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2026-02-12T13:17:46Z

größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl eingefügt

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Eine '''Cullen-Zahl''' ist eine Zahl der Form <math>C_n = n \cdot 2^n + 1</math>. Mit diesen Zahlen hat sich [[Hochwürden|Reverend]] [[James Cullen (Mathematiker)|James Cullen]] [[1905]] beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer <math>C_1=3</math> alle Zahlen dieser Form bis <math>C_{99}</math> zusammengesetzte Zahlen, also keine [[Primzahl]]en sind. Seine Unsicherheit bezüglich <math>C_{53}</math> konnte von [[Allan J.C. Cunningham]] [[1906]] ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle <math>C_n</math> bis <math>n=200</math> zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für <math>n=141</math>.

[[1958]] bestätigte [[Raphael M. Robinson]], dass <math>C_{141}</math> eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von <math>C_1</math> und <math>C_{141}</math> alle Cullen-Zahlen von <math>C_1</math> bis <math>C_{1000}</math> zusammengesetzte Zahlen sind.

[[Wilfrid Keller]] hat [[1984]] gezeigt, dass <math>C_{4713}, C_{5795}, C_{6611}</math> und <math>C_{18\;\!496}</math> ebenfalls [[Primzahl]]en sind, aber alle anderen <math>C_n</math> mit <math>n \leq 30\;\!000</math> zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen <math>C_n</math> für folgende <math>n</math> bekannt:
: 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … ({{OEIS|A005849}})
Die bis dato größte bekannte Cullen-Primzahl ist somit <math>C_{6\;\!679\;\!881}=6\;\!679\;\!881 \cdot 2^{6\;\!679\;\!881}+1</math>, sie hat 2 010 852 Stellen. Sie wurde am 25. Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts [[PrimeGrid]] entdeckt.<ref>{{Internetquelle
| hrsg = PrimeGrid
| url = http://www.primegrid.com/download/cullen-6679881.pdf
| titel = PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1
| zugriff = 2016-11-02
}}</ref><ref>{{Internetquelle
| autor = Chris K.Caldwell
| hrsg = Prime Pages
| url = https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=6
| titel = The Top Twenty: Cullen primes
| zugriff = 2018-04-26
}}</ref>

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis <math>n<13\;\!705\;\!481</math> gibt.<ref name="MathWorld">{{Internetquelle
| autor = Weisstein, Eric W.
| hrsg = MathWorld
| url = http://mathworld.wolfram.com/CullenNumber.html
| titel = Cullen Number
| zugriff = 2016-05-01
}}</ref> Es wird aber ''[[Vermutung (Mathematik)|vermutet]]'', dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt. Es ist noch nicht bekannt, ob <math>n</math> und <math>C_n</math> gleichzeitig prim sein darf.<ref name="Eigenschaften">{{Internetquelle
| autor = Chris K.Caldwell
| hrsg = The Prime Glossary
| url = http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Cullens.html
| titel = Cullen Prime
| zugriff = 2016-05-01
}}</ref>

== Eigenschaften von Cullen-Zahlen ==
[[Fast alle]] Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen.<ref name="Eigenschaften" /> Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form <math>p=2n-1</math>, wobei <math>p</math> eine Primzahl der Form <math>p=8k \pm 3</math> sein muss.<ref name="MathWorld" />
Wegen des [[Kleiner fermatscher Satz|kleinen fermatschen Satzes]] kann man außerdem folgern, dass, wenn <math>p</math> eine ungerade Primzahl ist, <math>p</math> ein Teiler von <math>C_{m(k)}</math> sein muss mit <math>m(k)=(2^k-k) \cdot (p-1)-k</math> für <math>k \geq0</math>.<ref name="Eigenschaften" />

Weiters konnte folgendes gezeigt werden:

Die Primzahl <math>p</math> teilt die Cullen-Zahl <math>C_{\frac{p+1}{2}}</math>, wenn das [[Jacobi-Symbol]] <math>\left(\frac{2}{p} \right)=-1</math> ist.<ref name="Eigenschaften" />

Die Primzahl <math>p</math> teilt die Cullen-Zahl <math>C_{\frac{3p-1}{2}}</math>, wenn das [[Jacobi-Symbol]] <math>\left(\frac{2}{p} \right)=+1</math> ist.<ref name="Eigenschaften" />

== Verallgemeinerte Cullen-Zahlen ==
Zahlen der Form <math>n \cdot b^n+1</math> mit <math>n+2>b</math> bezeichnet man als '''verallgemeinerte Cullen-Zahlen'''. Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so nennt man sie '''verallgemeinerte Cullen-Primzahl'''.<ref name="Eigenschaften" />

