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2025-12-22T10:26:49Z

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'''Currys Paradoxon''' ist ein [[Paradoxon]], das [[Haskell Brooks Curry|Haskell Curry]] 1942 beschrieb; es erlaubt die Ableitung einer beliebigen Aussage aus einem selbstbezüglichen Ausdruck, der seine eigene Gültigkeit voraussetzt, mittels einfacher, allgemeiner logischer Regeln. Curry zeigte auf diesem Weg die [[Widerspruchsfreiheit#Inkonsistenzbeweise|Inkonsistenz]] von Axiomensystemen mit solch einem Ausdruck.<ref name="Curry">Haskell B. Curry: ''The inconsistency of certain formal logics.'' In: ''[[Journal of Symbolic Logic]].'' Bd. 7, Nr. 3, 1942, {{ISSN|0022-4812}}, S. 115–117.</ref>

== Verbale Fassung ==
Currys Paradoxon lässt sich verbal durch folgenden selbstbezüglichen Satz ausdrücken und ableiten:
:''Wenn dieser Satz gilt, dann gilt eine beliebige Aussage A.''

Currys Ableitung des Paradoxons wird leicht verständlich, wenn ''dieser Satz'' mit ''S'' abgekürzt wird. Damit lautet ''S'' in Kurzfassung: ''Wenn S gilt, dann gilt A''. Nun gilt selbstverständlich: ''Wenn S gilt, dann gilt S''. Setzt man hier ''S'' in der Kurzfassung ein, so ergibt sich: ''Wenn S gilt, dann gilt „Wenn S gilt, dann gilt A“''. Nun kann man aber eine wiederholte Bedingung einfach weglassen ohne Sinnveränderung, so dass sich ergibt: ''Wenn S gilt, dann gilt A''. Das ist genau der Satz ''S''. Damit gilt die [[Prämisse]] von ''S'' und man kann ''A'' folgern. Damit ist eine beliebige Aussage beweisbar, auch wenn man sie absurd wählt.

== Sprachliche Voraussetzungen ==
Currys Paradoxon kann in jeder Sprache formuliert werden, die folgende Bedingungen erfüllt:<ref>Haskell B. Curry: ''The inconsistency of certain formal logics.'' In: ''Journal of Symbolic Logic.'' Bd. 7, Nr. 3, 1942, S. 115, dort aber mit Tippfehler im Reflexivgesetz, korrekt in: Haskell B. Curry: ''The Combinatory Foundations of Mathematical Logic.'' In: ''Journal of Symbolic Logic.'' Bd. 7, Nr. 2, 1942, S. 49–64, hier S. 62.</ref>
* Die Sprache erlaubt den [[Modus ponens]]: Aus ''A'' und „wenn ''A'', dann ''B'' “ schließt man ''B'':
: <math>A, A\to B\vdash B</math>.
* Die Sprache erlaubt die Kontraktion, nach der eine wiederholte Prämisse ohne Bedeutungsänderung weggelassen werden kann:
: <math>A\to (A\to B)\vdash A\to B</math>
* Die Sprache erlaubt die [[Tautologie (Logik)|Tautologie]] „wenn ''A'', dann ''A''“:
: <math>A\to A</math>
* Die Sprache kann einen [[Selbstbezüglichkeit|Selbstbezug]] ausdrücken durch eine Aussage <math>S</math>, die eine äquivalente Formel <math>F(S)</math> hat, in der <math>S</math> vorkommt, so dass der Selbstbezug folgende Form hat:
:<math>S\iff F(S)</math>

Die [[klassische Logik]] und viele nicht-klassischen Logiken, insbesondere [[Intuitionismus|intuitionistische Logiken]] und sogar [[parakonsistente Logik]]en erfüllen diese Kriterien, selbstverständlich aber auch die verbale Sprache, die Selbstbezüge mit Pronomen statt Variablen ausdrückt. Currys Paradoxon verwendet bewusst keine Negation und keine indirekten Beweise, mit denen gewöhnlich Paradoxien abgeleitet werden, sondern entwickelt eine allgemeinere direkte Ableitung.

== Ableitung des Paradoxons ==
Der spezielle Selbstbezug in Currys Paradoxon lautet <math> S \iff (S \to A) </math> mit einer freien Variablen <math>A</math> für eine beliebige Aussage. Der formale Beweis dieser variablen Aussage lautet dann:

Als Tautologie gilt:
:<math>\mbox{(1) } S \to S </math>
Die Ersetzung der rechten Seite per Selbstbezug ergibt:
:<math>\mbox{(2) } S \to (S \to A ) </math>
Daraus folgt per Kontraktion:
:<math>\mbox{(3) } S \to A </math>
Die Ersetzung mit dem Selbstbezug führt zu:
:<math>\mbox{(4) } S</math>
Aus (4) und (3) folgt mit dem Modus ponens schließlich:
:<math>\mbox{(5) } A</math>

