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2026-01-02T09:32:26Z

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Das '''Cup-Produkt''' bezeichnet in der [[Algebraische Topologie|Algebraischen Topologie]] eine multiplikative Struktur auf einer [[Kohomologie]]. Dadurch erhält man auf der Kohomologie eine [[Ring (Algebra)|Ringstruktur]], die als '''Kohomologiering''' bezeichnet wird. Ein analoges Produkt für [[Homologietheorie|Homologien]] gibt es nicht.

Für [[Topologischer Raum|topologische Räume]] <math>X</math> und [[natürliche Zahl]]en <math>p,q</math> definiert das Cup-Produkt ein Produkt
:<math>H^p(X)\times H^q(X)\rightarrow H^{p+q}(X)</math>
:<math>(\alpha,\beta)\rightarrow\alpha\cup\beta</math>
mit den Eigenschaften
:<math>\alpha\cup\beta=(-1)^{pq}\beta\cup\alpha</math> (graduierte [[Kommutativität]])
:<math>f^*(\alpha\cup\beta)=f^*\alpha\cup f^*\beta</math> für alle stetigen Abbildungen <math>f \colon Y\rightarrow X</math> (Natürlichkeit)
:<math>\alpha\cup(\beta_1+\beta_2)=\alpha\cup\beta_1+\alpha\cup\beta_2</math> ([[Distributivität]])
:<math>\alpha\cup(\beta\cup\gamma)=(\alpha\cup\beta)\cup\gamma</math> ([[Assoziativität]]).

== Definition ==

Im Folgenden werden drei Definitionen für das Cup-Produkt dargestellt. Die Definition des Cup-Produkts für die singuläre Kohomologie ist die allgemeinste der drei und umfasst die Definitionen für die De-Rham- und die simpliziale Kohomologie.

=== De-Rham-Kohomologie ===

Diese Definition setzt voraus, dass <math>X</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] ist.

In der [[De-Rham-Kohomologie]] werden Kohomologieklassen durch [[Differentialform]]en repräsentiert. Für das [[Graßmann-Algebra#Äußeres Produkt|äußere Produkt]] von Differentialformen <math>\omega\in\Omega^p(X),\eta\in\Omega^q(X)</math> gilt die [[Antiderivation|Leibniz-Regel]] <math>d(\omega\wedge \eta)=d\omega\wedge \eta +(-1)^p\omega\wedge d\eta</math>. Man kann deshalb das Cup-Produkt der von <math>\omega</math> und <math>\eta</math> repräsentierten Kohomologieklassen <math>\alpha=\left[\omega\right],\beta=\left[\eta\right]</math> durch
:<math>\left[\omega\right]\cup\left[\eta\right]=\left[\omega\wedge\eta\right]</math>
definieren und erhält wegen der Leibniz-Regel eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen.

=== Simpliziale Kohomologie ===

Diese Definition setzt voraus, dass <math>X</math> ein [[Simplizialkomplex]] ist.

In der [[Simpliziale Kohomologie|simplizialen Kohomologie]] werden Kohomologieklassen <math>\alpha\in H^n(X;R)</math> durch Homomorphismen <math>f \colon C_n(X)\rightarrow R</math> repräsentiert, wobei <math>C_n(X)</math> die <math>n</math>-te [[Simpliziale Homologie#Simpliziale Homologie|Kettengruppe]], also die [[freie abelsche Gruppe]] über der Menge der <math>n</math>-Simplizes des Simplizialkomplexes <math>X</math> ist. Für einen <math>(p+q)</math>-Simplex <math>\left[v_0,\ldots,v_{p+q}\right]</math> bezeichnen wir mit <math>\left[v_0,\ldots,v_p\right]</math> bzw. <math>\left[v_p,\ldots,v_{p+q}\right]</math> die von den ersten <math>p</math> bzw. letzten <math>q</math> Ecken aufgespannten Untersimplizes. Fūr zwei Homomorphismen <math>f \colon C_p(X)\rightarrow R</math>, <math>g \colon C_q(X)\rightarrow R</math> definiert man <math>f\cup g:C_{p+q}(X)\rightarrow R</math> durch
:<math>(f\cup g)(\left[v_0,\ldots,v_n\right])=f(\left[v_0,\ldots,v_p\right])g(\left[v_p,\ldots,v_{p+q}\right])</math>.
Diese Verknüpfung erfüllt die Leibniz-Regel <math>d(f\cup g)=df\cup g +(-1)^p f\cup dg</math>, man erhält also eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen, indem man das Cup-Produkt der Kohomologieklassen von <math>f</math> und <math>g</math> als die Kohomologieklasse von <math>f\cup g</math> definiert.

