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2026-02-19T10:06:52Z

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Das '''cronbachsche''' <math>\,\boldsymbol{\alpha}</math> '''(Alpha)''' ist eine nach [[Lee Cronbach]] benannte Maßzahl für die interne Konsistenz einer Skala und bezeichnet das Ausmaß, in dem die Aufgaben bzw. Fragen einer Skala miteinander in Beziehung stehen (interrelatedness<ref name="Cortina1993">Jose M. Cortina: [https://helenagmartins.files.wordpress.com/2014/04/cortina-1993-what-is-coefficient-alpha-an-examination-of-theory-and-applications.pdf ''What is Coefficient Alpha? Examination of Theory and Applications''.] (PDF; 1,2 MB) In: ''Journal of Applied Psychology'', 78(1), 1993, S. 98–104, [[doi:10.1037/0021-9010.78.1.98]].</ref>). Es ist hingegen kein Maß für die Eindimensionalität einer Skala. Das cronbachsche Alpha wird vor allem in den [[Sozialwissenschaften]] bzw. in der [[Psychologie]] verwendet – insbesondere bei der Testkonstruktion und -evaluation. Es wird angewendet, um die interne Konsistenz eines [[Psychometrie|psychometrischen]] Instruments zu schätzen. In der jüngeren Literatur wird der Begriff cronbachsches <math>\alpha</math> abgelehnt und stattdessen der Begriff '''tau-äquivalente Reliabilität''' (<math>\rho_T</math>) vorgeschlagen.<ref name="Cho">Cho. 2016, [[doi:10.1177/1094428116656239]]</ref> Die tau-äquivalente Reliabilität ist u. a. in der [[Psychometrie]] von Bedeutung.

== Geschichte ==
[[Datei:Congeneric measurement model.png|mini|300px|Ein tau-äquivalentes Messmodell ist ein Spezialfall des hier abgebildeten kongenerischen Messmodells, bei dem alle Faktorladungen als identisch angenommen werden, d. h. <math>\lambda=\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=...=\lambda_k</math>.]]

Die erste Bezeichnung als Alpha geschah 1951 durch Cronbach, obwohl die [[Kuder-Richardson-Formel|Kuder-Richardsonsche Formel]] eine ältere Version für dichotome [[Item (Test)|Items]] darstellt und [[Louis Guttman]] die gleiche Maßzahl bereits 1945 unter dem Namen Lambda-3<ref name="Guttman L (1945)">{{cite journal |author=Louis Guttman |year=1945 |title=A basis for analyzing test–retest reliability |journal=[[Psychometrika]] |volume=10 |pages=255–282 |doi=10.1007/BF02288892 |language=en}}</ref> entwickelt hatte. In jüngster Zeit wird die Verwendung des cronbachschen Alphas und des Begriffes zunehmend kritisiert. [[Eunseong Cho]] (2016) schlägt vor, statt des cronbachschen Alphas konsequent von tau-äquivalenter Reliabilität <math>\rho_{T}</math> zu sprechen; Cho verdeutlicht zudem, dass statt <math>\rho_{T}</math> in vielen Fällen eine Verwendung der [[Kongenerische Reliabilität|kongenerischen Reliabilität]] <math>\rho_{C}</math> angebracht ist (s. dort).<ref name="Cho" />

== Definition ==
Geht man davon aus, dass eine [[Stichprobe]] hinsichtlich einer Gruppe von ''k'' Items untersucht wurde, dann ist das cronbachsche <math>\alpha \,</math> definiert als die durchschnittliche [[Korrelation]] zwischen diesen Items, nach oben korrigiert um ''k'' durch die [[Spearman-Brown-Formel]]. Deshalb wird das cronbachsche Alpha auch als '''Maß der [[Interne Konsistenz#Typen|internen Konsistenz]] einer Skala''' bezeichnet. Das cronbachsche <math>\alpha \,</math> hängt zusammen mit dem Ergebnis einer [[Varianzanalyse]] der Itemdaten hinsichtlich der Varianz zwischen den Testpersonen und der Varianz zwischen den Items. Je höher die proportionale Varianz zwischen den Testpersonen, desto höher ist auch das cronbachsche <math>\alpha \,</math>.

