imported>John Red: Kleinigkeit

2026-04-16T14:48:06Z

Kleinigkeit

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Der '''[[Wirbelsatz]] von Crocco''' oder die '''Crocco-Gleichung'''<ref name="durst" details="157ff">{{Literatur
| Autor=F. Durst
| Titel=Grundlagen der Strömungsmechanik
| Verlag=Springer
| Jahr=2006
| ISBN=3-540-31323-0}}</ref> ist ein 1922 von [[Alexander Alexandrowitsch Friedmann|A. Friedmann]]<ref>{{Literatur
| Autor=[[Alexander Alexandrowitsch Friedmann|A. Friedmann]]
| Titel=Ein Aufsatz über die Hydrodynamik komprimierbarer Flüssigkeiten
| Sprache=ru
| Originaltitel=Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости
| Ort=Petrograd
| Jahr=1922
| Seiten=198
| Online=http://books.e-heritage.ru/book/10073889
| Kommentar=Nachdruck 1934 unter Schriftleitung von [[Nikolai Kochin]], erste Formel mit <math>\operatorname{grad}T=\vec0</math>
| Abruf=2023-08-22}}</ref> und 1937 von [[Luigi Crocco]]<ref>{{Literatur
| Autor=Luigi Crocco (Sohn von [[Gaetano Crocco]])
| Titel=Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation
| Sammelwerk=[[Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik|Z. Angew. Math. Mech.]]
| Band=17
| Nummer=1
| Jahr=1937
| DOI=10.1002/zamm.19370170103
| Seiten=1–7}}</ref> aufgestellter physikalischer Satz aus der [[Strömungsmechanik]]. Er besagt, dass im [[Konservatives Kraftfeld|konservativen Kraftfeld]], wie dem [[Schwerefeld]] auf der Erde, eine [[Wirbel (Strömungslehre)|wirbel]]<nowiki/>freie [[stationäre Strömung]] [[homentrop]] ist. Auf der anderen Seite folgt, dass nicht homentrope aber homenergetische stationäre Strömungen (mit [[Homogenität|homogener]] [[Energie (Physik)|Energie]]<nowiki/>verteilung) wirbelbehaftet sind.<ref name="spurk" details="152">{{Literatur
| Autor=J. H. Spurk
| Titel=Strömungslehre
| TitelErg=Einführung in die Theorie der Strömungen
| Verlag=Springer Verlag
| Ort=Heidelberg, Dordrecht, London, New York
| Auflage=8. überarbeitete Auflage
| Jahr=2010
| ISBN=978-3-642-13142-4
| DOI=10.1007/978-3-642-13143-1}}</ref> Er stellt den Zusammenhang zwischen Verwirbelung und [[Entropie]] und somit zwischen [[Kinematik]] und [[Thermodynamik]] in einem [[Strömungsfeld]] her.

== Aussage ==
In einer [[Stationäre Strömung|stationären Strömung]] eines [[viskosität]]s<nowiki/>freien, und damit nicht-[[Wärmeleitung|wärmeleitenden]] [[Gas]]es<ref>''Die Vernachlässigung der Reibungsspannungen zieht die Vernachlässigung der Wärmeleitung nach sich''. Spurk, ''Strömungslehre'' (2010), S. 86</ref> gilt:

:<math>\vec v\times\operatorname{rot}\vec v
=\operatorname{grad}h_0-T\operatorname{grad}s</math>

Hierin bezeichnen
* <math>\vec v</math> das [[Geschwindigkeitsfeld]] der Strömung und <math>\operatorname{rot}\vec v</math> dessen [[Rotation (Mathematik)|Rotation]]
* <math>h_0:=h+v^2/2</math> die [[Ruheenthalpie]] des Gases und <math>\operatorname{grad}h_0</math> deren [[Gradient (Mathematik)|Gradient]]
* ''T'' die Temperatur
* ''s'' die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]],
wobei <math>h_0</math> und ''s'' als Enthalpie und Entropie pro Masseneinheit eingehen ([[spezifische Größe]]n).

== Interpretation ==
Oft kann man eine isoenergetische oder homenergetische Strömung mit <math>\operatorname{grad}h_0 = 0</math> annehmen. Ist die Strömung außerdem noch [[homentrop]], so ist auch <math>\operatorname{grad}s=0</math>, und nach Croccos Wirbelsatz folgt

:<math>\vec v \times \operatorname{rot}\vec v = 0</math>.

Im Allgemeinen folgt daraus

:<math>\operatorname{rot}\vec v = 0</math>

womit die Strömung rotations- bzw. [[wirbelfrei]] ist, was in einer [[Potentialströmung]] mit [[Geschwindigkeitspotential]] <math>\Phi</math> und

:<math>\vec v=\operatorname{grad}\Phi</math>.

der Fall ist.

Croccos Wirbelsatz besagt also, dass rotationsfreie Strömungen homentrop sind und umgekehrt, wobei vorausgesetzt wird, dass sie stationär sind und [[Viskosität]] sowie Wärmeleitung vernachlässigbar sind.