Die kleinsten <math>n</math>, für die <math>n \cdot b^n+1</math> prim ist, sind für aufsteigendes <math>b</math> = 1, 2, …:
: 1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, … ({{OEIS|A240234}})

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von <math>b</math> zwischen 1 und 30.<ref>{{Internetquelle
| url = http://www.loeh.name/guenter/gc/status.html
| titel = Generalized Cullen primes n bn+1
| kommentar= Liste der verallgemeinerten Cullen-Primzahlen mit Basis 3 bis 100
| zugriff = 2016-05-01
}}</ref><ref>{{Internetquelle
| url = http://harvey563.tripod.com/GClist.txt
| titel = Liste der verallgemeinerten Cullen-Primzahlen mit Basis 101 bis 10000
| zugriff = 2016-05-01
}}</ref> Diese <math>n</math> wurden zumindest bis 100 000 untersucht. Wenn für <math>n</math> die Bedingung <math>n+2>b</math> nicht gilt, aber trotzdem die Zahl <math>n \cdot b^n+1</math> prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:
{| class="wikitable sortable"
|-
! class="hintergrundfarbe6"| b
! class="hintergrundfarbe6"| n, sodass n・bn + 1 prim ist
! data-sort-type="number" ! class="hintergrundfarbe6" | untersucht bis

! class="hintergrundfarbe6"| [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]-Folge
|-
|1
| alle Primzahlen minus 1, d. h.: 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, …
| data-sort-value="100000000000000000" | alle [[Primzahl]]en
|{{OEIS|A006093}}
|-
|2
|1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, …
|13705481
|{{OEIS|A005849}}
|-
|3
|2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, …
|1200000
|{{OEIS|A006552}}
|-
|4
|(1), 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, …
|250000
|{{OEIS|A007646}}
|-
|5
|1242, 18390, …
|379575
|
|-
|6
|(1, 2), 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, …
|200000
|{{OEIS|A242176}}
|-
|7
|34, 1980, 9898, …
|255681
|{{OEIS|A242177}}
|-
|8
|(5), 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, …, 749130, …
|166666
|{{OEIS|A242178}}
|-
|9
|(2), 12382, 27608, 31330, 117852, …
|222431
|{{OEIS|A265013}}
|-
|10
|(1, 3), 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, …
|270026
|{{OEIS|A007647}}
|-
|11
|10, …
|600000
|
|-
|12
|(1, 8), 247, 3610, 4775, 19789, 187895, …
|254519
|{{OEIS|A242196}}
|-
|13
|…
|1000000
|
|-
|14
|(3, 5, 6, 9), 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, …
|246922
|{{OEIS|A242197}}
|-
|15
|(8), 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, …
|136149
|{{OEIS|A242198}}
|-
|16
|(1, 3), 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, …
|125000
|{{OEIS|A242199}}
|-
|17
|19650, 236418, …
|281261
|
|-
|18
|(1, 3), 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, …
|203597
|{{OEIS|A007648}}
|-
|19
|6460, …
|305777
|
|-
|20
|(3), 6207, 8076, 22356, 151456, …
|219976
|{{OEIS|A338412}}
|-
|21
|(2, 8), 26, 67100, …
|274099
|
|-
|22
|(1, 15), 189, 814, 19909, 72207, …
|137649
|
|-
|23
|4330, 89350, …
|177567
|
|-
|24
|(2, 8), 368, …
|134188
|
|-
|25
|2805222, …
|500000
|
|-
|26
|117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, …
|147626
|
|-
|27
|(2), 56, 23454, …, 259738, …
|215413
|
|-
|28
|(1), 48, 468, 2655, 3741, 49930, …
|200618
|
|-
|29
|…
|500000
|
|-
|30
|(1, 2, 3, 7, 14, 17), 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, …
|101757
|
|}
Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist <math>4\;\!052\;\!186 \cdot 69^{4\;\!052\;\!186}+1</math>. Sie hat 7 451 366 Stellen und wurde am 17. April 2025 von Mark Williams, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.<ref>{{Internetquelle
| autor = Chris K.Caldwell
| hrsg = Prime Pages
| url = https://t5k.org/primes/page.php?id=140607
| titel = The Largest Known Primes! 4052186 · 694052186 + 1
| zugriff = 2026-02-12
}}</ref><ref>{{Internetquelle
| autor = Chris K.Caldwell
| hrsg = Prime Pages
| url = https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=42
| titel = The Top Twenty: Generalized Cullen
| zugriff = 2026-02-12
}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Woodall-Zahl]]

== Literatur ==
* J. Cullen: ''Question 15897'', Educ. Times, (December 1905) 534.

== Weblinks ==
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Cullens Cullen Numbers]
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WoodallNumber Woodall Numbers]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Cullen-Zahl - Versionsgeschichte

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