=== Formel ===
Die Formel zur Berechnung eines standardisierten cronbachschen <math>\alpha</math> lautet:

: <math>\alpha_{st} = \frac{N\cdot\bar r}{1 + (N-1)\cdot\bar r}</math>,

wobei <math>N</math> die Anzahl der Komponenten (Items oder Subskalen) und <math>\bar r</math> die durchschnittliche [[Korrelationskoeffizient|Korrelation]] zwischen den Items bezeichnet.
Alternativ ergibt sich das cronbachsche <math>\alpha</math> aus

: <math>\alpha = \frac{N}{N-1} \left( 1- \frac{\sum_{i=1}^N \sigma^{2}_{Y_i}}{\sigma^{2}_{X}} \right) \qquad \text{mit} \qquad X = \sum_{i=1}^N Y_i</math>,

wobei <math>N</math> die Anzahl der Komponenten (Items oder Subskalen), <math>\sigma^{2}_{X}</math> die Varianz der beobachteten Gesamttestscores und <math>\sigma^{2}_{Y_i}</math> die Varianz in Komponente (Item, Subskala) <math>i</math> ist. Für [[Likert-Skala|Likert-Skalen]] gilt in der Regel <math>\alpha_{st}\le \alpha</math>.

=== Alternative Formel ===

Cho (2016) schlägt eine alternative Formel zur Berechnung der tau-äquivalenten Reliabilität <math>\rho_{T}</math> vor. Diese Formel ist äquivalent zur vorhergehenden, führt somit zum gleichen Ergebnis:

: <math>\rho_{T} = \frac{ k^2 \bar{\sigma}_{ij} }{ \sigma^{2}_{X} }</math>

Hierbei ist <math>k (= N)</math> die Anzahl der [[Indikator]]en ({{enS|items}}) des [[Messmodell]]s, <math>\bar{\sigma}_{ij}</math> die durchschnittliche Kovarianz zwischen den Indikatoren und <math>\sigma^{2}_{X}</math> die Varianz des Testergebnisses. Vorteil dieser Formel ist, dass sie in das von Cho (2016) vorgestellte System aus Formeln eingebettet ist und einen Vergleich zu anderen Koeffizienten, etwa für die [[kongenerische Reliabilität]], erleichtert. Die zuvor fehlende Systematik bei der Benennung ist zudem der Grund, warum Cho auf den Begriff „cronbachsches <math>\alpha</math>“ verzichtet und stattdessen von „tau-äquivalenter Reliabilität <math>\rho_{T}</math>“ spricht. Beide Begriffe sind jedoch Synonyme.

Ein Rechenbeispiel sowohl für die traditionelle als auch die alternative Formel findet sich in Tabelle 9 in Cho (2016).<ref name="Cho" />

== Interpretation ==
{| class="wikitable float-right zebra"
|+ Faustregel zur Interpretation der Alpha-Werte<ref>{{Literatur |Autor=Darren George, Paul Mallery |Titel=SPSS for Windows Step by Step: A Simple Guide and Reference, 11.0 Update |Auflage=4. |Verlag=Allyn & Bacon |Datum=2002 |ISBN=978-0-205-37552-3 |Seiten=231 |Sprache=en}}</ref>
|-
! <math>\alpha \,</math> !! Bedeutung
|-
| > 0,9 || exzellent
|-
| > 0,8 || gut
|-
| > 0,7 || akzeptabel
|-
| > 0,6 || fragwürdig
|-
| > 0,5 || schlecht
|-
| <math>\leq</math> 0,5 || inakzeptabel
|}

<math>\alpha \,</math> kann Werte zwischen minus unendlich und 1 annehmen (obwohl nur positive Werte sinnvoll interpretierbar sind). Als [[Faustregel]] sollte ein beliebiges psychometrisches Instrument nur verwendet werden, wenn ein Wert für <math>\alpha \,</math> von 0,65 oder mehr erreicht wird. Als kritisch wird allerdings auch ein sehr hoher Wert (z. B. 0,95) eingeschätzt, da dies darauf hindeutet, dass mehrere Items redundant sind.<ref>D. L. Streiner: ''Starting at the beginning: An introduction to coefficient alpha and internal consistency'' In: ''Journal of Personality Assessment'' Ban 80, 2003, S. 99–103. {{DOI|10.1207/S15327752JPA8001_18}}</ref> Bei kleineren Werten kann mittels einer [[Faktorenanalyse]] geprüft werden, ob sich die Items auf mehrere Faktoren verteilen.