=== Singuläre Kohomologie ===

Diese Definition funktioniert für beliebige topologische Räume, im Falle von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten bzw. Simplizialkomplexen ist die so definierte Ringstruktur auf der singulären Kohomologie isomorph zu den oben definierten Ringstrukturen auf De-Rham- bzw. simplizialer Kohomologie.

Sei <math>R</math> ein Ring und <math>H^\bullet(X;R)</math> die [[singuläre Kohomologie]] mit Koeffizienten in <math>R</math>. Kohomologieklassen <math>\alpha\in H^n(X;R)</math> werden durch Homomorphismen <math>f \colon C_n(X)\rightarrow R</math> repräsentiert, wobei <math>C_n(X)</math> die <math>n</math>-te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard-<math>n</math>-Simplexes <math>\Delta^n</math> nach <math>X</math> ist. Man bezeichnet mit <math>\iota_{0\ldots p} \colon \Delta^p\rightarrow\Delta^{p+q}</math> beziehungsweise <math>\iota_{p\ldots p+q} \colon \Delta^q\rightarrow\Delta^{p+q}</math> die [[Inklusionsabbildung|Inklusionen]] des Standard-<math>p</math>- beziehungsweise <math>q</math>-Simplexes als „vordere <math>p</math>-dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere <math>q</math>-dimensionale Seite“ in den Standard-<math>(p+q)</math>-Simplex.
Für einen singulären <math>(p+q)</math>-Simplex <math>\sigma : \Delta^{p+q}\rightarrow X</math> und Koketten <math>f \colon C_p(X)\rightarrow R</math>, <math>g \colon C_q(X)\rightarrow R</math> definiert man
:<math>(f\cup g)(\sigma)=f(\sigma\circ \iota_{0\ldots p})g(\sigma\circ\iota_{p\ldots p+q})</math>.

Diese Verknüpfung erfüllt die Leibniz-Regel <math>d(f\cup g)=df\cup g +(-1)^p f\cup dg</math>, man erhält also eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen, indem man das Cup-Produkt der Kohomologieklassen von <math>f</math> und <math>g</math> als die Kohomologieklasse von <math>f\cup g</math> definiert.

Das Cup-Produkt definiert eine zusätzliche, multiplikative Struktur auf den Kohomologiegruppen. Man kann mit Hilfe dieser multiplikativen Struktur manchmal Räume unterscheiden, deren Kohomologiegruppen als (additive) abelsche Gruppen isomorph sind.

== Schnittform und Signatur ==
{{Hauptartikel|Schnittform}}

Für eine [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossene]], [[Orientierbare Mannigfaltigkeit|orientierbare]] <math>4n</math>-dimensionale [[Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> existiert ein Isomorphismus <math>H^{4n}(M;\mathbb Z) \cong \mathbb Z</math>. Das Cup-Produkt definiert somit eine [[symmetrische Bilinearform]]
:<math>H^{2n}(M;\mathbb Z)\times H^{2n}(M;\mathbb Z)\rightarrow\mathbb Z</math>,
die sogenannte Schnittform.

Die [[Signatur (Topologie)|Signatur]] von <math>M</math> ist per Definition die [[Signatur (Lineare Algebra)|Signatur]] dieser symmetrischen Bilinearform.<ref>H. Weyl: ''Analisis situs combinatorio.'' In: ''Revista Matematica HispanoAmericana.'' 5, 1923, S. 390–432.</ref> Der [[Signatursatz von Hirzebruch|Hirzebruchsche Signatursatz]] besagt, dass man die Signatur als Polynom in den [[Pontrjagin-Klasse]]n darstellen kann.<ref>[[Friedrich Hirzebruch]]: ''Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie.'' In: ''Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.'' (N.F.), Heft 9. Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1956, Kapitel 2.</ref>

[[Einfach zusammenhängend]]e differenzierbare 4-Mannigfaltigkeiten werden bis auf Homöomorphie (aber nicht Diffeomorphie) durch ihre Schnittform klassifiziert.
Für die Klassifikation einfach zusammenhängender topologischer 4-Mannigfaltigkeiten benötigt man neben der Schnittform noch die [[Kirby-Siebenmann-Invariante]].<ref>[[Michael Freedman]]: ''The topology of four-dimensional manifolds.'' In: ''J. Differential Geom.'' 17, no. 3, 1982, S. 357–453.</ref>

== Literatur ==

* A. Hatcher: ''Algebraic Topology.'' Cambridge Univ. Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-79160-1. [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch3.pdf Chapter 3.2] (auf: ''math.cornell.edu'', PDF; 539 kB).

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Algebraische Topologie}}

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Cup-Produkt - Versionsgeschichte

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