== Herleitung ==
Die Formel für die [[Enthalpie#Temperatur- und Druckabhängigkeit der Enthalpie|Temperatur- und Druckabhängigkeit der Enthalpie]] <math>T\mathrm{d}s=\mathrm{d}h-v\mathrm{d}p</math> wird umgestellt und das [[Spezifisches Volumen|spezifische Volumen]] <math>v</math> durch den Kehrwert der [[Dichte]] <math>\rho</math> ersetzt:<ref name="spurk" details="78" />

:<math>-\frac1\rho\mathrm{d}p=T\mathrm{d}s-\mathrm{d}h</math>

[[Ableitungsfunktion|Ableitung]] nach einer [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinate]] <math>x_i</math>, Multiplikation mit einem Vektor ê<sub>i</sub> der [[Standardbasis]] und Summation der Ergebnisse liefert<ref name="spurk" details="151" />

:<math>-\frac1\rho\sum_{i=1}^3\frac{\partial p}{\partial x_i}\hat e_i
=T\sum_{i=1}^3\frac{\partial s}{\partial x_i}\hat e_i
-\sum_{i=1}^3\frac{\partial h}{\partial x_i}\hat e_i</math>

oder koordinatenunabhängig mit dem [[Nabla-Operator]] 𝜵

:<math>-\frac1\rho\nabla p=T\nabla s-\nabla h</math>

In die [[substantielle Ableitung]] <math>\dot{\vec v}:=\tfrac{\partial\vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v=\tfrac{\partial\vec v}{\partial t}+\mathrm{grad}(\vec v)\cdot\vec v</math> der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> wird die [[Formelsammlung Tensoranalysis#Grassmann-Entwicklung|Grassmann-Entwicklung]] eingearbeitet:

:<math>\dot{\vec v}=\frac{\partial\vec v}{\partial t}+
\frac12\mathrm{grad}(\vec v\cdot\vec v)-\vec v\times\mathrm{rot}(\vec v)
=\frac{\partial\vec v}{\partial t}+
\frac12\nabla(\vec v\cdot\vec v)-\vec v\times(\nabla\times\vec v)
</math>

Die [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik]] lauten mit diesen Ergebnissen

:<math>\frac{\partial\vec v}{\partial t}
+\frac12\nabla(\vec v\cdot\vec v)-\vec v\times(\nabla\times\vec v)
=-\frac1\rho\nabla p+\vec k
=T\nabla s-\nabla h-\nabla\psi
</math>

Darin ist ''ψ'' das [[Potential (Physik)|Potential]] des konservativen Kraftfeldes mit Gradient <math>\vec k=-\operatorname{grad}\psi=-\nabla\psi</math>, wo das Minuszeichen Konvention ist. In einer stationären Strömung entfällt der erste Term auf der linken Seite und Umstellung sowie Zusammenfassung liefert:

:<math>
-\vec v\times(\nabla\times\vec v)
+\nabla\left(\frac12(\vec v\cdot\vec v)+h+\psi\right)
=T\nabla s
</math>

In stationärer und [[viskosität]]sfreier Strömung mit vernachlässigbarer [[Wärmeleitung]] ist die Summe in der großen Klammer im ganzen Strömungsfeld konstant<ref>siehe Spurk, Strömungslehre (2010), S. 150, und vergleiche [[Bernoulli-Gleichung#Erweiterte bernoullische Druckgleichung viskositätsfreier, idealer Gase]]</ref> womit ihr Gradient verschwindet, was in den croccoschen Wirbelsatz mündet:

:<math>-\vec v\times(\nabla\times\vec v)=T\nabla s
\quad\leftrightarrow\quad
-\vec v\times(\operatorname{rot}\vec v)=T\operatorname{grad}s
</math>

In wirbelfreien Strömungen ist das Geschwindigkeitsfeld [[Rotation eines Vektorfeldes|rotationsfrei]] (<math>\operatorname{rot}\vec v=\vec0</math>) und somit das Strömungsfeld zugleich homentrop (<math>\operatorname{grad}s=\vec0</math>). Umgekehrt ist eine stationäre homenergetische Strömung, die nicht homentrop ist, zwangsläufig wirbelbehaftet.<ref name="spurk"< details="152" /><ref name="durst" details="159" />

== Gekrümmter Stoß in einer Hyperschallströmung ==
Beim Durchgang durch einen gekrümmten [[Stoßwelle|Stoß]], wie er in [[Überschallflug|Hyperschallströmungen]] auftreten kann, wird die Entropie auf den einzelnen [[Stromlinie]]n unterschiedlich erhöht. Hinter der Stoßfläche ist daher die Entropie nicht mehr homogen, und infolge des Croccoschen Wirbelsatzes kann die Strömung dort nicht mehr wirbelfrei sein.<ref name="spurk" details="152" />

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=Karl Wieghardt
| Titel=Theoretische Strömungslehre
| Verlag=Universitätsverlag Göttingen
| Ort=Göttingen
| Jahr=2005
| DOI=10.17875/gup2005-72
| ISBN=3-938616-33-4
| Online=https://www.univerlag.uni-goettingen.de/handle/3/isbn-3-938616-33-4}}

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]

Croccos Wirbelsatz - Versionsgeschichte

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