imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2026-02-03T19:15:51Z

Bot: http → https

Neue Seite

[[Datei:CrystalBallFunction.svg|thumb|300px|right|Plot der Crystal-Ball-Funktion mit drei verschiedenen Parametersätzen]]
Die '''Crystal-Ball-Funktion''', benannt nach der [[Crystal Ball Collaboration]], ist eine [[Dichtefunktion]] einer asymmetrischen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]], die oft benutzt wird, um verschiedene verlustbehaftete Prozesse in der [[Hochenergiephysik]] zu modellieren. Sie ist zusammengesetzt aus einem [[Normalverteilung|gaußförmigen]] zentralen Bereich, der für kleine Werte in ein [[Potenzgesetz (Statistik)|Potenzgesetz]] übergeht. Die Funktion selber und ihre erste Ableitung sind [[Stetige Funktion|stetig]].

Die Crystal-Ball-Funktion ist gegeben durch
:<math>f(x;\alpha,n,\bar x,\sigma) = N \cdot \begin{cases} \exp\left(- \frac{(x - \bar x)^2}{2 \sigma^2}\right), & \mbox{falls }\frac{x - \bar x}{\sigma} > -\alpha \\
A \cdot\left(B - \frac{x - \bar x}{\sigma}\right)^{-n}, & \mbox{falls }\frac{x - \bar x}{\sigma} \leqslant -\alpha \end{cases}</math>
mit
:<math>A = \left(\frac{n}{\left| \alpha \right|}\right)^n \cdot \exp\left(- \frac {\left| \alpha \right|^2}{2}\right)</math>
:<math>B = \frac{n}{\left| \alpha \right|} - \left| \alpha \right|</math>
:<math>N = \frac{1}{\sigma (C + D)}</math>
:<math>C = \frac{n}{\left| \alpha \right|} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \exp\left(- \frac {\left| \alpha \right|^2}{2}\right)</math>
:<math>D = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \operatorname{erf}\left(\frac{\left| \alpha \right|}{\sqrt 2}\right)\right).</math>

Dabei ist <math>N</math> (Skwarnicki 1986) ein Normierungsfaktor, <math>\bar x</math> und <math>\sigma</math> sind Erwartungswert und Standardabweichung der Gauß-Verteilung, <math>\alpha</math> bestimmt die Position des Übergangs zwischen Gauß-Verteilung und Potenzgesetz und <math>n</math> ist der freie Parameter des Potenzgesetzes. erf ist die [[Fehlerfunktion]].

==Literatur==
* J. E. Gaiser, [http://www.slac.stanford.edu/cgi-wrap/getdoc/slac-r-255.pdf Appendix-F Charmonium Spectroscopy from Radiative Decays of the J/Psi and Psi-Prime, Ph.D. Thesis], SLAC-R-255 (1982), S. 178. (PDF, 205 Seiten; 6,5 MB)
* M. J. Oreglia, [https://www.slac.stanford.edu/pubs/slacreports/slac-r-236.html A Study of the Reactions psi prime → gamma gamma psi, Ph.D. Thesis], SLAC-R-236 (1980), Appendix D.
* T. Skwarnicki, [http://inspirehep.net/record/230779/files/f31-86-02.pdf A study of the radiative CASCADE transitions between the Upsilon-Prime and Upsilon resonances, Ph.D Thesis] (PDF; 41,7 MB), DESY F31-86-02(1986), Appendix E.

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Crystal-Ball-Funktion - Versionsgeschichte

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https