Mit dieser Ableitung ist die [[Widerspruchsfreiheit#Definitionen|Inkonsistenz]] des Axiomensystems gezeigt, weil alle Aussagen beweisbar sind. Dabei ist zu beachten, dass der Selbstbezug ein Zusatzaxiom ist, das neben den oben genannten sprachlichen Voraussetzungen in der Ableitung zweimal angewandt wird! <ref>Voraussetzung im Lemma S. 115 in: Haskell B. Curry: ''The inconsistency of certain formal logics.'' In: ''Journal of Symbolic Logic.'' Bd. 7, Nr. 3, 1942, S. 115–117.</ref> Die Ableitung zeigt also, dass dieser als zusätzliches Argument eingesetzte Selbstbezug falsch ist: Er ist nicht [[Widerspruchsfreiheit|relativ konsistent]] zu Axiomensystemen, in denen die sprachlichen Voraussetzungen gelten; hier ist nämlich nur die Formulierbarkeit des Selbstbezugs gefordert, nicht aber dessen Gültigkeit.

== Mengentheoretische Variante ==
In der [[naive Mengenlehre|naiven Mengenlehre]] entsteht eine Variante des Paradoxons bei folgender Klasse:
:<math>C \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left\{ x \mid x \in x \to A \right\}</math>
Aus ihr ergibt sich bei Anwendung des uneingeschränkten [[Klasse (Mengenlehre)#Klassenterme|Abstraktionsprinzip]]s folgender Selbstbezug:
:<math>C \in C \iff ( C \in C \to A )</math>
Aus diesem Selbstbezug lässt sich die Aussage <math>A</math> wie oben beweisen und damit die Inkonsistenz dieses Selbstbezugs nachweisen.

In der [[Klassenlogik]] führt diese Ableitung zu keinem Widerspruch, sondern beweist, dass die Klasse <math>C</math> keine Menge ist, sondern eine sogenannte [[Klasse (Mengenlehre)#Echte Klassen|echte Klasse]]. Der Selbstbezug folgt hier aus dem naiven uneingeschränkten Abstraktionsprinzip, das nicht gelten kann; nur eine gebundene, quantifizierte [[Klasse (Mengenlehre)#Klassen und Mengen|Abstraktion für Mengen]] ist erlaubt:
:<math>\forall y: (y \in C \iff y \in y \to A)</math>
Das Einsetzen von <math>C</math> für <math>y</math> ist nur unter der Voraussetzung <math>C \in \mathcal{V}</math> zulässig, dabei ist <math>\mathcal{V} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left\{ x \mid x = x \right\}</math> der Variablenbereich. Die Anwendung des Abstraktionsprinzips liefert daher:
:<math>C \in \mathcal{V} \Longrightarrow (C \in C \iff C \in C \to A)</math>
Ist <math>A</math> falsch, folgt <math>C \notin \mathcal{V}</math>.

== Klassische Spezialfälle ==
Spezialfälle des Paradoxons entstehen in der [[Klassische Logik|klassischen Logik]] oder [[Intuitionismus|intuitionistischen Logik]], wenn in die freie Variable ein [[Kontradiktion|Widerspruch]] eingesetzt wird, der dann aus dem Selbstbezug folgt. Dann ist <math> S \to (X \land \neg X)</math> per [[Kontraposition]] und dem [[Satz vom Widerspruch]] gleichwertig zu <math>\neg S </math>. Das Paradoxon hat damit die Form <math>S = \neg S </math> des [[Lügner-Paradoxon]]s in einer aussagenlogischen Formulierung per [[Negation]]. Bei der mengentheoretischen Variante ist <math> \left\{ x \mid x \in x \to ( Y \wedge \neg Y ) \right\}</math> äquivalent zur Russellschen Klasse <math> \left\{ x \mid x \notin x \right\} </math>, die für die [[Russellsche Antinomie]] verantwortlich ist.

== Löbs Anwendung ==
Currys Paradoxon wurde 1955 von [[Martin Hugo Löb]] angewandt, um zu zeigen, dass Sätze, die ihre eigene Beweisbarkeit behaupten, wahr sein müssen.<ref>Martin Hugo Löb: ''Solution of a Problem of Leon Henkin.'' In: ''Journal of Symbolic Logic.'' Bd. 20, Nr. 2, 1955, S. 115–118, Paradoxon S. 117.</ref> Daher wird es in der Literatur zuweilen als Löbs Paradoxon bezeichnet.

== Weblinks ==
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: „[https://plato.stanford.edu/entries/curry-paradox/ Curry’s Paradox]“ – von J. C. Beall (engl.).
* Grossman, Jason, University of Sydney History & Philosophy of Science: [https://xeny.net/Penguins%20Rule%20The%20Universe.html A Proof that Penguins Rule the Universe.] Kurze unterhaltsame Diskussion von Currys Paradoxon.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Paradoxon]]
[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Semantik (Philosophie)]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Currys Paradoxon - Versionsgeschichte

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