Sehr häufig findet sich in wissenschaftlichen Arbeiten ein Verweis auf Nunnally (1978), wonach dieser angeblich vorgeschlagen habe, dass ein Wert von 0,7 oder mehr als akzeptabel gelte. Tatsächlich hat Nunnally jedoch sehr sorgsam die Verwendung des Koeffizienten diskutiert und keineswegs eine strenge Vorgabe gemacht.<ref>J. C. Nunnally: ''Psychometric theory (2nd ed.).'' McGraw-Hill, New York 1978.</ref> Für <math>\rho_{T}</math> ist daher zu beachten, dass strenge Regeln, die Messmodelle unterhalb eines Schwellwertes automatisch ablehnen und oberhalb eines Schwellwertes automatisch annehmen, sich in der Regel verbieten.<ref>Guide, Ketokivi. 2015, [[doi:10.1016/S0272-6963(15)00056-X]]</ref> Die Tabelle in diesem Abschnitt kann daher nur als Anhaltspunkt dienen. Insbesondere sollten Indikatoren aufgrund eines niedrigen Wertes nicht vorschnell entfernt werden, da dies auf Kosten der [[Inhaltsvalidität]] gehen könnte. Ein [[Ordnungsrahmen]] für die Eliminierung von Indikatoren aus Messskalen, der neben statistischen Kriterien wie <math>\rho_{T}</math> auch bewertende Kriterien mit einbezieht, ist in Wieland et al. (2017) beschrieben.<ref>A. Wieland, C.F. Durach, J. Kembro, H. Treiblmaier: ''Statistical and judgmental criteria for scale purification''. In: ''Supply Chain Management: An International Journal'', Vol. 22, No. 4, 2017, [[doi:10.1108/SCM-07-2016-0230]]</ref>

Problematisch an derartigen Vorgaben ist zudem, dass die [[Reliabilität]] eines Instruments sehr leicht zu Lasten der Bandbreite erreicht werden kann. Dieses Problem wird auch als [[Bandbreiten-Fidelitätsdilemma]] oder [[Reliabilitäts-Validitäts-Dilemma]] bezeichnet. Je breiter und allgemeiner ein Instrument misst, umso mehr Chancen bestehen in der Regel, auch breite und entfernte Kriterien vorherzusagen. Auf der anderen Seite leidet durch die Breite die Reliabilität. Eine Lösung dieses Problems bietet in der Regel nur die Verlängerung des Tests.

Das cronbachsche Alpha wird oft fälschlicherweise als Beleg für Eindimensionalität einer Skala interpretiert.<ref>K. Schermelleh-Engel, C. S. Werner: ''Methoden der Reliabilitätsbestimmung''. In: H. Moosbrugger, A. Kelava (Hrsg.): ''Testtheorie und Fragebogenkonstruktion''. Springer, Berlin / Heidelberg 2012, S. 119–141, {{DOI|10.1007/978-3-642-20072-4_6}}</ref> Eine Skala kann mehrdimensional sein und gleichwohl eine hohe innere Konsistenz, folglich also ein hohes cronbachsches Alpha, aufweisen.<ref name="Cortina1993" /> Beispiel wäre eine Skala, die Items zu Depression und Ängstlichkeit vermischt darbietet, also zweidimensional ist, und doch eine hohe Konsistenz hat.

== Beispiel ==
{| class="float-right" style="border:thin solid black;border-collapse:collapse; text-align:right;"
|- style="text-align:left;"
! Korrelation !! !! Klassik !! Jazz !! Oper !! Rap !! Heavy Metal !! Blues/ R&B
|-
|align="left" |
|style="text-align:left"| '''Klassik''' || 1 || 0,29 || 0,51 || 0,03 || 0,01 || 0,21
|-
|align="left" |
|style="text-align:left"| '''Jazz''' || || 1 || 0,21 || 0,22 || 0,09 || 0,54
|-
|align="left" |
|style="text-align:left"| '''Oper''' || || || 1 || 0,08 || −0,04|| 0,19
|-
|align="left" |
|style="text-align:left"| '''Rap''' || || || || 1 || 0,30 || 0,17
|-
|align="left" |
|style="text-align:left"| '''Heavy Metal''' || || || || || 1 || 0,09
|-
|align="left" |
|style="text-align:left"| '''Blues/R&B''' || || || || || || 1
|}

Im [[General Social Survey]] 1993 wird mit <math>N=6</math> nach verschiedenen Musikrichtungen gefragt mit den Antwortkategorien (1 = Mag Musikrichtung, 2 = Unentschieden, 3 = Mag Musikrichtung nicht). Wird nun eine Skala ''Mag Musik'' als Summe der Einzelskalen für jede Musikrichtung gebildet, so ergibt sich die mittlere Korrelation

: <math>\bar{r} = \frac{0{,}29 + 0{,}51 + \dots + 0{,}17 +0{,}09}{15} = 0{,}193</math>

und

: <math>\alpha_{st} = \frac{6\cdot0{,}193}{1+5\cdot0{,}193}=0{,}590 \qquad </math>

In diesem Fall wird die neue Skala meistens nicht als reliabel (zuverlässig) angesehen, wegen <math>\alpha<0{,}7 \,</math>. Der Grund liegt darin, dass die [[Korrelationsmatrix]] mindestens zwei Subskalen zeigt: Klassik/Oper und Jazz/Blues/R&B, d. h., bei Anwendung des cronbachschen <math>\alpha</math> sollte man sicher sein, dass die Items wirklich nur eine Skala bilden (Überprüfung mit der [[Faktorenanalyse]]).

