] <math>\epsilon\to0^+</math> zu verstehen, was den verschiedenen Pfaden um die Pole im Integral entspricht.

Der Faktor <math>t-x/c</math> entspricht dem Ausbreitungsgesetz einer [[Kugelwelle]].

== Literatur ==
* [[Torsten Fließbach]]: ''Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik II.'' 6. Auflage. Springer Spektrum Akademischer Verlag, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8274-3035-9.

{{SORTIERUNG:Dalembertoperator}}
[[Kategorie:Differentialoperator]]
[[Kategorie:Spezielle Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Notation (Physik)]]
[[Kategorie:Jean-Baptiste le Rond d’Alembert]]

D’Alembert-Operator - Versionsgeschichte

imported>Rosenfalter: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0 */