== Berechnung des cronbachschen α mit gängiger Statistiksoftware ==
Für die freie Statistiksoftware [[GNU R|R]] gibt es mehrere Pakete, die Funktionen zur Berechnung des cronbachschen <math>\alpha</math> enthalten, z. B. <code>multilevel::cronbach</code>, <code>psy::cronbach</code>, <code>psych::alpha</code> und <code>psychometric::alpha</code>. Das R-Paket cocron<ref>[http://comparingcronbachalphas.org/ comparingcronbachalphas.org]</ref> ist auch als freies Web-Interface verfügbar und erlaubt den statistischen Vergleich von zwei oder mehr abhängigen und unabhängigen cronbachschen Alphas.

In [[Statistical Analysis System|SAS]] lautet die Kommandozeile <code>proc corr data=variable1 variable2 … variablen alpha plots;</code>.

In [[SPSS]] wählt man „Analysieren“, danach „Skalierung“ bzw. „Skala“, dann „Reliabilitätsanalyse“ an und wählt die gewünschten Variablen aus. Für diese wird dann das cronbachsche Alpha berechnet. Der Syntaxbefehl seit Programmversion 17.0 lautet <code style="white-space:nowrap">RELIABILITY VARIABLES=[VARIABLES] /MODEL=ALPHA.</code>.

Mit dem Programmpaket [[Stata]] lässt sich das cronbachsche <math>\alpha</math> mit der Anweisung <code>alpha varlist [if] [in] [, options]</code> berechnen. Die Item-Test- und Item-Rest-Korrelationen werden durch Auswahl der Option <code>item</code> angegeben. Mit der Option <code>generate(newvar)</code> wird die ermittelte Skala als Variable gespeichert. Sollen die Items der Skala zuvor (auf den [[Mittelwert]] 0 und Varianz 1) standardisiert werden, so ist die Option <code>std</code> zusätzlich anzufügen.

== Alternativen ==
Das cronbachsche <math>\alpha</math>, oder besser die tau-äquivalente Reliabilität (<math>\rho_T</math>), geht von gleichen Faktorladungen aller Indikatoren aus. Diese Voraussetzung wird in der Realität jedoch selten erfüllt, wodurch die Reliabilität unterschätzt wird. Eine Alternative zu <math>\rho_T</math>, die unterschiedliche Faktorladungen explizit berücksichtigt, ist die [[kongenerische Reliabilität]] (<math>\rho_C</math>), welche traditionell auch als „composite reliability“ bezeichnet wurde, einem Begriff, der zuletzt jedoch kritisiert wurde.<ref name="Cho" />

== Siehe auch ==
* [[Durchschnittlich erfasste Varianz]] (DEV; {{enS|average variance extracted}})
* [[kongenerische Reliabilität]] ({{enS|congeneric reliability}}, früher auch ''composite reliability'')

== Literatur ==
* L. J. Cronbach: [http://psych.colorado.edu/~carey/courses/psyc5112/readings/alpha_cronbach.pdf ''Coefficient alpha and the internal structure of tests.''] (PDF; 2,1 MB) In: ''Psychometrika'', 16, 1951, S. 297–334, {{DOI|10.1007/BF02310555}}.
* K. Schermelleh-Engel, C. S. Werner: ''Methoden der Reliabilitätsbestimmung''. In: [[Helfried Moosbrugger]], [[Augustin Kelava]] (Hrsg.): ''Testtheorie und Fragebogenkonstruktion'', 2., aktualisierte und überarbeitete Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-20071-7, S. 119–141, {{DOI|10.1007/978-3-642-20072-4_6}}.
* Neal Schmitt: [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.615.4053&rep=rep1&type=pdf ''Uses and Abuses of Coefficient Alpha.''] (PDF; 435 kB) In: ''Psychological Assessment'', 8(4), 1996, S. 350–353, {{DOI|10.1037/1040-3590.8.4.350}}.

== Weblinks ==
* [http://www.ats.ucla.edu/stat/spss/faq/alpha.html Berechnung in der SPSS-Syntax]
* Das freie Webinterface und R-Paket [http://comparingcronbachalphas.org/ cocron] erlaubt den statistischen Vergleich von zwei oder mehr abhängigen und unabhängigen cronbachschen Alphas.
* ''[[b:en:Handbook of Management Scales|Handbook of Management Scales]]'' (englisch) von [[Wikibooks]] sammelt betriebswirtschaftliche Konstrukte, deren Indikatoren und gibt das cronbachsche Alpha an.
* [http://relcalc.blogspot.de/2016/05/how-to-obtain-and-use-relcalc.html RelCalc.] Tools zur Berechnung der tauäquivalenten und kongenerischen Reliabilität sowie anderer Koeffizienten.

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

[[Kategorie:Multivariate Statistik]]
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Cronbachsches Alpha - Versionsgeschichte

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